文档内容
菏泽市二 0 二 0 年初中学业水平考试（中考）数学试题
注意事项：
1．本试题共24个题，考试时间120分钟．
2．请把答案写在答题卡上，选择题用2B铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在
答题卡的指定区域内，写在其他区域不得分．
一、选择题（本大题共8个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请
把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）
1.下列各数中，绝对值最小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可．
【详解】解： ， ， ， ，
∵ ，
∴绝对值最小的数是 ；
故选：B．
【点睛】本题考查的是实数的大小比较，熟知绝对值的性质是解答此题的关键．
2.函数 的自变量 的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】
由分式与二次根式有意义的条件得函数自变量的取值范围．
【详解】解：由题意得：解得： 且
故选D．
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式与二次根式有意义的条件是解题的关键．
3.在平面直角坐标系中，将点 向右平移 个单位得到点 ，则点 关于 轴的对称点的坐标为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据点向右平移 个单位点的坐标特征：横坐标加3，纵坐标不变，得到点 的坐标，再根据关于 轴
的对称点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标变为相反数，得到对称点的坐标即可．
【详解】解：∵将点 向右平移 个单位，
∴点 的坐标为：(0，2)，
∴点 关于 轴的对称点的坐标为：(0，-2)．
故选：A．
【点睛】本题考查平移时点的坐标特征及关于 轴的对称点的坐标特征，熟练掌握对应的坐标特征是解题
的关键．
4.一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小
立方块的个数，则该几何体的主视图为（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
从正面看，注意“长对正，宽相等、高平齐”，根据所放置的小立方体的个数判断出主视图图形即可．
【详解】解：从正面看所得到的图形为 选项中的图形．
故选： ．
【点睛】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看
到的图象是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．
5.如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（
）
A. 互相平分 B. 相等 C. 互相垂直 D. 互相垂直平分
【答案】C
【解析】
【分析】
由于顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，再由矩形的判定可知，依次连接对角线互相垂
直的四边形各边的中点所得四边形是矩形．
【详解】
根据题意画出图形如下：
答：AC与BD 的位置关系是互相垂直．
证明：∵四边形EFGH是矩形，
∴∠FEH=90°，
又∵点E、F、分别是AD、AB、各边的中点，∴EF是三角形ABD的中位线，
∴EF∥BD，
∴∠FEH=∠OMH=90°，
又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，
∴EH是三角形ACD的中位线，
∴EH∥AC，
∴∠OMH=∠COB=90°，
即AC⊥BD．
故选C．
【点睛】此题主要考查了矩形的判定定理，画出图形进而应用平行四边形的判定以及矩形判定是解决问题
的关键．
6.如图，将 绕点 顺时针旋转角 ，得到 ，若点 恰好在 的延长线上，则 等
于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据旋转的性质和四边形的内角和是360º即可求解．
【详解】由旋转的性质得：∠BAD= ，∠ABC=∠ADE，
∵∠ABC+∠ABE=180º，
∴∠ADE+∠ABE=180º，
∵∠ABE+∠BED+∠ADE+∠BAD=360º，∠BAD=
∴∠BED=180º- ，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质、四边形的内角和是360º，熟练掌握旋转的性质是解答的关键．7.等腰三角形的一边长是 ，另两边的长是关于 的方程 的两个根，则 的值为（ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分类讨论：当3为等腰三角形的底边，则方程有等根，所以△＝0，求解即可，于是根据根与系数的关系得
两腰的和＝4，满足三角形三边的关系；当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代入方程可
计算出k的值即可．
【详解】解：①当3为等腰三角形的底边，根据题意得△＝（-4）2−4k＝0，解得k＝4，
此时，两腰的和=x+x=4>3，满足三角形三边的关系，所以k＝4；
1 2
②当3为等腰三角形的腰，则x＝3为方程的解，把x＝3代入方程得9−12＋k＝0，解得k＝3；
综上，k的值为3或4，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解以及根与系数的关系等腰三角形的性质和三
角形的三边关系，注意解得k的值之后要看三边能否组成三角形．
8.一次函数 与二次函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与 y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得
出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【详解】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A错误；
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，
∴a>0，b>0，
∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a<0，b>0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，C错误；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象
经过的象限是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内）
9.计算 的结果是_______．
【答案】﹣13
【解析】
【分析】
根据平方差公式计算即可.
【详解】 .
故答案为﹣13.
【点睛】本题考查平方差公式和二次根式计算,关键在于牢记公式.
