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辽宁省沈阳市第二十中学 2023~2024 学年高一上学期开学考试试卷
高一年级数学试卷
考试时间: 120 分钟 分数: 150分
第Ⅰ卷 (选择题共58分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合 、 ，利用并集的定义可求得集合 .
【详解】因为 ， ，
因此， .
故选：C.
2. 命题p：“ ”，命题q：“ ”，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分性、必要性的定义，结合方程的根进行判断即可.
【详解】由 ，或 ，
因此p是q的必要不充分条件，
故选：B
3. 不等式|x－1|＋|x－2|≤3的最小整数解是（ ）A. 0 B. －1
C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】首先对 的范围进行讨论，去掉绝对值符号，转化三个不等式组，求得结果.
【详解】原不等式可化为 或 或 ，
解得0≤x≤3，
所以最小整数解是0，
故选：A.
【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有分类讨论去绝对值符号解绝对值不等
式，属于简单题目.
4. 已知 且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. 3 C. D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】利用已知求出 ，将 转化为关于x的二次函数，即可求得答案.
【详解】因为 且 ，故 ，
所以 ，则 ，
则令 ，
当 时，函数 递增，
故当 时， 取到最小值 ，
即 的最小值为3，
故选：B5. 已知集合 ， ，a∈A∩B，则 的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求得集合 ，得到 ，结合a∈A∩B和选项，即可求解.
【详解】由题意，集合 ， 或 ，
所以 或 ，
因为a∈A∩B，结合选项可得 .
故选：D.
6. 已知函数y=f(x)的对应关系如下表所示，函数 的图象是如图所示的曲线 ，则
的值为（ ）
x 1 2 3
2 3 0
A. 3 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】【分析】运用图象得到 ，再由对应关系得到 即可
【详解】由图可知 ，
所以 .
故选：D.
7. 关于 的不等式 的解集为 ，那么不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题可得 ，可得 解之即求.
【详解】∵关于 的不等式 的解集为 ，
∴ ，
∴ 可化为 ，即
∴ ，
∴ ，解得 .
故选：C.
8. 函数 的图象与x轴两个交点的横坐标分别为 ， ，且 ＞1， ，当1≤x≤3
时，该函数的最小值m与b的关系式是（ ）
A. m=2b+5 B. m=4b+8 C. m=6b+15 D.
【答案】C
【解析】【分析】
根据根与系数的关系及条件 ＞1， ，求出b,得二次函数的最值，即可求解.
【详解】函数 的图象与x轴两个交点的横坐标分别为 ， ，
∵ ， ，
解得： = ﹣2， =2+ ，
∵ ，
∴b=﹣ ；
函数的对称轴为直线x= = 3
故当1≤x≤3时，函数在x=3时，取得最小值，即m= =15+6b，
故选：C．
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分.)
9. 下列说法中，正确的有（ ）
A. 的最小值是2
B. 的最小值是2
C. 若 ， ， ，则
D. 若 ， ， ，则
【答案】CD
【解析】
【分析】利用不等式的性质及基本不等式逐项分析即得.【详解】对于A，当 时， ，故A错误；
对于B， ，当且仅当 ，即 时取等号，显然不可能，
故B错误；
对于C，由 ，可得 ，即 ，故
C正确；
对于D，由 ， ， ，可知 ，所以
，故D正确.
故选：CD.
10. 方程 解集为单元素集，那么该方程的解集可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】将所求方程化为 ，由分类讨论求出 的值，再解原方程即可.
【详解】由题意可知 且 ，则原方程可化为 ，得 ，
若方程有一根为0，则 ，此时原方程的解为 ，（ 舍去），符合题意；
若方程有一根为 ，则 ，此时原方程的解为 ，（ 舍去），符合题意；
若 ，解得 ，故原方程为 ，解得 .
故选：ABC.
11. 下列命题中是真命题的是（ ）A. “ ”是“ ”的充分不必要条件
B. 命题“∀x≥0，都有 ”的否定是“ ，使得 ”
C. 不等式 成立的一个充分不必要条件是 或
D. 当 时，方程组 有无穷多解
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用充要条件的定义与全称命题的否定结合一元二次不等式和分式不等式得解法逐项判断即可.
【详解】解：对A，“ ”可以推出“ ”，而“ ”推出 或者 ，所以“ ”是“
”的充分不必要条件，故A正确；
对B，命题“∀x≥0，都有 ”的否定是“ ，使得 ”，故B错误；
对C，不等式 成立，即 或 ，所以不等式 成立的一个充分不必要条件是
或 ，故C正确；
对D，当 时，方程组 等价于 ，即两条直线重合，所以方程组有无
穷多解，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)
12. 设集合 ， ，且 是 的真子集，则实数 ___________.
【答案】 或-1
【解析】
【分析】根据集合关系得到方程，求出 的值，利用元素互异性排除不合要求的答案.
【详解】因为 是 的真子集，所以当 时，解得： 或-1，经检验，均符合要求；当 时，解得： ，此时不满足集合元素的互异性，舍去，
综上： 或-1
故答案为： 或-1
13. 已知 是关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根，并且满足
，则实数 为____________
【答案】
【解析】
【分析】化简后根据根与系数的关系求出m，再由判别式检验即可.
【详解】因为 是一元二次方程 的两个不相等的实数根，
所以 ， ，所以 ，
解得 或 ，
又因为 ，得 ，所以 .
故答案为：3
14. 设正实数 ， ， 满足 ，则当 取得最小值时， 的最大值为
__________．
【答案】4.
【解析】
【详解】分析：由题意结合均值不等式的结论即可求得最大值，注意等号成立的条件.
详解：由已知 得
，当且仅当 ，即 时等号成立，则
， ，
当 时，取最大值 ．
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定
——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
四、解答题(本题共5小题，共77分.)
15. 已知集合 ，非空集合 ．
（1）当 时，求 ；
（2）求使得 成立的实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【
分析】（1）先求出集合 ，再求交集即可；
（2）根据集合的包含关系列出关于 的不等式组，解出即可.
【小问1详解】
当 时， ， ，
所以 .
【小问2详解】
因为 ，非空集合 ，所以 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
16. 在① ，
② ，
③
这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，求实数a的取值范围.
已知 ， _________，且p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】答案见解析.
【解析】
【分析】先解出p对应的x的范围即为集合A,把q对应的x的范围即为集合B.根据题意分析只需BA.分别
在选条件①②③时，根据BA列不等式组，求出a的取值范围.
【详解】由命题 ，得到−3
