2024-2025三调参考答案（数学）无密码_2025年3月_250331吉林省吉林市2024-2025学年高三下学期3月三模（全科）_吉林省吉林市2024-2025学年高三下学期3月三模试题数学Word版含答案

吉林地区普通高中 2024—2025 学年度高三年级第三次模拟考试 8. 教学提示 参考选择性必修第二册教材P553(3)，科赫雪花曲线. 数学学科参考答案 若原正三角形的边长为1，则雪花曲线P 满足： n 一、单项选择题 n1 n1 1 4 1 2 3 4 5 6 7 8 ①边数：a n 34n1 ；②边长：b n  3   ；③周长：L n 3 3   ； A B B C A C D B  n1 n1 3 4 8 3 4 3 ④面积 ：S  S  S 1   S  S   ，其中S  ． 6. 教学提示 n 1 5 1  9  5 1 5 1 9 1 4 先找ΔAFD 1 的外心O 1 ，发现O 1 为线段A 1 D的四等分点（靠近A 1 ）， 二、多项选择题 则球心O在过O 且与平面AD F 垂直的直线上. 9 10 11 1 1 利用几何法或者坐标法均可，坐标法具体做法参考如下： AB ABD ACD 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 11. 教学提示 3 3 3 3 O ( ,0, )，A(2,0,0)，E(1,2,0)，设球心O( ,m, )， 参考选择性必修第二册教材P8283，牛顿切线法───用导数方法求方程的近似解. 1 2 2 2 2 7 f(x) x3  x 1， f(x)3x2 1， 由OAOE ，求出m1，从而求出R2 OA2  . 2 7. 教学提示 y f(x)在横坐标为x n1 的点处的切线斜率为3x n 2 1 1， xlnx yey ez lnz5 y f(x)在横坐标为x 的点处的切线方程为 y(x3  x 1)(3x2 1)(x x )． n1 n1 n1 n1 n1 lnx5 x，ey 5 y，lnz5ez，如图所示： 2x3 1 令 y0，则x  n1 ，C 选项正确； 由图知， y z x，故A，B选项错误； n 3x n 2 1 1 （也可以通过 y x， yex， ylnx图象的变化  f(x) 3x2 10在R上恒成立， f(x)在R上单调递增． 速度判断x， y，z的大小关系） 2 1 2 f( )  ， f(1)1，则 f( )f(1)0． 3 27 3  y x 5 5 由 得，P( , ) y5 x 2 2 . 2  由零点存在性定理可知， f(x)在R上存在唯一零点r，且r ,1． 3  yex和 ylnx关于 y x 对称， A(y,ey)和B(x,lnx)关于P( 5 , 5 )对称， f(r)r3  r 10，则1 r  r3． 2 2 x y5且lnx y，lnx y2y5，故C 选项错误； 2x3 1 2x3 1 3rx2  r 2x3  3rx2  r3 ey  x，ey z xz x y5，故D选项正确. x n  r  3x n 2 1 1  r  n1 3x2 1 n1  n1 3x2  n 1 1 n1 n1 n1 第 1 页 共 5 页(x r)2(2x r) 四、解答题  n1 n1 ． 3x2 1 15．【解析】 n1 a (a 4d)64, a 4, a 16, 要证 x n r  x n1 r 2 ，只需证2x n1  r  3x n 2 1 1， （Ⅰ）由题意得   a 1 1  1 2d 10. 解得   d 1 3, 或   d 1 3. （舍） 只需证r  3x2  2x 1，即证r  x (3x  2)1， a n 4(n1)33n1，即数列{a n }的通项公式是a n 3n1．······························· 4分 n1 n1 n1 n1 2 （Ⅱ）S n 2b n 1① ，当n1时，b 1  S 1 2b 1 1，得b 1 1， x  ，x (3x  2)11， n1 3 n1 n1 当n≥2时，S 2b 1 ②，由①  ②得，S S (2b 1)(2b 1)， n1 n1 n n1 n n1 2   r 1 r  x (3x  2)1成立. 3 n1 n1 b 化简得，b 2b ，即 n 2 (n≥2)， n n1 b  x  r  x  r 2 ，D选项正确． n1 n n1 三、填空题 数列{b }是以1为首项，2为公比的等比数列， b 2n1．········································8分 n n 2 5 8 12. 13. 2 14. (2分)； (3分)  c a b 3n12n1， 3 3 7 n n n 14. 教学提示 n[4(3n1)] 1(12n) 3n2 5n 3 5 T    2n 12n  n2  n1．·····················13分 n 2 12 2 2 2 |PF | |AF | 5 5 由角平分线定理可知， 1  1  ，|F F |2c，|PF | c， n[4(3n1)] 3 5 |PF 2 | |AF 2 | 3 1 2 1 4 （或T n  2 2b n 12n  2 n2  2 n1） 16．【解析】 由双曲线定义可知|AF ||AF |2a，|AF |5a，|AF |3a， 1 2 1 2 （Ⅰ）（法一）X 的所有可能取值为0，1，2，且X 服从超几何分布． 2π 在ΔAF F 中，由余弦定理可得，4c2 (5a)2 (3a)2 25a3acos ， 1 2 3 C0C2 1 C1C1 3 C2C0 1 P(X 0) 3 3  ，P(X 1) 3 3  ，P(X 2) 3 3  ． 