文档内容
2025 届云南三校高考备考实用性联考卷（七）
数学评分细则
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C D D C B B
【解析】
2．依题意， 所以 故选A．
3．因为 ，所以 ，A中集合不合题意；B中集合为 或
，也不合题意，C 中集合为 ，满足题意，D 中集合为
，不合题意，故选C．
4． 令 ，解
得 ，故选D．
5．由题意可得 ，即 整理得
故选D．
6．因为 所以 ，因为 所以 所以
公差 故当 时， ，当 时， ，所以当 时， 取得
最小值，即 中最小的项是 ，故选C．
7 ． ， 即 的 圆 心 ， 半 径 为 ，
可 得 直 线 l 过 定 点
，椭圆方程 中， ， ，则
圆心 为椭圆的右焦点，线段 为 的直径(除去直线 与圆M相交
学科网（北京）股份有限公司的 直 径 ） ， 连 接 ， 因 此
点 为椭圆 上任意一点，则 ， ，即
，所以 ，故选B．
8．如图1，由已知 和 都是等边三角形， 是 中点，
， ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以平面
平面 ，同理平面 平面 ，所以 在平面
内的射影是 ，所以 是 与平面 所成的角，设
分 别 是 和 的 外 心 ， 则 ， 图1 ， 且
， 在 平 面 内 过 作 ， 过 作
， 与 交于点 ，则 平面 ，同理 平面 ，
平面 ，则 ，所以 是四面体 外接球的球心，由已知 ，
， 又 ， 所 以 ，
由对称
性知 ， ，所以直线
与平面BCD所成角的正弦值为 ，故选B．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有
多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 ACD AC ABD
【解析】
9 ． 由 题 意 知 ， ， A ： ， 故 A 正 确 ； B ：
学科网（北京）股份有限公司，
， 故 B 错 误 ； C ：
， 人 ， 故 C 正 确 ； D ：
，因为成绩服从标准正态分布，
，故D正确，故选ACD．
10．对于A项，因为 ，所以 ，所以
， 又 因 为 ， 所 以
，又因为 ，所以 ，故A项正确；对于B项，设 的外接
圆的半径为 ，由正弦定理可得 ，则 ，故B项错误；对于C项，由
余弦定理可得 ，即 ①．因为 ②，当且
仅当 时，等号成立，所以由①②得 ，当且仅当 时，等号成立，所以
的面积 ，则C项正确；对于D项，由正弦定理可得
，则 ， ，所
以 为锐角三角形，则 ，
所以 ，所以 ，所以 ，即 的
取值范围是 ，故D项错误，故选AC．
11．选项A：由曲线 ， ，若曲线为圆，需满足 和 系数相
等且无交叉项，展开原方程得： ，交叉项系数为 ，
无法消除，故曲线C无法为圆，选项A正确；选项B：验证曲线关于点 对称，将点
替换为对称点 代入方程：
与原方程形式一致，故 均成立，选项B 正确；选项C：当 时，方程为
学科网（北京）股份有限公司，整理为关于 y的二次方程： ．判别式
，即得 解得 ，选项C
错 误 ； 选 项 D ： 当 时 ， 方 程 为 ， 渐 近 线 为
，化简得 或 ，即得 或 ，所
以直线 是曲线 的一条渐近线，选项D正确，故选ABD．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
题号 12 13 14
答案 4 ；80
【解析】
12．由 可得
解得 ．
13 ． 所 以 即 原 式
原式 ．
14．依据乘法原理，选派方法共有 由表可知，五项工作获得的效益值总和
最大为13+26+15+11+16=81，但不能同时取得，要使总和最大、甲可以承担B或D项工
作，丙只能承担C项工作，则丁不可以承担C项工作，所以丁承担E项工作；乙若承担
B 项工作，则甲承担 D 项工作，戊承担 A 项工作，此时效益值总和为：
14+26+15+13+11=79，乙若不承担B项工作，则乙承担A项工作，甲承担B项工作，则
戊承担D项工作，此时，效益值总和为：25+13+15+16+11=80，所以，完成五项工作后
获得的效益值总和最大是80．
四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
解：（1） ……………………………………（1分）
学科网（北京）股份有限公司由参考数据 …………………（4分）
所以 ……………………………………………（5分）
故广告费投入y关于年销售量x的回归方程为 ．
………………………………………………………………（6分）
（2）设 “在甲汽车店购买汽车”， “在乙汽车店购买汽车”，
“购买的是新能源汽车”， ……………………………………………（7分）
………………………………………………………………（9分）
由全概率公式得， .
