文档内容
2024 年湖南省初中学业水平考试
数 学
本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上
的姓名、准考证号和相关信息：
2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；
3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效：
4．在草稿纸、试题卷上作答无效；
5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸．
一、选择题：本题共 10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 在日常生活中，若收入300元记作 元，则支出180元应记作（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有
相反意义的量．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，结合题意解答即可；
【详解】解：收入为“ ”，则支出为“ ”，
那么支出180元记作 元．
故选：C．
2. 据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高
价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破 400万件的国家，将 用
科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
1【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为 ，其中 ，n可以用整数位
数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成
a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；
当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解： 用科学记数法表示为 ．
故选：B．
3. 如图，该纸杯的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接依据主视图即从几何体的正面观察，进而得出答案．
此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题的关键．
【详解】解：该纸杯的主视图是选项A，
故选：A．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，根据以上运算法则逐项分析即可．
2【详解】解：A、 ，故该选项不正确，不符合题意；
B、 ，故该选项正确，符合题意；
C、 ，故该选项不正确，不符合题意；
D、 ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
5. 计算 的结果是（ ）
A. B. C. 14 D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键．
直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】解： ，
故选：D
6. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 两点之间，线段最短 B. 菱形的对角线相等
C. 正五边形的外角和为 D. 直角三角形是轴对称图形
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理的知识，多边形外角性质，菱形性质及轴对称图形的特点，解题的关键是
掌握这些基础知识点．
【详解】解：A、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意；
C、正五边形的外角和为 ，选项错误，是假命题，不符合题意；
D、直角三角形不一定 轴是对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假命题，不符合
题意；
故选：A．
37. 如图， ， 为 的两条弦，连接 ， ，若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
是解题的关键．根据圆周角定理可知 ，即可得到答案．
【详解】根据题意，圆周角 和圆心角 同对着 ，
，
，
．
故选：C．
8. 某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数
是（ ）
A. 130 B. 158 C. 160 D. 192
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中位数，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的
平均数为中位数．据此求解即可．
【详解】解：从小到大排序为130，141，158，179，192，最中间的数是158，
∴中位数是158，
4故选：B．
9. 如图，在 中，点 分别为边 的中点．下列结论中，错误的是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断 ；
由相似三角形的判定和性质可判断 ，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的
关键．
【详解】解：∵点 分别为边 的中点，
∴ ， ，故 正确；
∵ ，
∴ ，故 正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，故 错误；
故选： ．
10. 在平面直角坐标系 中，对于点 ，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当
5（其中 ）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点 在第二象限，下列说
法正确的是（ ）
A. B. 若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C. 若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D. 若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离
之和大于10
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出
a的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可判断选项
C，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D．
【详解】解：∵点 在第二象限，
∴ ，
∴ ，故选项A错误；
∵点 为“整点”， ，
∴整数a为 ， ，0，1，
∴点P的个数为4个，故选项B错误；
∴“整点”P为 ， ， ， ，
∵ ， ， ，
∴“超整点”P为 ，故选项C正确；
∵点 为“超整点”，
∴点P坐标为 ，
∴点P到两坐标轴的距离之和 ，故选项D错误，
故选：C．
6二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11. 计算： ________．
【答案】2024
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义，即可
求解．
【详解】解： ，
故答案为：2024．
12. 有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“ ”“ ”“ ”“ ”，将它
们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“ ”的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解本题的关键．概率 所求情况数与总情况数之比．
根据概率公式计算即可．
【详解】解：∵共有4枚棋子，
∴从中任意摸出一张，恰好翻到棋子“ ”的概率是 ．
故答案为：
13. 分式方程 =1的解是_______．
【答案】x=1
【解析】
【分析】先给方程两边同乘最简公分母x+1，把分式方程转化为整式方程2=x+1，求解后并检验即可．
【详解】解：方程的两边同乘x+1，得2=x+1，
解得x=1．
检验：当x=1时，x+1=2≠0．
7所以原方程的解为x=1．
故答案为：x=1．
【点睛】此题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤及方法是解题的关键．
14. 一个等腰三角形的一个底角为 ，则它的顶角的度数是________度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和，解答时根据等腰三角形两底角相等，求出顶角度
数即可．
【详解】解：因为其底角为40°，所以其顶角 ．
故答案为：100．
15. 若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则k的值为________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程 有两个不相等
的实数根，则 ；有两个相等的实数根，则 ；没有实数根，则
．据此即可求解．
【详解】解：由题意得： ，
解得：
故答案为：2
16. 在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即 （k为常数． ），若某乐
器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为________．
【答案】180
【解析】
8【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把 ， 代入 求解即可．
【详解】解：把 ， 代入 ，得 ，
解得 ，
故答案为：180．
17. 如图，在锐角三角形 中， 是边 上的高，在 ， 上分别截取线段 ， ，使
；分别以点E，F为圆心，大于 的长为半径画弧，在 内，两弧交于点P，作射线
，交 于点M，过点M作 于点N．若 ， ，则 ________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知 平分 ，根据角平分线
的性质可知 ，结合 求出 ， ．
【
详解】解：作图可知 平分 ，
∵ 是边 上的高， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6．