4c2 49a2 ，e2  c2  49 ，e1，e 7 ， C 6 2 5 C 6 2 5 C 6 2 5 a2 4 2 X 的分布列为 连接F I，I 为ΔAF F 内心 ，F I是AF F 的角平分线， X 0 1 2 1 1 2 1 1 2 1 3 1 P |AI| |AF | 5a 4a 4 8 在ΔAF P中，由角平分线定理可知  1     ． 5 5 5 1 |IP| |PF | 5 c e 7 1 c 4 ·····························································································································4分 1 3 1 X 的数学期望E(X)0 1 2 1．···························································5分 5 5 5 （法二）X 服从超几何分布，且N 6，M 3，n2． 扫码查看圆锥曲线的光学性质及动态演示过程 第 2 页 共 5 页CkC2k x2 X 的分布列为P(X k) 3 3 ，k 0，1，2．···················································4分   y2 1, C2 由 4 消去x，得(t2 4)y2 2mtym2 40. 6  xtym nM 23 X 的数学期望E(X)  1.······································································ 5分 N 6 2mt m2 4 Δ16(t2 m2 4)0， y 1  y 2  t2 4 ， y 1 y 2  t2 4 ，··········································8分 （Ⅱ）（i）记C “每位员工经过培训合格”，A “每位员工第i 轮培训达到优秀”(i  1，2，3)， i 8m x  x ty mty mt(y  y )2m ，    1 2 1 2 1 2 t2 4 C  A A A  A A A  A A A  A A A ，根据概率加法公式和事件相互独立定义得， 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4m2 4t2 x x (ty m)(ty m)t2y y mt(y  y )m2  ，    1 2 1 2 1 2 1 2 t2 4 P(C) P(A A A ) P(A A A ) P(A A A ) P(A A A ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 MA(x 2,y )，MB(x 2,y )，MA MB， 1 1 2 2     P(A )P(A )P(A ) P(A )P(A )P(A ) P(A )P(A )P(A ) P(A )P(A )P(A ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4m2 4t2 16m m2 4 MAMB(x 2)(x 2) y y  x x 2(x  x )4 y y   4 0 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 t2 4 t2 4 t2 4              ． 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 6 化简得5m2 16m120， m ，或m2（舍） 1 5 即每位员工经过培训合格的概率为 ．·······································································10分 2  6  2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 直线AB过定点D ,0.····················································································12分 （注：记C “每位员工经过培训合格”，P(C)             ．  5  3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 上述求解方法给满分.） （注：此处亦可按如下方法求m 1 （ii）记A，B两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为Y ，则Y ~B(50, )， y y y y y y 2 k k  1  2  1 2  1 2 MA MB x 2 x 2 (ty m2)(ty m2) t2y y t(m2)(y  y )(m2)2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 E(Y)50 25．·····························································································12分 2 m2 4 m2 6 则253025205031100(万元)   1，m ） 4(m2)2 4(m2) 5 即估计A，B两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．