文档内容
高三考试数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无
效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.若复数 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
3.已知抛物线 的焦点为 ，则点 到抛物线 的准线的距离是（ ）
A. B. C.1 D.2
4.在正项等比数列 中， ，则数列 的公比是（ ）
A.4 B.2 C.1 D.
5.已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积与表面积的比值是（ ）
A. B. C. D.
6.甲､乙相约从同一地点同时出发，同向围着一个周长是200米的圆形跑道跑步，甲每秒跑2.5米，乙每秒跑
3.5米，则“甲､乙相遇”是“甲､乙都跑了400秒”的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知函数 为奇函数，则
学科网（北京）股份有限公司（ ）
A.20 B.10 C.21 D.11
8.已知点 是双曲线 的上焦点， 是 下支上的一点，点 是圆
上一点，则 的最小值是（ ）
A.7 B.6 C.5 D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知直线 与圆 ，则（ ）
A.直线 的倾斜角是
B.圆 的半径是4
C.直线 与圆 相交
D.圆 上的点到直线 的距离的最大值是7
10.已知甲运动员的投篮命中率是0.8，乙运动员的投篮命中率是0.9，甲､乙投篮互不影响.若两人各投篮一次，
则（ ）
A.都没有命中的概率是0.02
B.都命中的概率是0.72
C.至少一人命中的概率是0.94
D.恰有一人命中的概率是0.18
11.已知函数 只有5个零点，则 的值可能为（ ）
A.4 B.5 C. D.
12.如图，在棱长为6的正方体 中， 分别是棱 ， 的中点，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. 平面
B.异面直线 与 所成的角是
C.点 到平面 的距离是
D.平面 截正方体 所得图形的周长为
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.向量 ，若 ，则 __________.
14.5名学生的期中考试数学成绩分别为 ，若这5名学生成绩的第60百分位数为111，则
__________.
15.已知点 是函数 图象上的任意一点，直线 ，则点 到直线 的距离的最
小值是__________.
16.已知函数 在 上为单调函数，则 的取值范围为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）
在 中，角 的对边分别是 ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的面积.
18.（12分）
如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是菱形， 是棱 的中点.
学科网（北京）股份有限公司（1）证明： .
（2）若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
19.（12分）
镇安大板栗又称中国甘栗､东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗
园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按
分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.
（1）请估计该板栗园的板栗质量的中位数；
（2）现采用分层抽样的方法从质量在 和 内的板栗中抽取10颗，再从这10颗板栗中随机抽
取4颗，记抽取到的特等板栗（质量 克）的个数为 ，求 的分布列与数学期望.
20.（12分）
已知函数 .
（1）当 时，求 的最小值；
（2）若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围.
21.（12分）
已知数列 满足 .
（1）求 的通项公式；
学科网（北京）股份有限公司（2）求 的前 项和 .
22.（12分）
动点 与定点 的距离和它到直线： 的距离的比是常数 ，点 的轨迹为 .
（1）求 的方程，并说明 是什么曲线；
（2）若过 的直线 与 交于 两点，点 是 上一点， 的最大值为 ，最小值为 ，且
成等比数列，求 的方程.
高三考试数学试卷参考答案
1.D 由题意可得 ，则 .
2.B 因为 ，所以 .
3.C 由题意可知抛物线 的标准方程为 ，则 ，即点 到抛物线 的准线的距离是1.
4.B 设数列 的公比是 ，则 .因为 ，所以 ，所以 ，
解得 或 （舍去）.
5.A 设该圆锥的底面圆的半径为 ，则其侧棱长为 ，从而该圆锥的侧面积
6.C 因为乙每秒比甲每秒多跑1米，所以当甲､乙都跑了200秒时，乙比甲多跑了200米，甲､乙第一次相遇.
当甲､乙都跑了400秒时，乙比甲多跑了400米，甲､乙再次相遇.故“甲､乙相遇”是“甲､乙都跑了400秒”
学科网（北京）股份有限公司的必要不充分条件.
