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庆阳一中 2024-2025 学年度第一学期第一次月考
高一数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 设集合 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合的补集，并集运算求解即可.
【详解】由题意可知 ，所以 ，
所以 ，
故选：D
2. 命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】运用特称命题的否定知识，否定结论，特称变全称即可.
【详解】运用特称命题的否定知识,命题“ ， ”的否定是“ ， ”.
故选：A.
3. 如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在阴影部分区域内任取一个元素x ，分析元素x 与各集合的关系，即可得出合适的选项.
【详解】解：在阴影部分区域内任取一个元素x ，
则 且 ，即 且 ，
所以，阴影部分可表示为 .
故选：D.
4. 已知集合 ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出集合 ，可确定两个集合之间的关系.
【详解】因为 ，
所以 .
所以 .
故选：A
5. 已知命题 为真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】问题转化为不等式 的解集为 ，根据一元二次不等式解集的形式求参数的值.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为命题 为真命题，所以不等式 的解集为 .
所以：若 ，则不等式 可化为 ，不等式解集不 是；
若 ，则根据一元二次不等式解集的形式可知： .
综上可知：
故选：D
6. 中国清朝数学家李善兰在 年翻译 代数学 中首次将“ ”译做：“函数”，沿用至今，为什么
这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数” 年美国人给出了集合论的函数定
义，已知集合 ，给出下列四个对应法则：① ，② ，③
，④ ，请由函数定义判断，其中能构成从 到 的函数的是 （ ）
A. ①③ B. ①② C. ③④ D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数的定义逐一分析判断即可．
【详解】对应关系若能构成从 到 的函数，
须满足：对 中的任意一个数，通过对应关系在 中都有唯一的数与之对应，
对于①， ，当 时， ，故 不满足题意；
对于②， ，当 时， ，故 不满足题意；
对于③， ，当 时， ，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，故 满足题意；
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学科网（北京）股份有限公司对于④， ，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，故 满足题意．
故选：C.
的
7. 关于 方程 有两个根，其中一个大于 1，另一个小于1时，则 的取值范围为（
）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程根的个数以及根的分布情况解不等式即可求得结果.
【详解】根据方程 有两个根，其中一个大于1，另一个小于1，
可知 ，解得 .
故选：A
8. 已知 ， ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将问题转化为 ，利用“1”的代换以及基本不等式求解 ，从而得到
，求解不等式，即可得到答案．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为不等式 恒成立，
则 ，
因为 ， ，由 可得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
故 ，
所以 ，即 ，解得 ，
则实数 的取值范围是 ．
故选：B．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题是真命题的为（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 且 ，则
D. 若 且 ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】由已知条件结合不等式的性质，判断结论是否正确.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A项，取 ， ， ， ，
则 ， ，所以 ，故A选项错误；
对于B选项，若 ，有 ，则 ，B选项正确；
对于C选项，若 ，则 ，则 ，
又因为 ，由不等式的性质可得 ，所以C选项正确；
对于D选项，若 且 ，则 ，所以， ，D选项正确．
故选：BCD．
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 至少有一个实数 ，使
B. “ ”是“ ”的充分不必要条件
C. 命题“ ”的否定是假命题
D. “集合 ”中只有一个元素是“ ”的必要不充分条件
【答案】BD
【解析】
【分析】由在实数范围内， 可得A错误；举反例可得必要性不成立，可得B正确；由全称与特称命
题的性质和二次函数的性质可得C错误；由集合 中只有一个元素可得 或 ，再由必要性可得D正
确；
【详解】对于A，在实数范围内， ， ，故A错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于B，若 ，则 ，充分性成立，
若 ，如 ，此时 ，必要性不成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，故B正确；
对于C，命题“ ”的否定是 ，
由二次函数的性质可得 开口向上， ，所以 恒成立，故C错误；
对于D，若集合 中只有一个元素，
当 时， ；当 时，可得 ，
所以必要性成立，故D正确；
故选：BD.
11. 设正实数 满足 ，则（ ）
A. 的最大值是 B. 的最小值为4
C. 最小值为 D. 最小值为2
【答案】ABC
【解析】
【分析】直接利用基本不等式即可求解A，利用乘“1”法即可求解B，利用完全平方式的性质即可求解
C，将“1”代换，即可由基本不等式求解D.
【详解】对于A， ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 ， 时等号成立，故A正确；
对于B， ，
当且仅当 即 时等号成立，故B正确；
对于C， ，当且仅当 ， 时等号成立，C正确；
对于D， ，
当且仅当 即 时等号成立，故D错误．
故选：ABC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若集合 ， ，且 ，则实数 的值是_________.