········15分  8  1 1 设E 为MD的中点，即E ,0. （注：直接列式50 3050 205031100(万元)给满分.）  5  2 2 1 1 4 2 若N 与D不重合，则MD是RtΔMND的斜边，|NE| |MD|   ； 17.【解析】 2 2 5 5 1 1 4 2 c 3 若N 与D重合，则|NE| |MD|   . （Ⅰ）e  ，a2， c 3，b2 a2 c2 431， 2 2 5 5 a 2  8  2 x2 综上所述，存在定点E ,0，使得|NE|为定值 .··················································· 15分 即椭圆C 的标准方程为  y2 1. ············································································4分  5  5 4 （Ⅱ）（法一）由题可知，直线AB的斜率不为0， （法二）1当直线AB斜率不存在时，设A(x ,y )，B(x ,y )，M(2,0)，MA(x 2,y )， 0 0 0 0 0 0 设直线AB的方程为xtym，设A(x ,y )，B(x ,y )， 1 1 2 2 1 MB(x 2,y )，MA MB，MAMB(x 2)2  y2  x2 4x 41 x2 0， 0 0 0 0 0 0 4 0 第 3 页 共 5 页6  5x2 16x 120，解得x 2，不符题意（舍），或x  ，符合题意.  8  2 0 0 0 0 5 综上所述，存在定点E ,0，使得|NE|为定值 .···················································15分  5  5  6  直线AB过点D ,0. ························································································6分 18.【解析】  5  AC AB 2 3 3 （Ⅰ）ΔABC 中，由正弦定理得  ，即  ， sinABC sinACB sinABC π 2当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为 ykxm(k 0)，设A(x ,y )，B(x ,y )， sin 1 1 2 2 3 π x2 故sinABC 1，又0ABC  π，ABC  BC  AB.····································2分   y2 1, 2 由 4 消去 y，得(14k2)x2 8kmx 4m2 40.  又ΔACD为正三角形，CADACB，AD//BC AD AB .·································4分 ykxm 又AA 平面ABCD，AD平面ABCDAD AA .··················································6分 1 1 Δ(8km)2 16(14k2)(m2 1)16(4k2 m2 1)0. 又AA AB A，AA ，AB 平面AA B B AD平面AA B B.·····························8分 8km 4m2 4 1 1 1 1 1 1 x 1  x 2  14k2 ，x 1 x 2  14k2 ，········································································8分 （Ⅱ）以B为原点，BC ，AB，BB 所在直线分别为x轴、 y轴、z轴，建立如图所示的空间直角 1 y y (kx m)(kx m)k2x x km(x  x )m2 . 1 2 1 2 1 2 1 2 坐标系，则A(0,3,0)，B (0,0,3)，C( 3,0,0)，D(2 3,3,0)，F( 3,3,0)， 1 MA(x 2,y )，MB(x 2,y )，MA MB， 1 1 2 2 E( 3cos, 3sin,0)，E ( 3cos, 3sin,3).·························································10分 1 MAMB(x 2)(x 2) y y  x x 2(x  x )4 y y 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 FE ( 3cos 3, 3sin3,3)， 4m2 4 8km 1 (k2 1)x x (2km)(x  x )4m2  (k2 1) (2km) 4m2 0. 1 2 1 2 14k2 14k2 BB (0,0,3)，BE ( 3cos, 3sin,0). 6 1 化简得：5m2 16mk 12k2 0， m k，或m2k. 5  设平面BEE B 的法向量为n(x,y,z)， 当m2k时， ykx2k k(x2)，此时直线过点M，不符题意，舍去； 1 1 6 6 6  6    n  BB 0 z0 当m k时， ykx k k(x )，此时直线AB过定点D ,0. 则 1  5 5 5  5   n  BE 0 xcos ysin0  取n(sin,cos,0).····························································································12分  6  综上所述，直线AB过定点D ,0.