10.方程 的解是______．
【答案】【解析】
【分析】
方程两边都乘以 化分式方程为整式方程，解整式方程得出 的值，再检验即可得出方程的解．
【详解】方程两边都乘以 ，得： ，
解得： ，
检验： 时， ，
所以分式方程的解为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的
解；③检验；④得出结论．
11.如图，在 中， ，点 为 边的中点，连接 ，若 ， ，则
的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到DC=DB，∠DCB=∠B，根据锐角三角函数的定义即可求
解．
【详解】∵∠ACB=90°，BC=4，CD=3，点D是AB边的中点，
∴DC=DB，∴∠DCB=∠B，AB=2CD=6，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，掌握直角三角
形斜边上的中线是斜边的一半和三角函数的定义是解题的关键．
12.从 ， ， ， 这四个数中任取两个不同的数分别作为 ， 的值，得到反比例函数 ，则
这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】
从 ， ， ， 中任取两个数值作为 ， 的值，表示出基本事件的总数，再表示出其积为负值的基
础事件数，按照概率公式求解即可．
【详解】从 ， ， ， 中任取两个数值作为 ， 的值，其基本事件总数有：
共计12种；
其中积为负值的共有：8种，
∴其概率为：
故答案为： ．
【点睛】本题结合反比例函数图象的性质，考查了概率的计算，能准确写出基本事件的总数，和满足条件
的基本事件数，是解题的关键．13.如图，在菱形 中， 是对角线， ，⊙O与边 相切于点 ，则图中阴影部分
的面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
连接OD，先求出等边三角形OAB的面积，再求出扇形的面积，即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：如图，连接OD，
∵AB是切线，则OD⊥AB，
在菱形 中，
∴ ，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠A=60°，
∴OD= ，
∴ ，∴扇形的面积为： ，
∴阴影部分的面积为： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求不规则图形的面积，扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题
的关键是正确求出等边三角形的面积和扇形的面积．
14.如图，矩形 中， ， ，点 在对角线 上，且 ，连接 并延长，
交 的延长线于点 ，连接 ，则 的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由矩形的性质求得BD，进而求得PD ，再由AB∥CD得 ，求得CQ，然后由勾股
定理解得BQ即可．
【详解】∵四边形ABCD是矩形， ， ，
∴∠BAD=∠BCD=90º，AB=CD=5，BC=AD=12，AB∥CD，
∴ ，又 =5，
∴PD=8，
∵AB∥DQ，∴ ，即
解得：CQ=3，
在Rt△BCQ中，BC=12，CQ=3，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，会利用平
行线成比例定理列相关比例式是解答的关键．
三、解答题（把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．）
15.计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】
根据负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，积的乘方公式的逆向应用进行计算即可．
【详解】
．
【点睛】本题考查了负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，积的乘方公式的逆向应用，熟知以上
运算是解题的关键．
16.先化简，再求值： ，其中 满足 ．
【答案】2a2+4a,6【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再
代值计算即可求出值．
【详解】解：原式=
=
=
=2a(a+2)
=2a2+4a.
∵ ，
∴a2+2a=3.
∴原式=2（a2+2a）=6.
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
17.如图，在 中， ，点 在 的延长线上， 于点 ，若 ，求
证： ．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
利用AAS证明 ，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】证明：∵ ，∴∠ADE=90°，
∵ ，
∴∠ACB=∠ADE，
在 和 中
，
∴ ，
∴AE=AB，AC=AD，
∴AE-AC=AB-AD，即EC=BD．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
18.某兴趣小组为了测量大楼 的高度，先沿着斜坡 走了 米到达坡顶点 处，然后在点 处测得
大楼顶点 的仰角为 ，已知斜坡 的坡度为 ，点 到大楼的距离 为 米，求大楼的
高度 ．（参考数据： ， ， ）
【答案】大楼的高度 为52米
【解析】
【分析】
过点B作BE⊥AD于点E，作BF⊥CD于点F，在Rt△ABE中，根据坡度 及勾股定理求出BE和