【答案】 或0
【解析】
【分析】分 、 和 分别计算即可.
【详解】当 时， ，符合题意；
当 时， ；
当 时， ，
综上， 的值为 或 .
故答案为： 或 .
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学科网（北京）股份有限公司13. 若关于 的不等式 的解集为 ，则 ______．
【答案】-2
【解析】
【分析】将不等式解集问题转化为一元二次方程的两根问题，结合韦达定理求出 ，得到答
案.
【详解】由题意得：-1,3为方程 的两根，
故 ，
解得： ，
故 .
故答案为：-2
14. 当 时， 定义运算 : 当 时， ；当 时， ； 当
或 时， ； 当 时， ； 当 时， ．
在此定义下， 若集合 ， 则 中元素的个数为______．
【答案】14
【解析】
【分析】根据定义运算 ，分成五类情况分别列举符合条件的元素，合并即得集合 .
【详解】①当 时， ，所以 或 或 ；
②当 时， ，所以 或 或 ；
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学科网（北京）股份有限公司③当 或 时， ，
所以 或 或 或 或 或 ；
④当 时， ；
⑤当 时， ．
所以 ，
，共14个元素．
故答案为：14.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合 ．
（1）若 ， 求 ;
（2）若 中只有一个元素， 求 的取值集合．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出 ，根据并集概念求出答案；
（2）分 和 两种情况，得到答案.
【小问1详解】
时， ，
因为 ，所以方程 无实数根，
所以 ．
故 ．
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
当 时， ，得 ，此时 ；
当 时， ，得 ，此时 ．
故 的取值集合为 ．
16. （1）已知 ，求证： 是 的充要条件.
（2）已知 ， ， ，求证：
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】（1）证明充要条件，可先证明充分性再证必要性；
（2）利用作差法证明即可.
【详解】（1）证明：∵
∴ .
充分性证明即 .
∵ ，即 ，
∴ ，
充分性得证；
必要性证明即 .
又∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，即 ，
必要性得证.
故 是 的充要条件.
（2）证明： ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即
故 .
17. 求下列关于x的不等式的解集：
（1） ；
（2）
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据分式不等式的解法，即可求解；
（2）根据题意，利用一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解.
【小问1详解】
解：由不等式 ，可得 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司即不等式 的解集为 .
【小问2详解】
解：由不等式 ，可得化为 ，
若 ，不等式可化为 ，解得 ，即解集为 ；
若 ，不等式可化为
当 时，不等式即为 ，解得 或 ，即不等式的解集为 或 ；
当 时，不等式即 为，
①当 时，即 时，解得 ，解集为 ；
②当 时，即 时，解得 ，解集为 ；
③当当 时，即 时，解得 ，解集为
综上，
当 时，不等式的解集为 或 ；
当 ，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
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学科网（北京）股份有限公司当 时，不等式的解集为 .
18. 如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这
两栏的面积之和为 ，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设广告牌的
高为 ，宽为 .
（1）试用 表示 ，并求 的取值范围；
（2）用 表示广告牌的面积 ；
（3）广告牌的高取多少时，可使广告牌的面积 最小？
【答案】（1）
（2）
（3）140cm
【解析】
【分析】（1）运用面积之和得到等式，再写成函数表达式即可；
（2）矩形面积公式写函数表达式；
（3）运用换元，结合基本不等式解题即可.
【小问1详解】
每栏的高和宽分别为 ，其中 两栏面积之和为：
，
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学科网（北京）股份有限公司整理得， .
【
小问2详解】
；
【小问3详解】
令 ，
则 ；
当 时， 取最小值为24500，此时 ；
答：当广告牌的高取140cm时，可使广告的面积S最小.
19. 设命题 ：对任意 ，不等式 恒成立，命题 ：存在 ，使得不等
式 成立.
（1）若 为真命题，求实数 的取值范围；
（2）若p，q一真一假，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1） 为真命题时，任意 ，不等式 恒成立可转化为
，求解即可
（2）化简命题 ，由（1）结合条件列不等式即可求出 的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
为
因 为真命题，
所以对任意 ，不等式 恒成立，
所以 ，其中 ，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围 ；
【小问2详解】
若 为真命题，即存在 ，使得不等式 成立，
则 ，其中 ，
而 ，
所以 ，故 ；
因为 一真一假，
所以 为真命题， 为假命题或 为假命题 为真命题，
若 为真命题， 为假命题，则 ，所以 ；
若 为假命题， 为真命题，则 或 ，所以 .
综上， 或 ，
所以 的取值范围为 .
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