······································································· 12分  5  设直线E F 与平面BEE B 所成角为，则 1 1 1 π π  8   |sin( )| 1cos2( ) 设E 为MD的中点，即E ,0.  |FE n| | 3sin3cos| 3 3  5  sin|cos FE 1 ,n| |FE 1 1 ||n  |  6 3sin6cos24  2cos( π )  2cos( π ) . 1 1 4 2 3 3 若N 与D不重合，则MD是RtΔMND的斜边，|NE| |MD|   ； 2 2 5 5 ····························································································································14分 1 1 4 2 若N 与D重合，则|NE| |MD|   . 2 2 5 5 π π π π 5π 3 π 1 3 3 令t 2cos( )，0     cos( )  t 2 ， 3 2 3 3 6 2 3 2 2 2 第 4 页 共 5 页1 1(2t)2 t2 4t3 3 3 故实数t 的取值范围是 t 0.·············································································· 13分 则sin   4t  42 t  31， e t t t t 1 不妨设0 x   x ，则0ex 1 ex . 1 e 2 1 2 当且仅当t  3 时取等号.·························································································16分 2x 2x 由（Ⅱ）知，当1 x0时，ln(x1) ；当x0时，ln(x1) . x2 x2 故直线E F 与平面BEE B 所成角的正弦值的最大值为 31.·······································17分 1 1 1 令u x1，则xu1. 19.【解析】 2(u1) 2(u1) 当0u1时，lnu ；当u1时，lnu . 1 1 u1 u1 （Ⅰ） f(x)ln(x1)， f(x) ， f(x) . x1 (x1)2 2(ex 1) 2(ex 1) ax ab 2ab 即ln(ex ) 1 且ln(ex ) 2 ； R(x) ，R(x) ，R(x) . ···········································2分 1 ex 1 2 ex 1 xb (xb)2 (xb)3 1 2 ax  f(x)在x0处的[1,1]阶帕德逼近R(x) ， 2(ex 1) ex 3 2(ex 1) ex 3 xb lnx  1 1 1 且lnx  2 1 2 .·····································15分 1 ex 1 ex 1 2 ex 1 ex 1 1 1 2 2  a  f(0) R(0)  1 a2  ， b ，则 . x (ex 3) x (ex 3) f(0) R(0) 1 2a b2 t  x 1 lnx 1  1 ex 1 1 且t  x 2 lnx 2  2 ex 2 1 ，  b2 1 2 2x R(x) . ······································································································5分 ex2 (3et)x t 0且ex2 (3et)x t 0. x2 1 1 2 2 2x 3 （Ⅱ）设函数F(x) f(x)R(x) ln(x1)  (x1). 设函数(x)ex2 (3et)xt的两个零点分别为r ，r ，则r r t . x2 1 2 1 2 e 3 x2 (x )0，(x )0，x  r  x  r ，x  x  r  r t .························17分 F(x) ≥0恒成立，F(x)在(1，)上单调递增.····························8分 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 e (x1)(x2)2 又F(0)0， 当1 x0时，F(x)0，即 f(x) R(x)； 当x0时，F(x)0，即 f(x) R(x)； 当x0时，F(x)0，即 f(x) R(x).····································································· 11分 （Ⅲ）设函数h(x) xlnx，方程xlnxt 有两个不相等的实数根x ，x ， 1 2 则 yt 与h(x) xlnx有两个不同的交点， 1 h(x)lnx1，令h(x)0，则x . e 1 1 当0 x 时，h(x)0，h(x)在(0, )上单调递减; e e 1 1 1 1 当x 时，h(x)0，h(x)在( ,)上单调递增.h(x) h( ) . e e min e e 当x0时，h(x)0，h(1)0；当0 x1时，h(x)0；当x1时，h(x)0. 第 5 页 共 5 页