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2023--2024学年度上学期期末考试
高三数学 参考答案
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A B A D D C B CD BC AD ABD
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.2 ; 14. 15. ; 16．
；
四．解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
【解】（1）∵ ∴
即 ∴ ∴ 或
∵在 中， ∴ 故
∴ ，即 ，∴ …………（5分）
（2）∵ 的面积为 ，且由第一问可知：
由面积公式得： ∴
∵
由余弦定理得：
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学科网（北京）股份有限公司解得： ∴ 的周长为 …………（10分）
18.（本小题满分12分）
【解】（1）当 时， ，解得 ，
当 时， ，则 ，即 ，
又 ，则 ，
∴ （常数），故 是以 为首项，以3为公比的等比数列，
∴数列 的通项公式为 ．…………（6分）
（2）由（1）可得： ，
∴ ，
设 ，则
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ …………（12分）
19.（本小题满分12分）
【解】（1）设事件A 为“从10所学校中选出的1所学校 “自由式滑雪”的参与人数超过40人”．
“自由式滑雪”的参与人数超过40人的学校共4所，所以 ．…（4分）
（2）(i) X的所有可能取值为0，1，2，3， “单板滑雪”的参与人数在45人以上的学校共4所．
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学科网（北京）股份有限公司所以 , .
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以 ． …………（8分）
（ii）设事件B 为“参训前，该同学考核为‘优秀’”，
则 ．
参考答案1：可以认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．理由如下：
比较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一旦发生了，就有理由认为该同学在参训后
“单板滑雪”水平发生了变化 ．
参考答案2：无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．理由如下：
事件 是随机事件， 比较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一般不容易发生，但还
是可能发生的，因此，无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化 ．
…………（12分）
20．（本小题满分12分）
【解】（Ⅰ）如图，连结BD，交AC于点O，连结MO.
因为直线 平面 ，
又平面 平面 ，
平面 ，
所以 ．
因为正方形 ，
所以 为 的中点．
所以 为 的中点． …………（6分）
（Ⅱ）因为底面 为正方形， 平面 ，
所以AB，AD，AP两两垂直.
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学科网（北京）股份有限公司如图建立空间直角坐标系.
设 ，可得 ， ，
， ， ．
则 ．
设 ，则
设 为平面 的法向量，
则 即
令 ， ，则 ，可得 ．
又 ， ，
所以 为平面 的法向量，
，
解得 ，所以 . ………（12分）
21.（本小题满分12分）
【解】（1）由题可知 ，则 .
故椭圆 的方程为 . …………（4分）
（2）设 ，则 ，即 .
由 为 的中点，得 ，所以 .
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学科网（北京）股份有限公司因为直线 的斜率 ，且 ，
所以直线 的方程为 .
令 ，得 ，则 .
因为 ，所以 .
所以 .
所以直线 与 斜率的乘积是为定值-1. …………（12分）
22.（本小题满分12分）
【解】（1） 时， .
所以曲线 在点 处的切线方程为
即 . …………（6分）
（2）只需求满足 恒成立的实数 的取值范围.
设 其中 .
①若 在 上单调递增.
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学科网（北京）股份有限公司因为 所以 不满足条件.
②若 令
当 时， 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递增，
所以
令 ，解得
综上，实数 的取值范围为 …………（12分）
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