文档内容
绝密★启⽤前
年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试
2025
数 学 试 题 卷
( 银 川 ⼀ 中 第 ⼆ 次 模 拟 考 试 )
注意事项：
1．答卷前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上⽆效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡⼀并交回。
⼀、单项选择题（共8⼩题，满分40分，每⼩题5分
1．设集合 ， ，则
A． B．
C． D．
2．若 ，则
A． B． C． D．
3．已知 ， ，且 ，则x的值为
A． B． C． D．11
4．设函数 则不等式 的解集是
A． B．
C． D．
5．在△ABC中，内⻆A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ， ，则
A．2 B．4 C．6 D．8
数学试卷 第1⻚（共4⻚）
学科⽹（北京）股份有限公司6．已知函数 ，若⽅程 在区间 上恰有3个实根，
则 的取值范围是
A． B． C． D．
7．如图所示，⼀个正四棱台的上底边⻓与侧棱⻓相等，且
为下底边⻓的⼀半，⼀个侧⾯的⾯积为 ，则该正
四棱台的体积为
A． B．
C. D．
8．已知函数 ，若 ，则
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
⼆．多项选择题（共3⼩题，满分18分，每⼩题6分）
9．下列说法正确的是
A．数据 的上四分位数为9
B．若随机变量 ，则
C．某物理量的测量结果服从正态分布 ， 越⼤，该物理量在⼀次测量中在
的概率越⼤
D．已知某4个数据的平均数为5，⽅差为3，现⼜加⼊⼀个数据5，此时这5个数据的
⽅差为
10．已知 是 上的奇函数， 是 上的偶函数，且当 时，
，则下列说法正确的是
A． 最⼩正周期为4 B．
C．f(2024)=0 D．f(2025)=3
数学试卷 第2⻚（共4⻚）
学科⽹（北京）股份有限公司11．如图，曲线C过坐标原点O，且C上的动点 满⾜到两个定点 ，
的距离之积为9，则下列结论正确的是
A．
B．若直线 与曲线C只有⼀个交点，则实数k的
取值范围为
C． 周⻓的最⼩值为12
D． ⾯积的最⼤值为
三、填空题（共3⼩题，满分15分，每⼩题5分）
12．抛物线 上⼀点M到其焦点的距离为3，则点M到坐标原点的距离为
.
13．已知 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的最⼩值
为 .
14．甲⼄两⼈进⾏⼀场抽卡游戏，规则如下：有编号 的卡⽚各1张，两⼈轮
流从中不放回的随机抽取1张卡⽚，直到其中1⼈抽到的卡⽚编号之和等于12或者所
有卡⽚被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡⽚时，恰好游戏结束的概率
是 .
四、解答题（共5⼩题，满分77分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．）
15．(13分)
已知函数 ．
(1)求函数 的最⼩正周期及其单调递增区间，
(2)若 为锐⻆ 的内⻆，且 ，求 ⾯积的取值范围．
16．(15分)
已知椭圆 过点 ，且椭圆 的短轴⻓等于焦距．
(1)求椭圆 的⽅程；
(2)若直线 的斜率为 ，且与椭圆 相交于 、 两点，求 ⾯积取得最⼤值时
数学试卷 第3⻚（共4⻚）
学科⽹（北京）股份有限公司直线 的⽅程．
17．(15分)
如图，在三棱柱 中，平⾯ 平⾯ ，
为线段 上⼀点．
(1)求证： ；
(2)是否存在点 ，使得平⾯ 与平⾯ 的夹⻆余弦值
为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
18．(17分)
已知函数 ，
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)当 时，求证 ；
(3)若函数 有两个极值点 ， （ ）且 恒成⽴，求实数a的取值
范围．
19．(17分)
设数列 的前 项和为 ， ， ，数列 满⾜：对于任意的
，都有 成⽴.
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的通项公式；
（3）设数列 ，问：数列 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存
在，求出这三项；若不存在，请说明理由.
数学试卷 第4⻚（共4⻚）
学科⽹（北京）股份有限公司数学试卷 第5⻚（共4⻚）
学科⽹（北京）股份有限公司2025届⾼三第⼆次模拟数学试卷参考答案
所以 ，
⼀、单选题
1．【答案】B 解得 ，
【详解】因为 ， ，
因此， . 即 的取值范围是 ，
故选：B. 故选：A.
2．【答案】C 7．【答案】D
【详解】因为 ，所以 . 【详解】设 ，则 ，
因为该四棱台为正四棱台，所以各个侧⾯都为等腰梯形，上､下底⾯为正⽅形，
故选：C 如图1，在四边形 中，过点 作 于点 ，
3．【答案】D
【详解】 ， ，所以 ，
因为 ，所以 . 所以 ，解得 ，
故选：D
4．【答案】A 在平⾯ 中，过点 作 于点 ，则 为正四棱台的⾼，
则 ，
【详解】因为 则不等式 的解集
所以 ，
即该正四棱台的⾼为 .
