文档内容
第一章、倍数特性
1、整除型
如果，A=BxC (B,C均为整数)，那么A能够被B整除，且A能被C整除
（1）口诀法(常用于3、4、5、9) : 3/9看各位数字之和，5看末位，4看末两位.
3/9——— 看各位数字之和能否被3/9整除，例:12345 （弃3法，弃9法）
2/5 ——— 看数字未一位能否被2/5整除，例: 12125
4/25 ——— 看数字未两位能否被4/25整除，例: 12124
8/125 ——— 看数字末三位能否被8/125整除，例: 12164
（2）拆分法（没口诀，常用于7、11、13）
一个数=接近且明显能被整除的数+-零头，只看零头
例：623/7，把632拆成7的倍数+零头，只看零头能否被7整除
（3）因式分解（复杂倍数，常用于6、12、18、24等）
因式分解成两个互质（互质指两个数没有公约数的）的数，
同时满足能被这两个数整除 例：24=3x8
【例 1】（2024 广东）档案室需要整理 300 份档案，要求每天整理的档案数量相同，且规定了
完成的期限。如果要提前一天完成，那么每天需要多整理 10 份档案。则规定的期限为（ ）天。
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
总量=效率*时间，代入A选项，原计划每天整理为300/6-50份，提前一天300/（6-1）=60份
档案，较原计划每天多整理10份档案，选A
2、余数型（均分思想，多退少补）
若总数 = ax+b, 则（总数-b）能被a整除。（a,x均为整数）
【例 2】（2024 全国事业单位联考）企业招聘了 100 多名应届毕业生，其中 13 人被分配到总
部工作，剩下的人正好被平均分配到 7 个分公司，也能被平均分配到 9 个分公司工作。
问企业招聘了多少名应届毕业生？（ ）
A.126 B.139 C.176 D.189
等式：总数-13 => 63的倍数，选B
代入各个选项，B满足，139-13=126，为63的2倍
3、比例型（核心：问题和分母，分子的关系）
考法一：
分子：男生——>7份；男生人数是7的倍数
分母：女生——>3份；女生人数是3的倍数
男 7
=
子母和：总人数——>10份；全班人数是10的倍数
女 3
子母差：男生比女生多....人 男-女——>4；男女生人数差是4的倍数
考法2：
分子：男生-2——>7
分母：女生——>3
男-2 7
= 子母和：总-2——>10
女 3
子母差：男生比女生多....人 男-女-2——>4
第1/56页考法3：（A 与非 A 思想）：甲/其他=7/3
分子甲：7
分母其他：3
子母和：总——>10
比例型适用于：
1、题干特征：分数、比例、百分数、倍数
2、对象特征：描述对象为不可分割的整体，整数才有意义。人、车、年龄等
【例 3】（2024 江苏）某居民楼居住人数介于 90 和 110 之间，其中 50 岁及以上居民占1/12女性
占 7/16。若该居民楼 30 岁及以上居民比 30 岁以下居民多 20 人，则 30 岁以下比 50岁及以上多：
A.30 人 B.27 人 C.23 人 D.20 人
公式：50岁以上/总数=1/12；女性/总数=7/16 已知总人数为90—110之间，总人数为12，16最小
公倍数=96，得50岁以上的8人，女性人数42人；（求最小公倍数用短除法）
30岁以上+30岁以下=96人；30岁以上-30岁以下=20人，得30岁以下38人，作差为30人
4、余数问题的三则运算
口诀：余同加余，和同加和，差同减差，公倍数做周期
解释：
（1）余同加余，例如“一个数除以 7 余 1，除以 6 余 1，除以 5 余 1”，可见，所得余数
恒为 1，则取 1，被除数的表达式为 210n+1；
（2）和同加和，例如“一个数除以 7 余 1，除以 6 余 2，除以 5 余 3”，，可见，除数与
余数的和相同，取此和 8，被除数的表达式为 210n+8；
（3）差同减差，例如“一个数除以 7 余 3，除以 6 余 2，除以 5 余 1”，，可见，除数与
余数的差相同，取此差 4，被除数的表达式为 210n-4；
注意：前面的 210 是 5、6、7 的最小公倍数，此即为公倍数做周期
应用：1、存在“余数问题的三则运算” 求总数会更快
2、用“余数问题的三则运算” 表达总数进而再求其他
【例 4】（2023 广东）某社区计划组建多支社工团队，为此招幕了一批社工。如果每支团队由
3 名社工组成，则剩余 2 名社工；如果每支团队由 4 名社工组成，同样剩余 2 名社工，则该社区
可能招募了（）名社工。
A.32 B.34 C.36 D.38
一、余数三则运算，除3余2，除4余2，得总数为12n+2，选D
二、代入法，代入D选项满足条件
5、倍数特性之增长率型（用资料解决数量）
补充：
1、分析关系：基期、现期、增长量、增长率
1、基、现关系：今年比去年增20%
2、结合选项，做猜结合
今/去=6/5
2、r、增长量：基=增/r，现=基+增
更多资料：
https://docs.qq.com/sheet/DU1pKZlVYVUtuVFZp?tab=i5ez6l
第2/56页【例 5】（2024 国考）甲、乙、丙三个研发团队共有研发人员 300 多人，其中甲的人数比乙
多 26%。现丙调 3 人去乙后，两个团队人数相同。问此时甲至少调多少人去丙后，才能保证丙的
人数是甲的 2 倍以上？
A.49 B.35 C.50 D.40
甲=乙（1+26%） 甲/乙=126/100=63/50
丙-3=乙+3=》丙+乙=6，甲乙丙共300多人，得甲=126，乙=100，丙=106
至少调人=〉最坏+1=>至少保证 2*（126-X）<103+X 至少50人，选C
【例 6】（2023 联考）某口罩生产车间一月份生产口罩 100 万包，以后每个月都比前一个月按相
同增长率增长，四月份生产口罩 133.1 万包，这个增长率是：
A.10% B.8% C.6% D.5%
间隔增长率的应用：1月：100，4月：133.1 r间=33.1%，每个月份相同增长率为10%
