文档内容
{#{QQABaYSEgggIAAIAABhCUQHICAMQkBECAKoOQBAMIAAAQQNABCA=}#}1−4
1 MQ x +x−= = 6=,xx 1
当k2 = 时， 取得最小值，此时 1 2 1 1 2 ，
2 DE
2
1
所以 AB = 1+⋅k2+ −(x =x )2 +⋅ 4x−x= 1 62 4 4 3.故答案为：4 3.
1 2 1 2 2
四、17．（1）
(sinB+sinC)2 =sin2B+2sinBsinC+sin2C=sin2 A+3sinBsinC
即sin2B+−si=n2C sin2 A sinBsinC
由正弦定理可得b2+−c2= a2 bc --------------------------------------2分
b2+−c2 a2 1
则cosA= =
2bc 2
π
因为A∈(0,π),所以A= . ------------------------------------------------------4分
3
（2）
根据 2a+b=2c由正弦定理得 2sinA+sinB=2sinC
π
又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,A=
3
3 3 1
则 2×+ co+sC si=nC 2sinC
2 2 2
⎛ π⎞
整理可得3sinC−=6 3cosC,即3sinC−==3−cosC 2 3sin
⎜
C
⎟
6
⎝ 6⎠
⎛ π⎞ 2
所以sin
⎜
C−=
⎟
- -------------------------------------------------6分
⎝ 6⎠ 2
⎛ 2π⎞ π ⎛ π π⎞ π π π π
因为C∈ ⎜ 0, ⎟ ,C− ∈ ⎜ − , ⎟ ,所以C−= ,=C +
⎝ 3 ⎠ 6 ⎝ 6 2⎠ 6 4 4 6
⎛π π⎞ 6+ 2 π
则sinC =sin ⎜ + ⎟= ,B=−π −A= C ----------------------------------------8分
⎝ 4 6⎠ 4 4
a b a 2
由正弦定理得 = 即 = 得a= 3 --------------------------------------9分
sinA sinB π π
sin sin
3 4
1 1 6+ 2 3+ 3
所以面积S = ab×sinC× = ×= 3 2 .-------------------------------------10分
2 2 4 4
18.【解析】（1）由2a =2n+S ，得2a =+−2(n 1) S (n≥2)，两式相减得
n n n−1 n−1
答案第2页，共7页
{#{QQABaYSEgggIAAIAABhCUQHICAMQkBECAKoOQBAMIAAAQQNABCA=}#}2a
n
−2a
n−1
=2+a
n
，即 a
n
=2a
n−1
+2， -----------------------------------2分
所以 a
n
+2=2(a
n−1
+2)，即 b
n
=2b
n−1
(cid:1)
(n(cid:2)2)，
当 n=1时，2a =2+a ，即a =2，从而b =4，
1 1 1 1
所以{b }是以4为首项，2为公比的等比数列，
n
所以 b
n
=4⋅2n−1 =2n+1. ------------------------4分
（2）由（1）知a =2n+1−2，于是T =c +c +c +⋅⋅⋅+c
n 30 1 2 3 30
=(log b +log b +a )+(log b +log b +a )+⋅⋅⋅+(log b +log b +a )+
2 1 2 2 1 2 4 2 5 2 2 25 2 26 9
(log b +log b +a )
2 28 2 29 10
=(2+3+22 −2)+(5+6+23−2)+⋅⋅⋅+(29+30+211−2) ----------------------6分
=(2+5+8+⋅⋅⋅+29)+(3+6+9+⋅⋅⋅+30)+(22 +23+⋅⋅⋅+211−20) -----------------8分
(2+29)×10 (3+30)×10 4(1−210)
= + + −20 . ----------------10分
2 2 1−2
=155+165+4−0=92 20 4392 -----------------12分
或者
T =(2+5+8+⋅⋅⋅+29)+(3+6+9+⋅⋅⋅+30)+(22 +23+⋅⋅⋅+211−20)
30
(2+3+4+5+6+8⋅++⋅⋅ −3+0)+(4⋅++⋅7⋅ 10+ + 28⋅+)+⋅⋅ (−22 23 211 20)
320+=−4092 20 4392
19．（Ⅰ）证明:因为∠A=BC° 45 ,AB=2 2,BC =4
所以在 ΔABC中由余弦定理得AC2 = ( 2 2− )2 ×+42 ×2°×2= 2 4 cos45 8
解得AC=2 2， 又由AB2 +AC2 =BC2得AB⊥ AC
因为AB//CD所以CD⊥ AC ---------------2分
因为PA⊥平面ABCDE,CD⊂平面ABCDE
所以PA⊥CD， 又因为 PA∩AC= A， 所以CD⊥平面PAC
又因为CD⊂平面PCD， 所以平面PCD ⊥平面PAC. ---------------4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得AB,AC,AP两两互相垂直,分别以AB,AC,AP所在直线为x,y,z轴,建立如图所示
答案第3页，共7页
{#{QQABaYSEgggIAAIAABhCUQHICAMQkBECAKoOQBAMIAAAQQNABCA=}#}空间直角坐标系,设AP=t
则A(0,0,0,)B ( 2 2,0,0 ) ,C ( 0,2 2,0 ) ,P(0,0,t)
因为AC//ED，CD⊥ AC，所以四边形ACDB是直角梯形
因为AE=2,∠A=BC° 45 ,AE⁄⁄BC
所以∠B=AE °135 ,∠C=AE° 45 ,CD=⋅AE°=sin45 2
( )
所以D − 2,2 2,0 ----------------------------------------------------------------6分
!!!" !!!"