……………………………………………………………（13分）
16．（本小题满分15分）
解：（1）对函数
在 处的切线方程为 …………………………（2分）
设
易知 在 上单调递减，在 上单调递增，
………………………………………………………………（4分）
当且仅当 时，
与 只有一个公共点 ． …………………………（6分）
（2） …………………………………（7分）
若选①，则
易知 在 上单调递增，无最大值；
学科网（北京）股份有限公司若选②，则令
易知 在 上单调递增，在 上单调递减，
； ……………………………………………（15分）
（第（2）小问选择①③酌情给分）
若选③，则令
易知 在 上单调递减，在 上单调递增，
无最大值．
17．（本小题满分15分）
（1）证明：建立如图2所示的空间直角坐标系 ，
则
…………………………………（2分）
由 ，
得 ， 图2
解得 ，即 ，
所以 ， ， ………………………………（4分）
所以 ，又 ，
所以 ． ……………………………………………（5分）
（2）解：由（1）得 ，则 ，
……………………………………………………………（6分）
学科网（北京）股份有限公司设平面 的一个法向量为 ，
则 令 ，得 ，
所以 ， ……………………………………………（9分）
又平面 的一个法向量为 ， ………………………………（10分）
所以 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 ． ……………………………（12分）
（3）解： 由题意知 ，由（ 2）得平面 的一个法 向量为
所以点 到平面 的距离为 ．
…………………………………………………………………（15分）
18．（本小题满分17分）
解：（1）设动圆 的半径为 ，当动圆 与圆 、圆 都外切时，
所以
当动圆 与圆 、圆 都内切时，
所以 ，所以 ，
所以点 的轨迹是以 ， 为焦点，实轴长为 的双曲线，
…………………………………………………………（3分）
所以 ， ，所以
所以曲线 的方程为 ． …………………………………………（5分）
（2）设直线 交双曲线于点 ，并设 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 两式相减可得：
…………………………………………………………（7分）
……………………………………………………………（9分）
因为 为线段 的中点，
所以 ，
所以 ，所以直线 的方程为 ，
化简可得 ． ……………………………………………（11分）
（3） ，设点
因为直线CD的斜率不为0，故设CD的方程为
联立 得 ，
……………………………………………（13分）
直线 的方程为
直线 的方程为
联立直线 与 可得
学科网（北京）股份有限公司………………………………………………………（16分）
又
故点 在定直线 上． …………………………………（17分）
19．（本小题满分17分）
解：（1）因为
由②得
……………………………………………（2分）
由①得
． ……………………………………………（4分）
（2）由①得：
…
将上述等式相加，可得 ， ……………………………（6分）
所以 ， 也满足此式，
故 .
由②得， ，
，
…
将上述等式相加，可得 ，
………………………………………………………………………（8分）
所以 ．
而 也满足此式，故 ．
……………………………………………………………………（10分）
（3）由（2）知 ， …………………………………………（11分）
，
学科网（北京）股份有限公司所以
………………………………………………………………（14分）
当且仅当 时， ， 上式取得等号，
即当 时，均有 ，
所以当 时， ； ………………………………………（15分）
当 时， ； ……………………………………………（16分）
当 时， ． ……………………………………………（17分）
学科网（北京）股份有限公司