间隔增长率公式：r间=r1+r2+r1Xr2
6、倍数特性之 A=B×C（用资料解决数量）
形式：A=B×C，给单个量
方法：赋值
公倍数求法：短除法
【例 7】（2024 江苏）小王去超市买办公用品，经费恰好可以买 18 个计算器或者买 30 个订
书机或者 50 个档案盒，若购买了 6 个计算器、8 个订书机后，剩下的经费全部购买了档盒，则他
购买档案盒的个数是（ ）
A.10 B.14 C.20 D.26
总额=单价X数量，18、30、50的最小公倍数为450 25X6+15X8=270
剩下的经费档案盒：180/9=20个
第3/56页第二章、方程问题
1、普通方程：一个未知数（x ）
设未知数技巧 列：等量关系 解：选项（约分）
1、设小不设大
2、出现比例设分数
3、设中间量
【例 1】（2024 国考）某地为工业企业提供相当于营业额 2%的税收优惠，当地的 A 工厂原本预计当
年会产生相当于营业额 0.8%的亏损，在享受优惠政策后预计可以盈利 300 万元。问 A 工厂当年的预计
营业额为多少亿元？
A.4 B.3.6 C.3 D.2.5
设A工厂预计营业额为X，产生的亏损为0.8%X，在享受税收后盈利为
2%X-0.8%X=1.2%X=300万元=0.03亿元，X=2.5
2、普通方程：多个未知数（设x、y、z ）
1、存在多个未知数，设xyz
2、抓住问题，消元求解
【例2】（2023 联考）浮雕银杯是我国古代常见的一种盛酒容器，有大银杯和小银杯之分。已知 5 个大
银加1 个小银杯，可以盛酒 3 斛（斛，是古代的一种容量单位），5 个小银杯加 1 个大银杯，可以盛酒 2
则 1 斛酒至多可以倒满小银杯的数量为：
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5个
设大银杯容量x，小银杯容量为y
5x+y=3,5y+x=2 得出x=13/24, y-7/24, 则可倒满小银杯数量为1 7/24=3多，不到四杯
3、不定方程
（1）普通不定方程
形式：ax+by = M （方法：奇偶、倍数、尾数、代入）
奇偶特性：奇+偶=奇，奇+奇+偶，偶+偶=偶
例：3x+4y=25，x=?（x、y 均为正整数）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
倍数特性：ax+by = M,当a或b与M有公因子时，考虑倍数特性
例：7x+3y = 60，y最大为多少？（x,y均为正整数且不为0）
A. 12 B. 13 C. 16 D. 18
尾数法：ax+by = M,当a或b尾数是0时，考虑尾数
例：37x+20y = 271，x为多少？（x,y均为正整数）
A. 1 B. 3 C. 2 D. 4
（2）多个未知数的不定方程
形式：ax+by+cz = M （倍数特性，看题干选项）
【例3】（2020 四川）某人花 400 元购买了若干盒樱桃。已知甲、乙、丙三个品种的樱桃单价分别
为 28 元/盒、32 元/盒和 33 元/盒，问他最多购买了多少盒丙品种的樱桃？
A.3 B.4 C.5 D.6
一、代入法：设甲、乙、丙三种为x、y、z，求z最大解
28x+32y+33Z=400, 将z=6代入化简得14x+16y=101, 14、16均为偶数，101无法取到
二、倍数特性：28x+32y+33z=400，xyz均为正整数，4的整数倍，33z也为4的整数倍，z为4的整数倍
第4/56页4.不定方程组
（1）整数型
【例4】（2024 江苏）某超市为回馈消费者，将举办购物抽奖活动。每人只能抽奖一次，奖金有三种：
一等奖 888 元，二等奖 88 元，三等奖 8 元。若前 100 个中奖者的奖金总额为 2480元，则其中获得三
等奖的最少有：
A.95 人 B.89 人 C.79 人 D.69 人
设获得一二三等奖等人数分别为x,y,z,前100名中奖的奖金总额为2480元
x+y+z=100，888x+88y+8z=2480 得出 z=10x+79。若想z最少，则x应尽量小，则当x=0，z=79
（2）非整数型
【例5】（2023 湖北事业单位）顾客安女士在水果店里购买了 1 箱苹果、3 盒草莓和 5 盒蓝莓，共
花费 260 元。顾客何先生在同一水果店以同样的单价购买了 1 箱苹果、4 盒草莓和 7盒蓝莓，共花
费 320 元。那么购买 1 箱苹果、1 盒草莓和 1 盒蓝莓需花费（ ）元。
A.140 B.150 C.160 D.170
设1箱苹果、草莓、蓝莓单价为x, y, z（可以为小数）
1、列式：x+3y+5z=260 2、赋零 z=0 x+3y=260
x+4y+7z=320 x+4y=320 得总共140
第5/56页第三章、等差数列
一、等差数列
（1）通项公式：aₙ = a₁+(n-1)d, d表示等差数列的公差
（2）性质： aₙ = aₘ +(n-m)d, aₙ -aₘ = (n-m)d
(a₁ + aₙ)xn
（3）求和公式：Sₙ =
= a中 x n =平均数 x n
2
⚠️注意：数列为奇数项时，第a中存在，数列为偶数项，可以看作为中间两项
等差数列求和
（倍数猜题）
等差数列性质
【例 1】（2024 江苏）已知某家族中 4 位成员的年龄总和为 142 岁，且他们的年龄恰好成等差数
列，若其中一位的年龄为 47 岁，则这 4 人中最年长者的年龄为（ ）
A.65 岁 B.70 岁 C.83 岁 D.90 岁
根据选项得知，47不是最大的，
等差数列性质：S4=142=2(a1+a4)；a1+a4=71，a2+a3=71；得出a3=47
年龄公差为：47-24=23岁，因此4人中最年长的为47+23=70岁
2.等差数列求和
【例 2】（2020 新疆）某阶梯会议室有 16 排座位，后一排比前一排多 2 个，最后一排有 40个座位。
这个阶梯会议室共有多少个座位？
A. 300 B. 350 C. 400 D. 440
判题型：等差数列，后排比前排多2个得出d=2，最后一排为40个，a16=a1+15d=40, a1=10
