文档内容
娄底市 2020 年初中毕业学业考试试题卷
数学
温馨提示：
1、本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量120分钟，满分120分．
2、请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上．
3、请你在答题卡规定区域内作答，答在本试题卷上无效．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的
方框里）
1. 的倒数是（ ）
A. B. 2020 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由乘积为 的两个数互为倒数，可得答案．
【详解】解：
的倒数是： ，
故选D．
【点睛】本题考查的是求一个数的倒数，掌握倒数的定义是解题的关键．
2.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方、整式的加法：合并同类项逐项判断即可．【详解】A、 ，此项错误
B、 ，此项错误
C、 ，此项正确
D、 ，此项错误
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方、整式的加法，熟记各运算法则是解题关
键．
3.如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果 ，那么 的度数为（ ）
A. 62° B. 56° C. 28° D. 72°
【答案】A
【解析】
【分析】
利用两锐角互余求解 再利用平行线的性质可得答案．
【详解】解：如图，标注字母，
由题意得： ，
故选A．【点睛】本题考查平行线的性质，两锐角互余的性质，掌握以上知识是解题的关键．
4.一组数据7，8，10，12，13的平均数和中位数分别是（ ）
A. 7、10 B. 9、9 C. 10、10 D. 12、11
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据平均数的算法进行计算，求得这组数据的平均数，再将这组数据按从小到大排列的顺序排列，找出
最中间的数即可得出答案．
【详解】解：这组数据的平均数是：
把这些数从小到大排列为：7，8，10，12，13，最中间的数是10，则中位数是10；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平均数与中位数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将
一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均
数就是这组数据的中位数．
5.我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是中心对称图形．故错误；
B、是中心对称图形．故正确；
C、不 是中心对称图形．故错误；D、不是中心对称图形．故错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6.2020年中央财政下达义务教育补助经费1695.9亿元，比上年增长8.3%．其中1695.9亿元用科学记数法
表示为（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
【答案】D
【解析】
【分析】
根据科学记数法的定义即可得．
【详解】科学记数法：将一个数表示成 的形式，其中 ，n为整数，这种记数的方法叫做
科学记数法
则 亿
故选：D．
【点睛】本题考查了科学记数法的定义，熟记定义是解题关键．
7.正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．
【详解】解：正多边形的一个外角等于60°，且外角和为360°，
则这个正多边形的边数是：360°÷60°=6，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于360度．
8.如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂 ，阻力臂 ，如果动力F的用力方向
始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）A. 越来越小 B. 不变 C. 越来越大 D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据杠杆原理及 的值随着 的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案．
【详解】解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂，
∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，
∴动力随着动力臂的增大而减小，
∵杠杆向下运动时 的度数越来越小，此时 的值越来越大，
又∵动力臂 ，
∴此时动力臂也越来越大，
∴此时的动力越来越小，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本
题的关键．
9.如图，平行于y轴的直线分别交 与 的图象（部分）于点A、B，点C是y轴上的动点，则
的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
设A的坐标为（x， ），B的坐标为（x， ），然后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：设A的坐标为（x， ），B的坐标为（x， ），
∴S = = ，
△ABC
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数和几何综合，设出A，B的坐标是解题关键．
10.下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）
A. 135 B. 153 C. 170 D. 189
【答案】C
【解析】
【分析】
由观察发现每个正方形内有： 可求解 ，从而得到 ，再利用 之间 的关
系求解 即可．
【详解】解：由观察分析：每个正方形内有：
由观察发现：
又每个正方形内有：故选C．
【点睛】本题考查的是数字类的规律题，掌握由观察，发现，总结，再利用规律是解题的关键．
11.函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
把 代入四个函数解析式，解方程即可得到答案．
【详解】解：当
＜ ，
原方程没有实数解，
没有零点，故 不符合题意，
当
显然，方程没有解，
所以 没有零点，故 不符合题意，
当
显然方程无解，所以 没有零点，故 不符合题意，
