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随州市 2020 年初中毕业升学考试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，有且只
有一个是正确的）
1.2020的倒数是（ ）
A. B. C. D.
2.如图，直线 ，直线 与 ， 分别交于 ， 两点，若 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
3.随州7月份连续5天的最高气温分别为：29，30，32，30，34（单位：℃），则这组数据的众数和中位
数分别为（ ）
A. 30，32 B. 31，30 C. 30，31 D. 30，30
4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 四棱柱 D. 四棱锥
5. 的计算结果为（ ）
A. B. C. D.
6.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有 只，兔有 只，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离（ ）与
出发时间（ ）之间的对应关系的是（ ）
A. B. C. D.
8.设边长为 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为 、 、 ，则下列结论不正确的
是（ ）
A. B. C. D.
9.将关于 的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关于 的一次多项式，
从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法
可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且 ，则 的值为（
）
A. B. C. D.
的
10.如图所示，已知二次函数 图象与 轴交于 ， 两点，与 轴的正半轴
交于点 ，顶点为 ，则下列结论：① ；② ；③当 是等腰三角形时， 的值有2个；④当 是直角三角形时， ．其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对
应题号处的横线上）
11.计算： _____．
12.如图，点 ， ， 在 上， 是 的角平分线，若 ，则 的度数为
_____．
13.幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方---九宫图．将数字1~9分别填入
如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则 的值为
______．
14.如图， 中，点 ， ， 分别为 ， ， 的中点，点 ， ， 分别为 ， ，
的中点，若随机向 内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为____．15.如图，直线 与双曲线 在第一象限内交于 、 两点，与 轴交于点 ，点 为线段
的中点，连接 ，若 的面积为3，则 的值为____．
16.如图，已知矩形 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上，沿着 折叠矩
形 ，使点 ， 分别落在 ， 处，且点 在线段 上（不与两端点重合），过点 作
于点 ，连接 ，给出下列判断：① ；②折痕 的长度的取值范围为
；③当四边形 为正方形时， 为 的中点；④若 ，则折叠后重叠部
分的面积为 ．其中正确的是_____．（写出所有正确判断的序号）.
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过
程）17.先化简，再求值： ，其中 ， ．
18.已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根 ， ，且 ，求 的值．
19.根据公安部交管局下发的通知，自2020年6月1日起，将在全国开展“一带一盔”安全守护行动，其中
就要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔．某日我市交警部门在某个十字路口共拦截了50名不带头盔的骑
行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题：
年龄 （岁） 人数 男性占比
4 50%
60%
25 60%
8 75%
3 100%
（1）统计表中 的值为_______；
的
（2）若要按照表格中各年龄段 人数来绘制扇形统计图，则年龄在“ ”部分所对应扇形的圆
心角的度数为_______；
（3）在这50人中女性有______人；
（4）若从年龄在“ ”的4人中随机抽取2人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，
求恰好抽到2名男性的概率．
20.如图，某楼房 顶部有一根天线 ，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点 ， ，
，在点 处测得天线顶端 的仰角为 ，从点 走到点 ，测得 米，从点 测得天线底端的仰角为 ，已知 ， ， 在同一条垂直于地面的直线上， 米．
（1）求 与 之间的距离；
的
（2）求天线 高度．（参考数据： ，结果保留整数）
21.如图，在 中， ，以斜边 上的中线 为直径作 ，与 交于点 ，与
的另一个交点为 ，过 作 ，垂足为 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的直径为5， ，求 的长．
22.2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的
某型号口罩销售价格 （元/只）和销量 （只）与第 天的关系如下表：
第 天 1 2 3 4 5
销售价格 （元/只） 2 3 4 5 6
销量 （只） 70 75 80 85 90的
物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩 销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将
该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量 （只）与第 天的关系为
（ ，且 为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．
（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格 与 和销量 与 之间的函数关系式；
（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润 （元）与 的函数关系式，并判断第几天的利润最大；
（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之
外的非法所得部分处以 倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则 的取值范围为______．
23.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算
经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”
（如图1）后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定
理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三
个图形中面积关系满足 的有_______个；的
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分） 面积分别
为 ， ，直角三角形面积为 ，请判断 ， ， 的关系并证明；
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重
复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形
的边长为定值 ，四个小正方形 ， ， ， 的边长分别为 ， ， ， ，已知
，则当 变化时，回答下列问题：（结果可用含 的式子表示）
① _______；
② 与 的关系为_______， 与 的关系为_______．24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的对称轴为直线 ，其图象与 轴交于点 和
点 ，与 轴交于点 ．
（1）直接写出抛物线的解析式和 的度数；
（2）动点 ， 同时从 点出发，点 以每秒3个单位的速度在线段 上运动，点 以每秒 个
单位的速度在线段 上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为
秒，连接 ，再将线段 绕点 顺时针旋转 ，设点 落在点 的位置，若点 恰好落
在抛物线上，求 的值及此时点 的坐标；
（3）在（2）的条件下，设 为抛物线上一动点， 为 轴上一动点，当以点 ， ， 为顶点的三角
形与 相似时，请直接写出点 及其对应的点 的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得
4分）本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
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