S16=（a1+a16）
=400
X16
2
【例 3】（2022 联考）某市举行庆典活动，将依次升空 105 架无人机，升空方式如下：每架无人机
间距均相等，第一次升空 n 架，第二次升空 n-1 架，以此类推，最终在夜空中组成一个近似等边三角形
背景的灯光秀，那么第 10 次升空的无人机数量是：
A.3 架 B.5 架 C.8 架 D.10 架
每次升空的无人机数量组成等差数列，第一次升空a1=n架，最后一次an=1架，公差d=-1
等差数列求和公式：Sn=(n+1)n/2=105 得出n=14
根据等差数列通项公式：an=a1+(n-1)d , a10=14+(10-1)*(-1)=5
3.等差数列和时间段等差数列
各项成等差数列，可推知每个“时间段”的和也成等差数列。
常考：一个星期 7 天，十几五规划 5 年。
第6/56页【例4】（2023 国考）工厂从某周第一天开始生产某种零件，每周生产 7 天，从第二天开始每一天都
比前一天多生产 200 件。已知工厂第三周的产量是第一周的 2 倍，问第几天其日产量第一次达到 1 件？
A.37 B.38 C.39 D.40
利用两个公式：等差数列求和公式Sn=中位数x项数，等差数列通项：an=a1+(n-1)xd
设第一天零件产量为x件，第一周第四天：a4=x+(4-1)x200=x+600，第一周：=a4x7=7x+4200
同理：第三周第四天(第18天): a18=x+3400，第三周的产量=a18x7=7x+23800，等式关系得
7x+23800=2（7x+4200），x=2200.设工厂第n天的产量达到1万，2200+（n-1)x200=10000,n=40
4.等差数列的应用题
【例5】（2023 联考）桌上整齐摆放着若干只相同玻璃杯，除一只空杯外，其余杯中都放有彩色珠
子，共有 45 颗。如果在有彩色珠子的每个杯中取 1 颗放入空杯，则只需调整玻璃杯的位置，即可与
最初完全一样。问桌上共有几只玻璃杯？
A.7 B.8 C.9 D.10
杯中珠子成等差数列排布且公差为1，每项减1后，数量都与前一项对应，a1=0，an=n-1
sn=nx(n-1)/2=45，得出 n = 10
【例 6】（2020 联考）红星中学高二年级在本次期末考试中竞争激烈，年级前七名的三科（语文、数
学、英语）平均成绩构成公差为 1 的等差数列，第七、八、九名的平均成绩既构成等差数列，又构成等
比数列，张龙位列第十，与第九名相差 1 分，张龙的英语成绩为 121 分，但老师误登记为 112 分。那
么，张龙的名次本该是：
A.第四 B.第五 C.第七 D.第八
七八九平均成绩构成等差数列 设分别为a+d、a、a-d，因三人平均成绩构成等比数列，
(a+d)/a=a/(a-d) 解得d=0，平均成绩均为a，
张龙平均成绩为a-1，英语成绩实为121分，误登记为112，三科平均成绩比目前多9/3=3分，a-1+3=a-2
前七名构成公差为1的等差数列，从高到低分别为a+6.....a，张龙实际成绩为a+2，名次应并列第五名
5.等差数列巧求方程组两数差
【例7】（2022 江苏）某餐饮公司甲、乙两种外卖每份的售价分别为 30 元和 50 元，若该公司某天售出
这两种外卖共 500 份，销售收入为 21400 元，则售出的两种外卖数量相差：
A. 140 份 B. 160 份 C. 180 份 D. 200 份
设甲、乙外卖当天分别卖出x，y份，两种外卖共售出500份，可列为
x+y=500
30x+50y=21400 解得x=180，y=320 售出两种外卖数量相差320-180=140
6.64 的秘密
挑挑拣拣，剩下的数：64
每次都是剩下偶数，故应该为 100 以内 2 的最大幂次数，即为2 6 = 64。
第7/56页【例8】（2024 浙江）某工厂有 100 个零件，从 1-100 编号后将编号为奇数的零件拿掉，余下 50 个
零件按顺序重新从 1 开始编号后将编号为奇数的零件拿掉，重复上述操作直到剩下一个零件，那么余下
这个零件最初的编号是多少？
A.32 B.50 C.64 D.100
每次都剩下偶数，应该为100以内2的最大幂次数为64，去掉奇数，重新编号
第一轮去掉的数：1、3、5、7、9.......99（剩下的数：2、4、6、8、10....)
第二轮去掉的数：2、6、10....（剩下的数：4、8、12、16......）
第三轮去掉的数：4、12....(剩下的数：8、16.....)
第n轮后，剩下的数为2的6次幂为64
二、等比数列
【例 14】（2024 联考）因自然灾害产生泄漏，某河流出现 A 物质污染。根据环保部门要求，自然
水源中 A 物质的浓度不得高于 x。经应急处置后，水中的 A 物质浓度每 24 小时下降一半。自应急处置
时开始，环保部门每 24 小时对河流水质进行 1 次检测，在 216 小时后首次检测到河流中 A 物质浓度达
标。问应急处置前 A 物质可能的最高浓度在以下哪个范围内？
A.不到 300x B.300x~600x C.600x~1200x D.超过 1200x
216/24=9（周期为9）
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10
512x 256x 128x 64x 32x 16x 8x 4x 2x x
第8/56页第四章、周期问题
1、周期余数
题型特征：出现循环或周期，问？个
解题思路
（1）找周期：确定周期的起点和长度
（2）算余数： 总数 / 周期 = 多个周期...余数（n）
（3）做等价：第n个，余几数几（无余数，周期最后一个）
【例1】（2019 河北）某新建高速公路中间隔离带绿化时，顺次种植 2 株蜀桧、3 株刺柏、5株小叶女
贞、3 株大叶黄杨，按此循环，第 2019 株树木是什么？
A.蜀桧 B.刺柏 C.小叶女贞 D.大叶黄杨
判定：周期：2+3+5+3=13
2019/13=155......4 第四个为刺柏.