当
所以 有两个零点，故 符合题意，
故选
【点睛】本题考查的是函数的零点，即函数与 轴的交点的情况，掌握令 ，再解方程是解题的关键．
12.二次函数y=（x﹣a）（x﹣b）﹣2，（a＜b）的图象与x轴交点的横坐标为m，n，且m＜n，则a，b，
m，n的大小关系是（ ）
A. a＜m＜n＜b B. a＜m＜b＜n C. m＜a＜b＜n D. m＜a＜n＜b
【答案】C
【解析】
【分析】
依照题意画出二次函数y=（x-a）（x-b）及y=（x-a）（x-b）-2的图象，观察图象即可得出结论．
【详解】解：二次函数y=（x-a）（x-b）与x轴交点的横坐标为a、b，将其图象往下平移2个单位长度可
得出二次函数y=（x-a）（x-b）-2的图象，如图所示．
观察图象，可知：m＜a＜b＜n．
故选C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的图象，依照题意画出图象，利用数形结合解决问
题是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13.一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ________．【答案】1
【解析】
【分析】
由一元二次方程有两个相等的实数根，则 从而列方程可得答案．
【详解】解： 方程 有两个相等的实数根，
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．
14.口袋内装有大小、质量和材料都相同的两种颜色的球，其中红色球3个，白色球2个，从中任意摸出一
球，摸出白色球的概率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据概率的计算公式，用白球的个数除以总个数即可得到结果．
【详解】由题可知，摸出白球的概率 ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了概率 的求解，准确计算是关键．
15.若 ，则 ________．
【答案】【解析】
【分析】
根据比例的基本性质进行化简，代入求职即可．
详解】由 可得 ， ，
【
代入 ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了比例的基本性质化简，准确观察分析是解题的关键．
16.如图，公路弯道标志 表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有 处的弯道上
从点A行驶了 米到达点B，则线段 _______米．
【答案】300
【解析】
【分析】
根据弧长公式求出∠AOB的度数，根据等边三角形的性质即可求解．
【详解】∵ =
∴n=60°
又AO=BO
∴△AOB是等边三角形，
∴ AO=BO=300(米)
故答案为：300．【点睛】此题主要考查弧长公式，解题的关键是熟知弧长公式的运用．
17.如图，四边形 中， ，则将它以 为轴旋转180°后所得分别以
、 为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为_________．
【答案】3∶2
【解析】
【分析】
根据两个圆锥的底面圆相同，设底面圆的周长为l，根据圆锥的侧面积公式可得上面圆锥的侧面积为：
·AB·l，下面圆锥的侧面积为： ·BD·l，即可得出答案．
π【详解】解：∵两个圆锥的底面圆相π同，
∴可设底面圆的周长为l，
∴上面圆锥的侧面积为： ·AB·l，
下面圆锥的侧面积为： ·πBD·l，
∴S 上 ：S 下 =3：2， π
故答案为：3：2．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式，掌握圆锥侧面积公式是解题关键．
18.由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积 等于
小正方形的面积 与4个直角三角形的面积 的和证明了勾股定理 ，还可以用来证明
结论：若 、 且 为定值，则当 _______ 时， 取得最大值．【答案】=
【解析】
【分析】
设 为定值 ，则 ，先根据“张爽弦图”得出 ，再利用平方数的非
负性即可得．
【详解】设 为定值 ，则
由“张爽弦图”可知，
即
要使 的值最大，则 需最小
又
当 时， 取得最小值，最小值为0
则当 时， 取得最大值，最大值为
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、平方数的非负性，掌握勾股定理是解题关键．
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19.计算：
【答案】2．
【解析】
【分析】先计算绝对值运算、特殊角的正切函数值、零指数幂、负整数指数幂，再计算实数的混合运算即可得．
【详解】原式
．
【点睛】本题考查了绝对值运算、特殊角的正切函数值、零指数幂、负整数指数幂，熟记各运算法则是解
题关键．
20.先化简 ，然后从 ，0，1，3中选一个合适的数代入求值．
【答案】 ， ．
【解析】
【分析】
先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后选一个使得分式有意义的x的值代入求值即可．
【详解】原式
分式的分母不能为0
解得：m不能为 ，0，3
则选 代入得：原式 ．
【点睛】本题考查了分式的减法与除法、分式有意义的条件等知识点，掌握分式的运算法则是解题关键．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21.我市开展“温馨家园，创文同行”活动，某初中学校倡议学生利用双休日进社区参加义务劳动，为了了
解同学们的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间 ：A． ，B． ，C．
，D． ，
将所得数据绘制成了如下不完整的统计图：
（1）本次调查参加义务劳动的学生共_______人， _______．
（2）补全条形统计图．
（3）扇形图中“ ”部分的圆心角是_______度．
【答案】（1）100，40；（2）详见解析；（3）18°
【解析】
【分析】
（1）利用C组的人数除以百分比，即可得到总人数，然后求出a的值即可；
的
（2）求出D组 人数，然后补全条形图即可；
（3）求出A组的百分比，乘以360°，即可得到答案．
【详解】解：（1） ， ，
∴本次调查参加义务劳动的学生共100人， ；
故答案为：100；40；
（2）补全条形统计图如图所示．（3） ，
∴扇形图中“ ”部分的圆心角为18°．
【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，以及求扇形图中的圆心角，弄清题中的数据是解本题的关
键．
22.如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，
彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，
如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E点距地面 ，从E点处测得D点俯角为30°，斜面 长为 ，
水平面 长为 ，斜面 的坡度为1∶4，求处于同一水平面上引桥底部 的长．（结果精确到
， ）．
【答案】引桥桥墩底端A点到起点B之间的距离为 ．
【解析】
【分析】
延长 ，与 相交于F，过点D、C两点分别作 的垂线交 于点G、H，计算AG，GH，BH的
长度，再求和即可．【详解】解：如图，延长 ，与 相交于F，过点D、C两点分别作 的垂线交 于点G、H，则
在 中， ，
，
在 中，
答：引桥桥墩底端A点到起点B之间的距离为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用问题，熟练的构造直角三角形，并计算各边的计算是解题的
关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23.为了预防新冠肺炎疫情的发生，学校免费为师生提供防疫物品．某校花7200元购进洗手液与84消毒液
共400瓶，已知洗手液的价格是25元瓶，84消毒液的价格是15元瓶．
求：（1）该校购进洗手液和84消毒液各多少瓶？
（2）若购买洗手液和84消毒液共150瓶，总费用不超过2500元，请问最多能购买洗手液多少瓶？
【答案】（1）该校购进洗手液120瓶，购进84消毒液280瓶；（2）最多能买洗手液25瓶．
【解析】
【分析】
（1）设购进洗手液x瓶，则购进84消毒液为 瓶，根据题意得到一元一次方程，故可求解；
（2）设最多能购买洗手液a瓶，根据题意得到不等式，故可求解．
【详解】解：（1）设购进洗手液x瓶，则购进84消毒液为 瓶依题意得：
解得
答：该校购进洗手液120瓶，购进84消毒液280瓶．
（2）设最多能购买洗手液a瓶
解得
答：最多能买洗手液25瓶．
【点睛】此题主要考查一元一次方程与不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系或不等关系列
式求解．
24.如图， 中， ， ，分别在边 、 上的点E与点F关于 对称，连
接 、 、 、 ．
（1）试判定四边形 的形状，并说明理由；
（2）求证：
【答案】（1）四边形 为菱形，理由详见解析；（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意可证明 ，再由 可得到四边形 是菱形；
（2）根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解．【详解】解：（1）四边形 为菱形，理由如下
由 可得 ，从而
设 与 相交于点O
∵点E与点F关于 对称
∴ 且
在 和 中
∴
∴ ，又
∴四边形 为菱形，
（2）∵ ，据（1） C
∴
又∵ ∴
∴ ．【点睛】此题主要考查菱形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、菱形的判定定理
及直角三角形的性质．
六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25.如图，点C在以 为直径的 上， 平分 交 于点D，过D作 的垂线，垂足为
E．
（1）求证： 与 相切；
（2）若 ，求 的长；
（3）请用线段 、 表示 的长，并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2） ；（3） ，理由详见解析
【解析】
【分析】
（1）连 ，据题意得 ，根据平分线的性质，得 ，证明 ，再根据
可得结果；
（2）根据 为 的直径可得 ，证出 ，得到 ，代入数值
求解即可；
（3）由 得 ，根据 ，得到
， ，联立即可得到结果；【详解】解：（1）连 ，据题意得 ，
，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 与 相切．
（2） 为 的直径可得： ，
据（1） 且 ，
∴在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ．
（3） ．
由 得 ，
∵ ，
∴ ，
，
，
由 得 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，结合三角形相似的知识点进行求解是解题的关键．
26.如图，抛物线经过点 、 、 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 是抛物线上的动点，当 时，试确定m的值，使得 的面积最大；
（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足 ，若存在，请求出点D的坐标；若不存
在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）【解析】
【分析】
（1）据题意可设抛物线的解析式为 ，将点代入 解出a，即可求出抛物线的解析
式；
（2）先求出直线AC的解析式，然后根据当 时，点 在直线 上方，过点P作x轴
的垂线与线段 相交于点Q，可将 分别代入 和 得 ，
，从而得出PQ的代数式，从而可求出m的值；
（3）由题意可得 ，根据 ， ，可求出 ，连
接 ，过B作 的垂线交抛物线于点D，交 于点H，可得
，根据 ，可得 与 关于 的垂直平
分线对称，即关于抛物线的对称轴 对称，即点D与点C关于抛物线的对称轴 对称，从而可
求出点D的坐标．
【详解】解：（1）据题意可设抛物线的解析式为 ，
将点 代入，可得
∴抛物线的解析式为 ；
（2）设直线AC的解析式为： ，
将 、 代入得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式： ，当 时，点 在直线 上方，
过点P作x轴的垂线与线段 相交于点Q，
将 分别代入 和 得 ， ，
∴
∵ ，
∴当且仅当 时， 取得最大值，
此时 最大，
∴ ；
（3）由 、 、 得 ，
∵ ， ，
∴ ，
连接 ，过B作 的垂线交抛物线于点D，交 于点H，则 ，
，
∵ ，
∴ 与 关于 的垂直平分线对称，即关于抛物线的对称轴 对称，
∴点D与点C关于抛物线的对称轴 对称，
又∵ ，
∴点D的坐标为（-2，3）．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的性质，求一次函数解析式，结合题意，正确添加辅助
线，灵活运用知识点是解题关键．本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
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