AE的长，进而由三个角是直角的四边形是矩形判断四边形 BEDF是矩形，得到BF和FD的长，再在
Rt△BCF中，根据∠CBF的正切函数解直角三角形，得到CF的长，由CD=CF+FD得解．【详解】解：如下图，过点B作BE⊥AD于点E，作BF⊥CD于点F，
在Rt△ABE中，AB=52，
∵
∴tan∠BAE= = ，
∴AE=2.4BE，
又∵BE2+AE2=AB2，
∴BE2+(2.4BE)2=522，
解得：BE=20，
∴AE=2.4BE=48；
∵∠BED=∠D=∠BFD=90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴FD=BE=20，BF=ED=AD-AE=72-48=24；
在Rt△BCF中，
tan∠CBF= ，
即：tan53°= =
∴CF= BF=32，
∴CD=CF+FD=32+20=52．
答：大楼的高度 为52米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握仰角的定义，准确确定合适的直角三角形并且根据
勾股定理或三角函数列出方程是解题的关键．
19.某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A： ；B： ；C： ；D： ，并绘制出如
下不完整的统计图．
（1）求被抽取的学生成绩在C： 组的有多少人；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内；
（3）若该学校有 名学生，估计这次竞赛成绩在A： 组的学生有多少人．
【答案】（1）24人；（2）C组；（3）150人．
【解析】
【分析】
（1）根据扇形统计图的B组所占比例，条形统计图得B在人数，用总人数减去A，B，D人数，可得C组
人数；
（2）根据总人数多少，结合中位数的概念确定即可；
（3）根据样本中A组所占比例，用总人数乘以比例，即可得到答案．
【详解】（1）由图可知：B组人数为12；B组所占的百分比为20%，
∴本次抽取的总人数为： （人），
∴抽取的学生成绩在C： 组的人数为： （人）；
（2）∵总人数为60人，
∴中位数为第30,31个人成绩的平均数，
∵ ，且
∴中位数落在C组；
（3）本次调查中竞赛成绩在A： 组的学生的频率为： ，
故该学校有 名学生中竞赛成绩在A： 组的学生人数有： （人）．【点睛】本题考查了条件统计图与扇形统计图的信息读取，以及总数，频数与频率之间的转化计算，熟知
以上知识是解题的关键．
20.如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于 ， 两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线 交 轴于点 ，点 是 轴上的点，若 的面积是 ，求点 的坐标．
【答案】（1）一次函数的表达式为 ，反比例函数的表达式为 ；（2）（3，0）或（-5，0）
【解析】
【分析】
（1）将点A坐标代入 中求得m，即可得反比例函数的表达式，据此可得点B坐标，再根据A、B
两点坐标可得一次函数表达式；
（2）设点P(x，0)，由题意解得PC的长，进而可得点P坐标．
【详解】（1）将点A（1,2）坐标代入 中得：m=1×2=2，
∴反比例函数的表达式为 ，
将点B(n，-1)代入 中得：
，∴n=﹣2，∴B(-2，-1)，
将点A（1，2）、B（-2，-1）代入 中得：
解得： ，
∴一次函数的表达式为 ；
（2）设点P（x，0），
∵直线 交 轴于点 ，
∴由0=x+1得：x=﹣1，即C（-1，0），
∴PC=∣x+1∣，
∵ 的面积是 ，
∴
∴解得： ，
∴满足条件的点P坐标为（3，0）或（-5，0）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，会用待定系数法求函数的解析式，会用坐标表示
线段长是解答的关键．
21.今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体
育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买 根跳绳和 个毽子共需 元；购买 根跳
绳和 个毽子共需 元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元；
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是 ，且购买的总费用不能超过 元；若要求购买跳绳的数量
多于 根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
【答案】（1）购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元；（2）方案一：购买跳绳21根；方案二：购买
跳绳22根
【解析】【分析】
（1）设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，依题意列出二元一次方程组解之即可；
（2）设学校购进跳绳m根，则购进毽子（54-m）根，根据题意列出不等式解之得m的范围，进而可判断
购买方案．
【详解】（1）设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，
依题意，得： ，
解得： ，
答：购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元；
（2）设学校购进跳绳m根，则购进毽子（54-m）根，
根据题意，得： ，
解得：m≤22，
又m﹥20，且m为整数，
∴m=21或22，
∴共有两种购买跳绳的方案，方案一：购买跳绳21根；方案二：购买跳绳22根．