2、周期相遇问题
题型特征：出现多个小周期，求再次相遇
方法：最小公倍数相遇
例子：A每3天锻炼一次，B每4天锻炼一次
注意： 每隔n天=每n+1天
例子：A每隔3天锻炼一次，B每隔4天锻炼一次
【例2】（2022 联考）两个信号灯分别以 30 秒和 36 秒的固定间隔闪亮一次，若他们 10 点第一次同
时闪亮，则第七次同时闪亮的时间为（ ）。
A.10：15 B.10：16 C.10：18 D.10：21
30秒 36秒 同时闪亮 每3分钟同时闪一次
30 36 最小公倍数为180 180s=3分钟
10点+6x3分钟=10:18
3、星期日期推断
题型特征：给出一段时间内有若干个周几，推算某一天为周几
常用结论
（1）每连续7天，必有周一到周日各1天
（2）每连续28天，必有周一到周日各4天 解题思路：每个月必然有4周取连续28天
大月与小月：一三五七八十腊，三十一天永不差。
大月 31 天 (1、3、5、7、8、10、12)
小月 30 天 (4、6、9、11)
2 月 28(29)天
注：
（1）每个月都必然有 4 周
（2）鉴于“一个自然月内最多有……”应将这个自然月按照大月 31 天计算。
平闰年判定：平年 365 天（2 月 28 天），闰年 366 天（2 月 29 天）
年份数能被 4 整除的为闰年，否则为平年；整百的年份需要被 400 整除。
整年推断：过一个平年星期数+1，过一个闰年星期数+2。
注：可以简记为 52 周零 1 天（闰年零 2 天）
总结：平年+1，闰年+2，大月+3，小月+2
第9/56页【例 3】（2024 广东）只有在星期六，小王才会去图书馆。如果某年 3 月小王一共有 5 天去
过图书馆，则当年 4 月 1 日可能是（ ）。
A.星期二 B.星期三 C.星期五 D.星期六
四五六
3月31天 31/7=4......3
五六七
7天 7天 7天 7天 六七一
考点一：后面日期 4月1日
4月1日可能是：七、一、二
3.1头三天
考点二：前面日期 3月1日
四五六
7天 7天 7天 7天
五六七
六七一
【例 4】（2024 国考）小张每周二、周五和周日固定参加骑行社团活动。某年 9 月和 10 月，小张分
别参加了 13 次和 14 次活动。问当年他最后一次参加活动是在哪一天？
A.12 月 31 日 B.12 月 30 日 C.12 月 29 日 D.12 月 28 日
9月（30天/7=4....2） 10月（31天/7=4.....3）
9月4周共参加12次
9月2天剩1次 10月3天剩 2次
10月4周共参加12次
周五六七一二满足 10月最后一周：周三、周四.....周二
11月+12月 30+31=61/7=8.....5，最后五天是：周三、周四、周五、周六、周日（最后一次参加活动）
【例 5】（2024 全国事业单位联考）网管员小王每隔一周的周一、周三、周五对机房进行检修。某
年 7 月 31 日，小王进行了当月第 7 次机房检修。问当年 7 月 1 日是星期几?
A.星期一 B.星期三 C.星期四 D.星期六
7月：31/7=4....3
排除法AB：四五六
7天 两周 3次 四周 6次
六日一（一次）第五章、工程问题
1、具体单位型
有具体的效率或者总量
方法：列方程，根据问题求解
【例1】（2024 全国事业单位联考）甲、乙施工队共同修一条全长 20 千米的路。合作施工 25 天后乙队
被调走。剩下部分甲队又用了 25 天正好完成。已知乙队的效率是甲队的2 倍，问甲、乙两队合作每天可
以修多少米路？
A.400 B.600 C.800 D.1200
判断：工程—具体单位—方程 问：（甲+乙）效率=x+2x
即：75x+25x=100x=20000，x=200 3x=600
方法二：猜题、甲乙两队合作就是3x的倍数 排除AC 合作25天x1200>2000
排除D，选B
2、完工时间型
（1）普通完工时间型
特征：多个主体的完工时间
方法：
第一步：赋值总量（公倍数）
第二步：求效率
第三步：列表或列方程求解
【例 2】（2024 联考）有一批零件，如果甲车间单独完成需要 50 小时，乙车间单独完成需要30 小
时，在甲车间单独完成若干小时后，由于要承担其他紧急任务，剩余的任务由乙车间继续完成，这样一
共用了 42 小时。问乙车间完成的零件量占这批零件总量的：
A.3/4 B.3/5 C.2/5 D.1/3
判断：完工时间型 问题：乙/总 （列表——展现——不乱）
Z = X （效率） x T（时间）
甲 150 3 50
乙 150 5 30
甲 3x 3 x h 得210x-2x=150 2x=60 x=30
乙 210-5x 5 （42-x）h 乙/总=60/150=2/5
【例3】（2024 联考）一项工程，甲单独做完要 8 天的时间，甲、乙一起做了 4 天完成了工程
的 75%，剩余工程由乙独自完成还需要多少天？
A.4 天 B.8 天 C.12 天 D.16 天
Z = X （效率） x T（时间）
甲 16 2 8
乙 16 1 16
乙 4 1 4天
注意：学会抓问题，问法是乙单独完成需要的天数
（2）工程费用（包工头的思维）
费用最小：让便宜的工作最久【例4】（2024 浙江）有一批零件，如果由甲、乙两人加工，20 小时可以完成，需要支付酬
劳 1200 元；如果由甲、丙两人加工，15 小时可以完成，需要支付酬劳 1350 元；如果由乙、丙两人加
工，12 小时可以完成，需要支付酬劳 1320 元。现在安排 3 人都参与加工，并要求在 13 小时以内完
成，那么最少需要支付酬劳多少元？
A.1270 B.1280 C.1290 D.1300
Z = X （效率） x T（时间） 总费用 单价
甲乙 60 3 20 1200 60元/h 丙的效率： （5+4-3）/2 =3
甲丙 60 4 15 1350 90元/h 丙的单价：（110+90-60）/2
乙丙 60 5 12 1320 110元/h
甲乙单价最少：甲乙：3x13h=39 费用：60x13=780
丙：3x7=21 费用：70x7=490 最少需要支付1270元
（3）周期循环工程（确定周期）