或 ， 故选：D
8．【答案】A
【详解】函数 定义域为 ，
或 ， ，
因为 ，所以函数 的图象关于直线 对称，
所以 或
令 ，则 且 在 上单调递增；
所以不等式 的解集为 .
故选：A. 函数 在 时单调递减，在 时单调递增，
5．【答案】B 故 当 时等号成⽴，此时 ；
【详解】因为 ， ⼜ 在 上单调递增；
所以 ，所以 . 由复合函数单调性知， 在 上单调递减，在 上单调递增；
⼜因为 ，所以 ，
故 6． 选 【 ： 答 B 案】A 两边平⽅得 ，即
若 ，则 .
【详解】若⽅程 ， 故选：A.
⼆、多选题
则 ，即 或 ， 9．【答案】BD
【详解】A.将数从⼩到⼤排列 ，共8个数，则 ，则上四分位数为
当 时， ， ，故A错误；
则 的可能取值为 ， B. ，故B正确；
因为原⽅程在区间 上恰有3个实根， C. ，由对称性可知在 的概率等于在 的概率的2倍，
当 越⼤，数据越离散，其概率越⼩，故C错误；
第1⻚，共3⻚
学科⽹（北京）股份有限公司D.设原数据为 ，因平均数为5，⽅差为3，
三、填空题
则 ， ， 12．【答案】
【详解】设 ，由抛物线 可得 ，
则新数据的平均数为 ，⽅差为 ，故D正确. 抛物线 上点到焦点的距离等于3，
故选：BD. ，解得 ，
10．【答案】BCD ，
【详解】因为 是偶函数，所以 ，
点M到坐标原点的距离为
⼜因为 是奇函数，所以 ，所以 ，
故答案为：
所以 ，
所以 ，所以 的周期为 ，故A错误； 1
【
3．
详
【
解
答
】
案
设
】
切
9
点为 ，
⼜当 时， ，
所以 ，选项B正确； ⼜因为曲线 ，则 ，直线 斜率为1，
f(2024)=f(8×253+0)=0，选项C正确；
F(2025)=f(253×8+1）=f(1)=3，选项D正确. 所以 ，⼜因为 ，
故选：BCD. 所以 ，所以 ，因为 为正实数，
11．【答案】AD
【详解】由定义 ，即 ， 所以 ，
即 ，该曲线过原点，所以 ，
⼜ ，所以 ，故选项A正确； 当且仅当 ，即 时，则 取最⼩值为9.
故⽅程为 ，所以曲线C的⽅程为 ， 故答案为：9.
直线 与曲线 ： 必有公共点 ， 14．【答案】
【详解】根据题意可知甲抽了3张卡⽚时，恰好游戏结束相当于从7张卡⽚中抽取了5张，
因此若直线 与曲线 只有⼀个交点，则 只有⼀个解 ， 且甲抽取的三张卡⽚数字之和为12，⼄抽取的两张卡⽚数字之和不为12；
总的情况相当于从7张卡⽚中抽取了5张并进⾏全排列，即共 种排法；
即 只有⼀个解为 ， 其中三张卡⽚数字之和为12的组合有 ； ； ； ； 共5种情况；
当甲抽取的数字为 ； ； ； 时，
即 时， ⽆解，
⼄在剩余的4个数字中随意抽取两张卡⽚再进⾏排列，共有 种；
故 ，即实数 的取值范围为 ，故B错误； 当甲抽取的数字为 时，
由 ，仅当 时等号成⽴， 若⼄抽取的两张卡⽚数字可能为 ，此时不合题意，此时共有 种；
此时点P在 的垂直平分线上，故点P与原点O重合，不能形成三⻆形， 所以符合题意的排列总数为 种，
所以 ，所以 周⻓ ， ⽽基本事件的总数为
等号取不到，故C错误；
可得所求概率为 .