7.C 因为 为奇函数，所以 ，即 ，令
，则 ，所以
，即 .
8.B 可化为 ，则 ，半径为1，设 是 的下焦点，则
，由双曲线定义可得 ，所以 ，
即 的最小值是6.
9.BCD 由题意可知直线 的倾斜角是 ，圆 的圆心坐标为 ，半径为4，则 错误， 正确.圆
心 到直线 的距离 ，则直线 与圆 相交，故 正确.圆 上的点到直线 的距离的最
大值为 ，则 正确.
10.AB 都没有命中的概率为 ，A正确.都命中的概率为 ，B正确.至
少一人命中的概率为 错误.恰有一人命中的概率为 错误.
11.BC 由 ，得 .因为函数 在 上的零点个数为2，所
以函数 在 上的零点个数为3.由 ，得 ，则
，解得 .
12.BCD 如图，以 为坐标原点， 的方向分别为 轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系.因为 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司，所以
.
设平面 的法向量为 ，则 令 ，得 .因为
，所以 与平面 不垂直，则 错误.设异面直线 与 所成的角为 ，则
，从而 ，故B正确.连接 ，因为 ，所以点 到平
面 的距离是 ，则C正确.分别在棱 上取点 ，使得
，连接 ， .可知平面 截正方体 所
得图形为五边形 .由题中数据可得 ，则平
面 截正方体 所得图形的周长为 ，故
D正确.
13.6 由题意可得 ，解得 .
14.112 由 ，将成绩从小到大排列，得第60百分位数为第三个成绩和第四个成绩的平均数，所
以 ，解得 .
学科网（北京）股份有限公司15. 因为 ，所以 .令 ，得 ，则 ，故点
到直线 的距离 .
16. 因为函数 在 上单调递增，所以函数 在
上为单调函数.
当 在 上为单调递增函数时，则 解得
当 在 上为单调递减函数时，则 解得 .
综上， 的取值范围为 .
17.解：（1）因为 ，所以 ，
所以 .
因为 ，所以 .
（2）因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，
则 .
故 的面积 .
18.（1）证明：连接 .
因为四边形 是菱形，所以 .
学科网（北京）股份有限公司因为 平面 ，且 平面 ，所以 .
因为 平面 ，且 ，所以 平面
因为 平面 ，所以 .
（2）解：记 ，连接 ，易证 两两垂直，故以 为坐标原点， 的
方向分别为 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
设 ，则 ，故
.
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，得 .
设平面 的法向量为 ，
则 令 ，得 .
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
19.解：（1）因为 ，
所以该板栗园的板栗质量的中位数在 内.
学科网（北京）股份有限公司设该板栗园的板栗质量的中位数为 ，则 ，
解得 ，即该板栗园的板栗质量的中位数约为57.5.
（2）由题意可知采用分层抽样的方法从质量在 内的板栗中抽取
颗，从质量在 内的板栗中抽取 颗.
的所有可能取值为 .
.
从而 的分布列为
0 1 2 3 4
故 .
20.解：（1）当 时， ，
则 .
由 ，得 ，由 ，得 ，
学科网（北京）股份有限公司则 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 .
（2）由题意可得 .
当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 .
因为不等式 恒成立，所以 ，解得 .
当 时， ，不符合题意.
综上， 的取值范围是 .
21.解：（1）因为 ，
所以 ，
所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 是首项为1，公差为3的等差数列，
是首项为2，公差为3的等差数列，
则 ，
故
学科网（北京）股份有限公司（2）当 为奇数时，
当 为偶数时，
.
综上，
22.解：（1）设点 ，则 ，
化简得 ，即 .
故曲线 是焦点在 轴上的椭圆.
（2）由题可知 ，所以 ，
当 垂直于 轴时， ，此时 不成等比数列，故 的斜率存在.
设 的方程为 ，则 ，
所以 .
（也可以根据题目的条件得出 ）
学科网（北京）股份有限公司联立 整理得 ，
则 ，
因为 成等比数列，所以 ，
即 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以 的方程为 .
学科网（北京）股份有限公司