【例5】（2021 年四川下）某项工程，甲、乙、丙三个工程队如单独施工，分别需要 12 小时、10 小
时和 8 小时完成。现按“甲—乙—丙—甲……”的顺序让三个工程队轮班，每队施工 1小时后换班，问该
工程完成时，甲工程队的施工时间共计：
A.2 小时 54 分 B.3 小时 C.3 小时 54 分 D.4 小时
Z = X （效率） x T（时间）
甲 120 10 12
乙 120 12 10
丙 120 15 8
甲+乙+丙（轮班：3h一个周期）120/37=3....9（<1h）
（（44））复复杂杂方方程程的的完完工工时时间间型型
复复杂杂方方程程的的完完工工时时间间型
型
方方法法：：不不会会解解，，不不想想解解，，就就代代入入。。
【例6】（2023 联考）轨道交通公司定期进行轨道检修工作，甲、乙两个工程队合作进行需4 小时完
成，甲队单独完成比乙队单独完成快 15 小时，则甲队单独完成需要的时间是：
A.5 小时 B.6 小时 C.7 小时 D.8 小时
Z = X （效率） x T（时间）
方法一：设时间的未知数
甲 4 4/x x
甲 ：x h 乙：x+15
乙 4 4/(x+15) x+15 4/x + 4/(x+15)=1
赋值总量为4
甲乙 4 1 4 代入A成立
Z = X （效率） x T（时间）
方法二：完工时间型表现形式如下：
甲乙 20 5 4
甲、乙两个工程队合作进行需4 小时完成
甲 20 4 5
甲单独完成比乙队单独完成快 15 小时
甲 20 4 5
乙 20 1 20
（5）多个工程的完工时间型
特征：多个工程的完工时间型
方法：列多个工程
计算：好算为原则
A工程 Z = X （效率） x T（时间）
B工程 Z = X （效率） x T（时间）
甲乙 30
甲 60 2 30
乙丙 24 甲乙 60 3 20【例7】（2022 联考）甲、乙、丙三个工程队接到 A、B 两个工程的施工任务，若由甲单独完成 B 工程
需要 30 天；若甲乙两队合作施工，则完成 A 工程需要 30 天，完成 B 工程需要20 天；乙丙合作完
成 A 工程则需要 24 天。现在三个工程队合作完成 A、B 两个工程，多少天可以完工？（不足 1 天按 1 天
计算） A.24 B.25 C.26 D.27
A工程 Z = X （效率） x T（时间）
B工程 Z = X （效率） x T（时间）
甲乙 90 3 30
甲 60 2 30
乙丙 90 90/24 24
甲乙 60 3 20
抓住问题：甲效率：2 乙效率：1 乙丙效率：90/24=15/4
时间=总量/效率 总工作/（甲+乙+丙）= 27
3、效率比例型
一、直接给：甲:乙=3:4；甲的效率是乙的 2.5 倍；甲的效率比乙高 25%。
二、间接给：工作量相等，以工作量推效率关系
1、甲 4 天的工作量等于乙 3 天的工作量
2、甲、乙两个工程队合作完成某工程需 36 天，若甲工程队先做 10 天，剩下的
工程再由两队合作 30 天完成
三、给具体人数或机器数：
50 个工人修路，80 台挖掘机 赋值每个人/每台机器效率为 1
【例8】（2024 江苏）甲、乙、丙三人合作完成一项任务。乙先做 9 天，再和甲合作 6 天，完成了任
务的 60%，剩下的任务，若由丙做，恰好 10 天完成。甲、乙、丙三人的工作效率之比是：
A.5:4:6 B.6:4:5 C.10: 15: 12 D.12: 15: 10
6甲+15乙=60%总
6甲+15乙=60%总
10丙=40%总
10丙=40%总
猜题：丙>乙 排除CD
代入A：甲：乙：丙=5:4:6
4.变形题：给定总量比和时间比，求效率比
【例9】（2024 联考）甲、乙二人在某项工作结束后，统计数据显示：甲比乙的工作量多 1/4，乙比甲
所用的时间多 1/6，问甲、乙二人工作效率的比值所在范围的区间是：
A.(1，1.5] B.(1.5，2] C.(2，2.5] D.(2.5，3]
方法一：设未知数 方法二：给比例，求比例
Z = X （效率） x T（时间）
Z = X （效率） x T（时间）
甲 5x 5x/6y 6y
甲 5 5/6 6
乙 4x 4x/7y 7y
乙 4 4/7 7
效率之比：甲/乙 = 35/24 效率之比：甲/乙 = 35/245.牛吃草问题
（1）普通牛吃草
基本公式 y=（N-x）×T
y：代表原有存量的消耗量 （比如：原有草量吃完啦）
N：促使原有存量消耗的变量 （比如：牛数）
x ：存量的自然生长速度 （比如：草长速度）
T：时间
y=（N-x）×T
(25-x)x2=(40-x)x6
x=10
y=180
T=9天
180x60%=(28-10) x T
T = 6
N=x，可持续的最多
【例10】（2023 河北事业单位）某蓄水池存有一定量的水，河水均匀流入蓄水池。用 5 台抽水
机 10 天可将水抽完，用 6 台抽水机 8 天可将水抽完。若要求 4 天抽完，需要同样的抽水机多少台？
A.14 B.13 C.12 D.11
y=（N-x）×T
y=(5-x)x10=(6-x)x8 x=1
y=40=(N-1)x4 x=1 y=40 N=11
（2）牛吃草变形
变形 1：牛羊吃草，转换为羊（或牛）单独吃草
变形 2：给单个牛的效率，效率就是 n×效率
变形 3：氧气瓶漏气、草枯萎 y=（n+x）T
变形 4：牛更能吃了，牛的效率变化
【例 11】（2023 广东）某牧场的草，匀速生长。如果 20 头牛来吃，20 天可将草吃光；如果10 头牛
和 10 只羊来吃，30 天可以恰好吃光。已知一头牛每天的吃草量是一只羊的 2 倍，则30 只羊吃该牧场的
草，多少天可以吃光？
A.10 B.20 C.30 D.40
1牛=2羊 y=（40-x）20=(30-x) 30
x=10
y=600=(30-10) xT T=30
【例12】（2024 联考）某农产品基地对外供应一批农副产品。假设这批农副产品每天都有定量的自然损
耗，如果提货方每天运走 1.5 吨产品，则 50 天运完；如果提货方每天运走 2 吨产品，则 40 天运完。那
么这批农副产品有多少吨?