，
故答案为：
当且仅当 ，等号成⽴，此时点P的纵坐标为 ，
四、解答题
⽅程 可化为 ，
15．【答案】(1)最⼩正周期为 ；单调递增区间为 (2)
令 ，则⽅程 ，
由判别式 ，可得 ，
【详解】（1）函数 ，（2分）
故⾯积能取到最⼤值 ，故D正确. 所以函数 的最⼩正周期为 ， （3分）
故选：AD
第1⻚，共3⻚
学科⽹（北京）股份有限公司由 ，可得 ， ⾯积
即有函数 的单调递增区间为 . （5分） 当且仅当 即 时等号成⽴， （15分）
（2）若 为锐⻆ 的内⻆，且 ， 故 ⾯积取得最⼤值 时直线 的⽅程为
可得 ，由 ，可得 ，
17．【答案】(1)证明⻅解析 (2)存在， 或
则 ，即 . （6分） 【详解】（1）连接 ，因为在三棱柱 中，所以四边形 为平⾏四边形，
因为 ，所以四边形 为菱形，
由正弦定理得， ， 所以 ， （1分）
⼜平⾯ 平⾯ ，平⾯ 平⾯ 平⾯ ，
所以 ，
所以 平⾯ ，
所以 ⾯积 （8分） 因为 平⾯ ，所以 ， （3分）
因为 平⾯ ，所以 平⾯ ， （5分）
（10分） 因为 平⾯ ，所以 ; （6分）
（2）如图，以 的中点 为坐标原点，过O作射线 , 则可
⼜因⼜因为 为锐⻆三⻆形，则 ，即 ，解得 ，（11分）
以 所在直线分别为 轴，建⽴空间直⻆坐标系，（7分）
因为 ，
则 ，
所以 ，所以 ，所以 .
，
故 ⾯积的取值范围是 . （13分）
设 ， （9分）
16．【答案】(1) (2) 则 ，
【详解】（1）点 代⼊⽅程 得 ① （2分） 记平⾯ 的法向量 ，则 ，即 ，
且 ②， ③
由①②③可解得： ， ， （4分） 得 ， （11分）
所以椭圆 （5分） 易得平⾯ 的法向量 ， （12分）
（2）直线 的⽅程： ，点 、 ． 由题意： ，
直线⽅程代⼊椭圆 得 ， （7分） 解得： 或 ，经验证， 或 均符合题意．
由 ，得 所以 或 . （15分）
， （9分）
则弦⻓ ， （11分） 18．【答案】(1) 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为
点 到直线 的距离 ； (2)证明⻅解析； (3)
（13分）
【详解】（1）由题意，当 时， ，定义域为 ，
则 ， （1分）
第1⻚，共3⻚
学科⽹（北京）股份有限公司令 ，得 ，解得 （2分） 19．【答案】（1） ；（2） ；（3）存在， ， ， 或 ， ， .
所以，当 或 时， ， 单调递增； 【详解】（1）由 ， ①
当 时， ， 单调递减. （3分） 得 ，②
故 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 .（4分） 由①-②得 ，即 ， （2分）
（2）当 时，则 ，即 . 对①取 得， ，所以 ，所以 为常数，
令函数 ，则 ， （6分）
所以 为等⽐数列，⾸项为1，公⽐为 ，
令函数
易知 为增函数，令 则 ， 即 ， ； （4分）
， 根据零点存在定理，则有 .
⼜ 时， ，即 ，则 在 上单调递减； （2）由 ，可得对于任意 有
时， ，即 ，则 在 上单调递增. （8分）
，③
.
则 ，④
故 ，即 . （10分）
（3）由题意， 的定义域为 ， ， 则 ，⑤ （6分）
有两个极值点 ， （ ）即⽅程 有两个不相等正数根， 由③-⑤得 ， （8分）
对③取 得， 也适合上式， （9分）
则有 ，解得 因此 ， ， （10分）
（3）由（1）（2）可知 ， 则 ，
因为 恒成⽴，所以 对 恒成⽴， 所以当 时， ，即 ，
当 时， ，即 在 且 上单调递减， 故 …，
分离参数可得 对 恒成⽴， （12分）
假设存在三项 ， ， 成等差数列，其中 ， ， ，
令 ，则 由于 …，可不妨设 ，则 （*），
即 ， （12分）
令 则 解得 或 （舍去）. （13分）
因为 ， ， 且 ，则 且 ，
所以当 时， ， 单调递增； 由数列 的单调性可知， ，即 ，
因为 ，所以 ，
当 时， ， 单调递减. （14分）
即 ，化简得 ，
故 即 ， 是减函数.（15分） ⼜ 且 ，所以 或 ， （14分）
当 时， ，即 ，由 时， ，此时 ， ， 不构成等差数列，不
所以 ， 合题意，
故实数 的取值范围是 （17分）
当 时，由题意 或 ，即 ，⼜ ，代⼊（*）式得 ，
第1⻚，共3⻚
学科⽹（北京）股份有限公司因为数列 在 且 上单调递减，且 ， ，所以 ， （16分）
综上所述，数列 中存在三项 ， ， 或 ， ， 构成等差数列. （17分）
第1⻚，共3⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