( ) ( )
则CP= 0,−2 2,t ,CD= − 2,0,0
!"
设m= (x,y,z)是平面PCD的一个法向量
!" !!!"
⎧ ⎪ m⋅CP=0 ⎧ ⎪−2+ 2=ty tz 0
则有⎨ !" !!!" 即⎨
⎩⎪ m⋅CD=0 ⎪⎩−=2x 0
!" ⎛ 2 ⎞
令z=1,得m=⎜0, t,1⎟ ----------------------------------------------------8分
4
⎝ ⎠
!!!"
( )
设θ是直线与平面所成的角, PB= 2 2,0,−t
!!!" !" −t 1
则有sinθ=sin30°= cos PB,m = =
1 2
t2+1⋅ t2+8
8
解得t =2 2 --------------------------------------------------10分
!" !!!"
所以P ( 0,0,2 2 ) ,m= (0,1,1),AP= ( 0,0,2 2 )
设点A到平面PCD的距离为h
!!!" !"
AP⋅m 2 2
h= !" = =2
m 2
所以点A到平面PCD的距离为2. --------------------------------------------12分
20.解：（1）因为ΔPFF 是直角三角形，且|OP|=1，所以椭圆的半焦距c=1，-------2分
1 2
c 3 x2 y2
由 = ，得a= 3，所以椭圆的标准方程为 + =1． ----------------4分
a 3 3 2
x2 y2
（2）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k ≠0时，BD的方程为y=k(x+1)，代入椭圆方程 + =1，
3 2
答案第4页，共7页
{#{QQABaYSEgggIAAIAABhCUQHICAMQkBECAKoOQBAMIAAAQQNABCA=}#}并化简得(3k2 +2)x2 +6k2x=+−3k2 6 0．
6k2 3k2 −6
设B(x，y )，D(x，y )，则x +x−= ，x x =
1 1 2 2 1 2 3k2 +2 1 2 3k2 +2
4 3(k2+1)
BD = 1+k2 x −x = (1+k2)⎡(x +x )2−4xx ⎤ = ；----------------6分
1 2 ⎣ 2 2 1 2⎦ 3k2+2
1
因为AC与BC相交于点P，且AC的斜率为− ，
k
⎛ 1 ⎞
4 3
⎜ ⎝k2
+1
⎟ ⎠ 4 3(k2 +1)
所以， AC = = ． ----------------7分
1 2k2 +3
3×+ 2
k2
四边形ABCD的面积
1 24(k2+1)2 24(k2+1)2 96
S = BD AC = (cid:2) = ．
2 (3k2+2)(2k2+3) ⎡(3k2+2)+(2k2+3)⎤ 2 25
⎢ ⎥
2
(cid:1) ⎣ ⎦
当k2 =1时，上式取等号． ----------------10分
（ⅱ）当BD的斜率k =0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S =4．
96
综上，四边形ABCD的面积的最小值为 . ----------------12分
25
21．解：(1)设每箱实际价格为X ，则X 可能取值为800元，900元.
2 1
所以P(X =900)= ，P(X =800)= ， -----------------------------------2分
3 3
,所以值得购买 -----------------------------------4分
1 2 2600
E(X)=+×=8×00 >900 840
3 3 3
（2）设每箱实际价格为Y，则Y可能取值为800元，900元
1 1
设A=“废品率 ”，B=“废品率 ”C=“检验2件产品，恰好有一件废品”
10 5
2 1
P(A)= ,P(B)=
3 3
2 C1C1 2 1 C1C1 16
P(AC=)=P(A×)P(C|A)= 1 9 ,P(BC=)=P(B×)P(C|B)= 2 8 ,
3 C2 15 3 C2 135
10 10
答案第5页，共7页
{#{QQABaYSEgggIAAIAABhCUQHICAMQkBECAKoOQBAMIAAAQQNABCA=}#}2 16 34
P(C)=P(AC+BC)= + = -----------------------------------6分
15 135 135
①
16
P(BC) 135 8
P(B|C)= = =
P(C) 34 17
135
-----------------------------------8分
2
P(AC) 15 9
②因为 P(A|C)= = = ，则Y的分布列为
P(C) 34 17
135
Y
800 900
p 8 9
17 17 --------------10分
8 9 14500
E(Y)=×+8×0=0 9>00 840
17 17 13
所以此箱值得购买 -----------------------------------12分
22．（1）①由题意，得𝑓! 𝑥 =
!"#!!!!