A.75 B.80 C.100 D.110
y=(N+X)T
y=(1.5+x)x50=(2+x)x40=100 得x=0.5 y=100第六章、几何问题
1、几何公式
【例 1】（2024 联考）甲、乙两个圆柱容器底面积之比为 3：4，分别盛有 7 厘米高和 10 厘米高的液
体，现在向两个容器内注入同样多的液体，直至两个容器内液体的高度相等，问甲器内液面上升至：
A.9 厘米 B.12 厘米 C.15 厘米 D.19 厘米
问题：上升至：原来高度+新增高度 设底面积为3、4 V柱=S底 x h (高一致，体积之比就是底面积之比)
21+x 3
= x=36 新增高度h=12，甲容器页面上升至19
40+x 4
第15/56页2、三角形
1、普通三角形
两边之和大于第三边
两边之差小于第三边
2、勾股定理相关
4、等边三角形：三边相等（三角相等=60度）
5、正六边形：由6个等边三角形构成（对称性）
6、圆中的直角
（1）不在同一直线的三个点确定一个圆
（2）圆的直径所对的角是直角（90度）
注意：圆上最远的两个点连接任意一点构成一个直角
7、三角形同底或者同高
考法：多个面积
方法：底相同，面积之比等于高之比
第16/56页【例 2】（2024 天津事业单位）平面做一个边长为 3 的正方形，再以这个正方形的对角线为边做第二
个正方形，再以第二个正方形的对角线为边做第三个正方形，以此类推，第 11 个正方形的面积（ ）。
A.2048 B.3072 C.8192 D.9216
找规律 等比数列 ⚠注️ 意：45、45、90度等腰直角三角形；斜边是直角边的√2倍
边长规律：3 3√2 3√2√2 3√2√2√2......
第11个正方形边长：3x32=96 面积：96x96=9216 (尾数法)
【例 3】（2024 国考）某小区内部的道路如下图所示，道路转弯处的∠A、∠C、∠E 均为直角，
∠B=135°。已知 AB、CD、EA 的长度分别为 40 米、50 米、60 米，问整圈道路的总长度在以下
哪个范围内？
40
A.在 200~210 米之间 B.在 210~220 米之间 C.不到 200 米 D.超过 220 米
60
50
方法一：用尺子量：AB：40——2.0 得60+40+28+50+36=214
方法二：五边形内角和=540 ∠CDG=∠DCG=45° CG=DG=25√2 CF=BF=60-25√2 总和约为214
【例 4】（2024 江苏）如图所示，ABCDEF 是一个边长为 2 的正六边形，圆 O 是△ACE 的内切圆，
则圆 O 的面积是（ ）。
A.π B.2π C.5π/4 D.3π/2
正六边形特性：六个三角形相等且具有对称性
圆的面积=π
【例 5】（2023 联考）为推动产业园和产业集聚区加快转型，某地计划在三角形 ABC 区域内建设
新能源产业园区（如下图所示），三角形 DEF 是中央工厂区，已知 BD：DE：EC=1：2：3，
F 为 AE 的中点，则新能源产业园区总面积是中央工厂区面积的：
A.7 倍 B.6 倍 C.5 倍 D.4 倍
多个面积——技巧型
F为AE重点，高也是为一半，面积为1/2x底面积x高 底面积之比为6:2
高之比为2:1，新能源产业园区总面积是中央工厂区面积的：6倍
考点：三角形同底或者同高
考法：多个面积
方法：底相同，面积之比等于高之比
3、最短路径
考查方式：求 AB 两点到直线距离之和最短
解题原理：两点之间，线段最短
解题技巧：两点异侧，直接连线
两点同侧，到直线的最短，镜面对称后连线
【例 6】（2024 江苏事业单位）有一个圆柱形的木桩，圆的直径为 6/π米，木桩的高
为 4 米（如图）。现有一只蚂蚁从 B 点沿着木桩表面爬到 A 点，蚂蚁爬行的最短距离是
r=3/π h=4
半圆的周长：1/2X(2πr) = πr= 3
爬行最短距离为：AB直线距离为5
第17/56页【例 7】（2024 国考）甲、乙两个联络站相距 10 千米。一条道路与甲、乙联络站连线相平行，且与两
联络站连线的垂直距离为 12 千米。现需紧邻该道路建一个工作站，问工作站距离甲、乙联络站距离之
和最小为多少千米？
A.20 B.22 C.24 D.26
方法一：勾股定理：5 12 13 方法二：斜边>直角边=24
4、几何最值理论
1、立体最值
（1）立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。（垃圾袋原理）
（2）立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小。（饺子皮原理）
2、平面最值
（1）平面图形中，周长一定，越接近于圆，面积越大； （耳机原理、数据线原理）
（2）平面图形中，面积一定，越接近于圆，周长越小。（剪纸原理）
长方形最值（特殊矩形）：
（1）四边形周长一定时，正方形面积最大。
（2）四边形面积一定时，正方形周长最小。
【例 8】（2024 联考）某公园绿化管理部门采购了 100 片围栏，每片长 1 米且不可弯折。现拆分拟围
成 5 块周长相等且互不相邻的矩形花卉区域。若不考虑拼接间隙，那么这 5 块区域的最大与最小面积最多
可相差多少平方米？
A.10 B.12 C.16 D.25
1> 分5块区域：100/5=20片=20米
2> 分5块区域：根据几何最值问题，当正方形边长为5时，面积最大：S=5x5=25
最不像正方形的矩形最小，边长为9，1 ， 面积最小为：S=1x9=9