【点睛】本题考查二元一次方程组以及一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程式及不等式是解答
的关键．
22.如图，在 中， ，以 为直径的⊙O与 相交于点 ，过点 作⊙O的切线交
于点 ．
（1）求证： ；
（2）若⊙O的半径为 ， ，求 的长．
【答案】（1）见详解；（2）4.8．【解析】
【分析】
（1）连接OD，由AB=AC，OB=OD，则∠B=∠ODB=∠C，则OD∥AC，由DE为切线，即可得到结论成
立；
（2）连接AD，则有AD⊥BC，得到BD=CD=8，求出AD=6，利用三角形的面积公式，即可求出DE的长
度．
【详解】解：连接OD，如图：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠B=∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE是切线，
∴OD⊥DE，
∴AC⊥DE；
（2）连接AD，如（1）图，
∵AB为直径，AB=AC，
∴AD是等腰三角形ABC的高，也是中线，
∴CD=BD= ，∠ADC=90°，
∵AB=AC= ，
由勾股定理，得： ，
∵ ，
∴ ；【点睛】本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理，解题的关键是熟
练掌握所学的性质定理，正确的求出边的长度．
的
23.如图1，四边形 对角线 ， 相交于点 ， ， ．
图1 图2
（1）过点 作 交 于点 ，求证： ；
（2）如图2，将 沿 翻折得到 ．
①求证： ；
②若 ，求证： ．
【答案】（１）见解析；（２）①见解析；②见解析．
【解析】
【分析】
（1）连接CE，根据全等证得AE=CD，进而AECD为平行四边形，由 进行等边代换，即
可得到 ；
（2）①过A作AE∥CD交BD于E，交BC于F，连接CE， ，得 ，利用翻折的
性质得到 ，即可证明；②证△BEF≌△CDE，从而得 ，进而得
∠CED=∠BCD，且 ，得到△BCD∽△CDE，得 ，即可证明．
【详解】解：（1）连接CE，∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴△OAE≌△OCD，
∴AE=CD，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AE=CD，OE=OD，
∵ ，
∴CD=BE，
∴ ；
（2）①过A作AE∥CD交BD于E，交BC于F，连接CE，
由（1）得， ，
∴ ，
由翻折的性质得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ， ，∴ ，
∵ ，
∴EF=DE，
∵四边形AECD 是平行四边形，
∴CD=AE=BE，
∵AF∥CD，
∴ ，
∵EF=DE，CD=BE， ，
∴△BEF≌△CDE（SAS），
∴ ，
∵ ，
∴∠CED=∠BCD，
又∵∠BDC=∠CDE，
∴△BCD∽△CDE，
∴ ，即 ，
∵DE=2OD，
∴ ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及平行四边形的判定和性质，考查等腰三角形的判定与性质
综合，熟练掌握各图形的性质并灵活运用是解题的关键．
24.如图，抛物线 与 轴相交于 ， 两点，与 轴相交于点 ， ， ，直
线 是抛物线的对称轴，在直线 右侧的抛物线上有一动点 ，连接 ， ， ， ．的
（1）求抛物线 函数表达式；
（2）若点 在 轴的下方，当 的面积是 时，求 的面积；
（3）在（2）的条件下，点 是 轴上一点，点 是抛物线上一动点，是否存在点 ，使得以点 ，
， ， 为顶点，以 为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说
明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在， 或 或
．
【解析】
【分析】
（1）直接利用待定系数法可求得函数解析式；
（2）先求出函数的对称轴和直线BC的函数表达式，过D作DE⊥OB交OB于点F,交BC于点E，用式子
表示出 的面积从而求出D的坐标，进一步可得 的面积；
（3）根据平行四边形的性质得到 ，结合对称轴和点D坐标易得点N的坐标．
【详解】解：（1）∵OA=2，OB=4，
∴A（-2，0），B（4，0），将A（-2，0），B（4，0）代入 得：
，
解得：
∴抛物线的函数表达式为： ；
（2）由（1）可得抛物线 的对称轴l： ， ，
设直线BC： ，
可得：
解得 ，
∴直线BC的函数表达式为： ，
如图1，过D作DE⊥OB交OB于点F,交BC于点E，
设 ，则 ，∴ ，
由题意可得
整理得
解得 （舍去），
∴ ，
∴
∴
；
（3）存在
由（1）可得抛物线 的对称轴l： ，由（2）知 ，
①如图2当 时，四边形BDNM即为平行四边形，
此时MB=ND=4，点M与点O重合，四边形BDNM即为平行四边形，
∴由对称性可知N点横坐标为-1，将x=-1代入
解得
∴此时 ，四边形BDNM即为平行四边形．
②如图3
为
当 时，四边形BDMN 平行四边形，
过点N做NP⊥x轴，过点D做DF⊥x轴，由题意可得NP=DF
∴此时N点纵坐标为
将y= 代入 ，
得 ，解得：
∴此时 或 ，四边形BDMN为平行四边形．综上所述， 或 或 ．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合，首先要掌握待定系数法求解析式，其次要添加恰当的辅助线，灵
活运用面积公式和平行四边形的判定和性质，应用数形结合的数学思想解题．本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
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