． -----------------------------------1分
!"#!!
（i）若𝑓 𝑥 在 − π , π 上单调递减，则𝑓! 𝑥 ≤0恒成立，
! !
即𝑎(cid:1)(cid:2) −cos!𝑥恒成立，所以𝑎≤ −1； -----------------------------------2分
（ii）若𝑓 𝑥 在 − π , π 上单调递增，则𝑓! 𝑥 ≥0恒成立，即𝑎≥ −cos!𝑥恒成立，所以𝑎≥0．
! !
综上，实数 a的取值范围为 −∞,−1 ∪ 0,+∞ ． -----------------------------------3分
②假设𝑓 𝑥 是“极致0函数”，则𝑥 = 0是𝑓 𝑥 的极值点，
所以𝑓! 0 = 1+𝑎 = 0，解得𝑎 = −1， -----------------------------------4分
π π
由①可知，当𝑎 = −1时，𝑓 𝑥 在 − , 上单调递减，与𝑥 = 0是𝑓 𝑥 的极值点矛盾，
! !
故𝑓 𝑥 不是“极致0函数”． -----------------------------------5分
（2）由题意，得𝑔! 𝑥 = 1−𝑚 sin𝑥+𝑥cos𝑥，则𝑔! 0 = 𝑔 0 = 0．
当𝑥 ∈ − π , π 时，𝑔! 𝑥 = 1−𝑚 tan𝑥+𝑥 cos𝑥，
! !
答案第6页，共7页
{#{QQABaYSEgggIAAIAABhCUQHICAMQkBECAKoOQBAMIAAAQQNABCA=}#}π π
易知当𝑥 ∈ − , 时，cos𝑥 > 0．
! !
π π
设ℎ 𝑥 = 1−𝑚 𝑡𝑎𝑛𝑥+𝑥，𝑥 ∈ − , ．
! !
①当1−𝑚≤ −1，即𝑚≥2时，由（i）可知，ℎ 𝑥 在 − π , π 上单调递减，
! !
又ℎ 0 = 0，所以当𝑥 ∈ − π ,0 时，ℎ 𝑥 > 0，即𝑔! 𝑥 > 0；当𝑥 ∈ 0, π 时，ℎ 𝑥 < 0，即𝑔! 𝑥 < 0，
! !
所以𝑔 𝑥 在𝑥 = 0处取得极大值，此时𝑔 𝑥 是“极致0函数”；-----------------------------------6分
②当1−𝑚≥0，即𝑚≤1时，由（ii）可知，ℎ 𝑥 在 − π , π 上单调递增，
! !
又ℎ 0 = 0，所以当𝑥 ∈ − π ,0 时，ℎ 𝑥 < 0，即𝑔! 𝑥 < 0，当𝑥 ∈ 0, π 时，ℎ 𝑥 > 0，即𝑔! 𝑥 > 0，
! !
所以𝑔 𝑥 在𝑥 = 0处取得极小值，此时𝑔 𝑥 是“极致0函数”；-----------------------------------7分
③当1 < 𝑚 < 2时，ℎ! 𝑥 =
!!!!!"#!!
，
!"#!!
设𝜑 𝑥 = 1−𝑚+cos!𝑥，
π π
易知𝜑 𝑥 在 − ,0 上单调递增，在 0, 上单调递减．
! !
π π
因为𝜑 0 = 2−𝑚 > 0，𝜑 − = 𝜑 = 1−𝑚 < 0，
! !
π π
所以存在𝑥 ∈ − ,0 ，𝑥 ∈ 0, ，使得𝜑 𝑥 = 𝜑 𝑥 = 0，-----------------------------------9分
! ! ! !
! !
且当𝑥 ∈ 𝑥 ,𝑥 时，𝜑 𝑥 > 0，
! !
即ℎ! 𝑥 > 0， ℎ 𝑥 在 𝑥 ,𝑥 上单调递增．
! !
又ℎ 0 = 0，所以当𝑥 ∈ 𝑥 ,0 时，ℎ 𝑥 < 0，即𝑔! 𝑥 < 0，当𝑥 ∈ 0,𝑥 时，ℎ 𝑥 > 0，即𝑔! 𝑥 > 0，
! !
所以𝑔 𝑥 在𝑥 = 0处取得极小值，此时𝑔 𝑥 是“极致 0 函数”．综上，对任意𝑚 ∈ 𝑅，𝑔 𝑥 均为“极
致0函数”． -----------------------------------12分
答案第7页，共7页
{#{QQABaYSEgggIAAIAABhCUQHICAMQkBECAKoOQBAMIAAAQQNABCA=}#}