5块区域最大与最小面积相差为25-9=16
5、同比例放缩
【例 9】（2024 湖北）某单面圆形交通禁停标志牌如图所示，标志牌直径为 60cm，牌中各处红色
区域宽度均为 5cm，某工厂承接 30 个该种标志牌的喷绘业务，已知每个标志牌的蓝色区域喷绘价格
是 112.5 元，红蓝区域喷绘单价相同（价格仅按面积计算），那么 30 个标志牌喷绘共需：
A.3375 元
总面积/黑面积=(60x60)/(43x43)=2/1
B.6000 元
黑色区域的价格为112.5元 总面积的价格为225元
C.6750 元
225x30=6750元
D.8437.5 元
第18/56页第七章、倍数特性
1、两集合
两集合公式：A + B − A ∩ B = 总 − 都不
【例 1】（2022 联考）某班期末考试结束后统计，物理、化学均不及格的人数占全班的 14%，物理及格
的人数比化学及格的人数多 10 人，且化学及格的人数占全班的 60%。已知全班人数不超过 70 人，问物
理及格的人中化学也及格的有多少人？
A. 25 B. 26 C. 27 D. 28
考察容斥原理+倍速特性（人为整数）
都不/总人数=14/100=7/50，全班人数不超过70人，得出总人数为50人
化学占全班60%，化学人数30人
A + B − A ∩ B=总-都不 70- A ∩ B=43， A ∩ B=27
【例 2】（2023 浙江）某班级对 70 多名学生进行数学和英语科目摸底测验，有 12%的学生
两个科目均不及格。已知有 2/3的学生英语及格，数学及格的学生比英语多 10 人，那两科均及
格的学生有多少人？
A.31 B.37 C.41 D.44
考察容斥原理+倍速特性（人为整数）
都不/总人数=12/100=3/25，全班人数超过70人，得出总人数为75人
英语人数=总x2/3=50人，数学60人
A + B − A ∩ B=总-都不 110- A ∩ B=66， A ∩ B=44
2、三集合
（1）标准型：（动手画图）
A ∩ B ∩ C
A + B + C − A ∩ B − B ∩ C − C ∩ A+ A ∩ B ∩ C = 总－都不
题型识别：出现A ∩ B， B ∩ C， A ∩ C（撕的方式）
【例 3】（2020 新疆）某单位共有 240 名员工，其中订阅 A 期刊的有 125 人，订阅 B 期刊有 126
人，订阅 C 期刊的有 135 人，订阅 A、B 期刊的有 57 人，订阅 A、C 期刊的有 73人，订阅 3 种期
刊的有 31 人，此外，还有 17 人没有订阅这三种期刊中的任何一种。问订阅B、C 期刊的有多少人？
A.57 B.64 C.69 D.78
判定三集合：A + B + C − A ∩ B − B ∩ C − C ∩ A+ A ∩ B ∩ C = 总－都不
尾数法：左是左，右是右，想要快，先消负
125+126+135-57-73-X+31=240-17，尾数法：7-X=3
（2）非标准型：
A + B + C − 满足两项－满足三项×2＝总－都不
前提：出现满足两个条件（注：满足两个条件=只满足两个条件）
【例 4】（2019 河北）某班参加学科竞赛人数 40 人，其中参加数学竞赛的有 22 人，参加物理竞赛的
有 27 人，参加化学竞赛的有 25 人，只参加两科竞赛的有 24 人，参加三科竞赛的有多少人？
A.2 B.3 C.5 D.7
判断：非标准型 A + B + C − 满足两项－满足三项×2＝总－都不
22+27+25-24-2X=40
三集合标准型与非标准型的区分：
标准型判定：分别给出两两集合的交集（既A又B、既A又C、既B又C）
非标准型判定：给出只满足只满足两种（满足两种）
第19/56页画图法
特征：只参加 A；参加 A 但不参加 B ；或者缺少代公式必要的数据
画图法：三步走
第一步，画圈圈
第二步，标数字（从里到外，注意去重）
第三步，列算式
容斥原理方法选择：
1.公式法：題目中所给所求都是公式中的一部分（清晰明了，快准狠）
2.画图法：
题目中所给所求公式里没有，或者公式法不好用（往往是出现只满足一个条件）
【例 5】（2024 江苏）某基层工会共有 180 名会员，举行甲、乙两项工会活动，60%的会员参加甲
活动，50%的会员参加乙活动，若只参加甲活动的会员有 80 人，则只参加乙活动的会员有( )
A.10 人 B.28 人 C.62 人 D.90 人
甲：108人 乙：90人
画图法更简洁
80人 28人 90-28=62人
【例 6】（2019 事业单位、2014 国考）工厂组织职工参加周末公益活动，有 80%的职工报名参加，
报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为 2：1，两天的活动都报名参加的为只报名参
加周日活动的人数的 50%，问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的：
A. 20% B. 30% C. 40% D. 50%
六：6人 日：3人
参加人数：80%，5+1+2=8
未参加人数：20%，2人
5人 1人 2人
注：给比例，求比例，赋值，更直观
4.容斥原理结合不定方程（最值）
问法：求最值
方法：此消彼长
种植 A 作物的自然村占4/13。适合种植 B 作物的自然村有 25 个，同时适合种植
两种作物的自然村占总数的 1/14，则在该县，不适合种植两种作物的自然村至
少有多少个?