918. 如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图
为其平面示意图，已知 于点 B， 与水平线 l 相交于点 O， ．若 分米，
分米． ，则点C到水平线l的距离 为________分米（结果用含根号的式子表
示）．
【答案】 ##
【解析】
【分析】题目主要考查解三角形及利用三角形等面积法求解，延长 交l于点H，连接 ，根据题意
及解三角形确定 ， ，再由等面积法即可求解，作出辅助线是解题关键．
【详解】解：延长 交l于点H，连接 ，如图所示：
在 中， ，
，
10即 ，
解得： ．
故答案为： ．
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】题目主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数、零次幂的运算等，先化简绝对值、零次幂及
特殊角的三角函数、算术平方根，然后计算加减法即可，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
【详解】解：
．
20. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．先计算乘法，再计
算加法，然后把 代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：
11，
当 时，原式 ．
21. 某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查、家务劳动的项目主要包
括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统
计图：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次被抽取的学生人数为 人；
（2）补全条形统计图：
（3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是 ；
的
（4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动 项目数量达到3项及以上的学生人数．
【答案】（1）100 （2）见解析
（3）36 （4）300人
【解析】
【分析】题目主要考查条形统计图与扇形统计图，样本估计总体，求扇形统计图圆心角等，理解题意，结
合统计图得出相关信息是解题关键．
（1）根据参与1项家务劳动的人数及比例即可得出结果；
（2）先求出参加3项家务劳动的学生人数，然后补全统计图即可；
（3）用360度乘以4项及以上所占的比例即可；
12（4）用总人数乘以参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的比例即可．
【小问1详解】
解：根据题意得： 人，
故答案为：100；
【小问2详解】
，
补全统计图如下：
【小问3详解】
，
故答案为：36；
【小问4详解】
人．
22. 如图，在四边形 中， ，点 E 在边 上， ．请从“① ；②
， ”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形 为平行四边形；
13（2）若 ， ， ，求线段 的长．
【答案】（1）①或②，证明见解析；
（2）6
【解析】
【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边形的
判定和性质是解题关键．
（1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可；
（2）根据平行四边形的性质得出 ，再由勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：选择①，
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形；
选择②，
证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形；
【小问2详解】
解：由（1）得 ，
∵ ， ，
∴ ．
23. 某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需
14110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．
（1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；
（2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树
苗多少棵？
【答案】（1）50元、30元
（2）400棵
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x元/棵，y元/棵，根据“购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚
树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元”列方程组求解即可；
（2）购买脐橙树苗a棵，根据“总费用不超过38000元”列不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x元/棵，y元/棵，
根据题意，得 ，
解得 ，
答：脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为50元/棵，30元/棵；
【小问2详解】
解：设购买脐橙树苗a棵，则购买黄金贡柚树苗 棵，
根据题意，得 ，
解得 ，
答：最多可以购买脐橙树苗400棵．
24. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形 ，其示
过程 意图如下：
15①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；
②过点E作 ，并沿 方向前进到点F，用皮尺测得
的长为4米；
测绘过程
③在点F处用测角仪测得 ， ，
与数据信
；
息
④用计算器计算得： ， ，
． ， ，
．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
（1）求线段 和 的长度：
（2）求底座的底面 的面积．
【答案】（1）7米；3米
（2）18平方米
【解析】
【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键．
（1）根据题意得 ，即可确定 长度，再由 得出
米，即可求解；
（2）过点A作 于点M，继续利用正切函数确定 米，即可求解面积．
【小问1详解】
解：∵ ， 的长为4米， ，
∴ ，
∴ 米；
16∵ ，
∴ 米，
∴ 米；
【小问2详解】
过点A作 于点M，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ 米，
∴ 米，
∴ 米，
∴底座的底面 的面积为： 平方米．
25. 已知二次函数 的图像经过点 ，点 ， 是此二次函数的图像上的
两个动点．
17（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线 的上方，过点P作 轴
于点C，交AB于点D，连接 ．若 ，求证 的值为定值；
（3）如图2，点P在第二象限， ，若点M在直线 上，且横坐标为 ，过点M作
轴于点N，求线段 长度的最大值．
【答案】（1）
（2）为定值3，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线 的解析式， ，则 ， ，表示出
， ，代入 即可求解；
（3）设 ，则 ，求出直线 的解析式，把 代入即可求出线段
18长度的最大值．
【小问1详解】
∵二次函数 的图像经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ， ．
∴ ，
∴ 的值为定值；
【小问3详解】
19设 ，则 ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，
，
∴当 时，线段 长度的最大值 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键．
26. 【问题背景】
已知点A是半径为r的 上的定点，连接 ，将线段 绕点O按逆时针方向旋转 得
到 ，连接 ，过点A作 的切线l，在直线l上取点C，使得 为锐角．
【初步感知】
（1）如图1，当 时， ；
【问题探究】
20（2）以线段 为对角线作矩形 ，使得边 过点E，连接 ，对角线 ， 相交于点F．
①如图2，当 时，求证：无论 在给定的范围内如何变化， 总成立：
②如图3，当 ， 时，请补全图形，并求 及 的值．
【答案】（1） ；①证明见解析；②补全图形见解析， ，
【解析】
【分析】（1）可证 是等边三角形，则 ，由直线l是 的切线，得到 ，
故 ；
（2）①根据矩形的性质与切线的性质证明 ，则 ，而 ，由
，得到 ；
②过点O作 于点G， 于点H，在 中，先证明点E在线段 上，
，由等腰三角形的性质得 ，根据互余关系可得 ，
21可求 ，解 ，求得 ，可证明 ，故在 中，
．
【详解】解：（1）由题意得 ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵直线l是 的切线，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）①如图：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
22∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②补全图形如图：
23过点O作 于点G， 于点H，
在 中， ，
∴由勾股定理得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点E在线段 上，
∴在 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
24∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴设 ，
∴由勾股定理得 ，
∴ ，
∴在 中，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴在 中， ．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解直
角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．
25