A.57 B.67 C.114 D.134
总数：13、14的倍数，设总为182x，A作物为56x,不适合种植的为y
−
【例 8】（2023 北京）某公司有 80 人报名参加会计、法律和技术三项培训中的一项或多项，三项培训
的报名人数比为 6：5：4。已知同时参加会计和法律培训的人数，和同时参加法律和技术培训的人数，
分别是同时参加会计和技术培训的人数的 70%和 80%，且无人同时参加 3 项培训，则只参加技术培训的
有多少人？
A.4 B.6 C.8 D.10
A + B + C − A ∩ B − B ∩ C − C ∩ A+ A ∩ B ∩ C = 总－都不,三集合标准型: 其中都不为0
隐含的范围为两个：A+B+C>80，15x>80；10y+7y+8y<80，y<3+
设A ∩ C=10y A ∩ B=7y B ∩ C=8y，根据公式得
6x+5x+4x-10y-7y-8y=80，3x-5y=16，当y=1时，x=7
只参加技术培训的为4x-10y-8y=28-18-10人
第20/56页
两集合公式：A + B − A ∩ B = 总
县的所有 了调研，结果发现，适合
公众号：叛逆小樱桃
都不
56x+25-13x=182x-y 得出y=139x-25，当x=1, y=1145.容斥原理和周期结合
方法：
（1）求 A、B、A ∩ B
（2）容斥原理公式
【例 9】（2018 山东选调）某高校举办春季运动会，共有 1000 名学生报名参加竞赛项目。为从运动员
中选拔人员参加开幕式和闭幕式队列，现把所有运动员从 1 到 1000 进行编号，选出编号为3的倍数的运
动员参加开幕式队列，而编号为7的倍数的运动员参加闭幕式队列。问：既不参加开幕式队列也不参加闭
幕式队列的运动员有多少人？
A.428 B.475 C.525 D.572
A：3的倍数 B：7的倍数
A ∩ B：3x7=21的倍数
1000/3=333人（A）1000/7=142人（B）1000/21=47人（A ∩ B）
333+142-47=1000-都不，得既不参加开幕式也不参加闭幕式的为572
第21/56页第八章 最值问题
1、最不利构造
识别：至少（最少）.....保证......（变形表达：无论如何至少）
方法：答案=最不利情形+1
19
最坏情况：白球8个，黄球10个，红球1个
7
最坏：三种颜色各两个，再取一个为3
20
最坏：红球5个，白球7个，黄球7个，再摸一个
（1）普通最不利构造
【例 1】（2022 联考）有 200 人参加招聘会，其中法学 70 人，经济学 60 人，工业设计 50人，统计
学 20 人，至少有（ ）人找 到工作才能保证一定有 50 人的专业相同。
A.167 B.168 C.170 D.175
判断：普通最不利构造（抽屉原理） 够：少给1个，不够：全给你
法学（70） 经济（60）工业（50）统计（20）
法学（49）经济（49） 工业（49） 统计（20）至少为168（使用尾数法）
（1）最不利构造和排列组合结合（枚举或简单排列组合）
方法：枚举或者简单排列组合（枚举、等差、加和）
a. 行测考试有言语，判断，资料，数量，常识五个科目，每名同学选一科学习，若要保证至少有5名学生
学习的科目完全相同，至少需要多少人
五种学习的选择情况： 言语（4）判断（4）资料（4）数量（4）常识（4）+1 = 21
b. 行测考试有言语，判断，资料，数量，常识五个科目，每名同学选两科学习，若要保证至少有5名学生
学习的科目完全相同，至少需要多少人
选择情况：排列组合或枚举 10种学习选择情况（4+3+2+1=10种）4 x 10 + 1 = 41
c. 行测考试有言语，判断，资料，数量，常识五个科目，每名同学选一科或两科学习，若要保证至少有5
名学生学习的科目完全相同，至少需要多少人
选择情况：选一科或选两科 15种学习选择情况（5种+10种=15种）4 x 15 + 1 = 61
【例 2】（2024 联考）某部门工会为丰富职工文化生活增进职工身心健康，组织开展了拔河、羽毛球、
乒乓球、台球四项比赛活动，每名职工参加一项或者两项比赛。若要保证至少有 5名职工参加的比赛项
目完全相同，则该部门参加比赛的职工至少有：
A.40 名 B.41 名 C.50 名 D.51 名
判定：至少.......保证（最不利构造）
第一种情况每名职工参加一项：拔河、羽毛球、乒乓球、台球（4种）
第二种情况每名职工参加两项：拔河、羽毛球、乒乓球、台球（枚举：6种=3+2+1）
总共10种情况：10项 x 4 + 1 = 41 至少41人，同上面最后一个c例子
第22/56页【例 3】（2024 深圳）某早餐店推出“10 元 2 件”套餐，顾客花费 10 元即可在白粥、豆浆、油条、蛋
饼、叉烧包、云吞面 6 个品类中任选 2 件，既可以选相同的，也可以选不同的。则至少售出（ ）份该套
餐时，一定有 2 份套餐的搭配完全一致。
A.15 B.16 C.21 D.22
第一种情况 选相同的：6种情况
第二种情况：选不同的：5+4+3+2+1=15种
一定有2份套餐的搭配有：（6+15）x 1 +1 = 22
2、构造数列
（1）普通构造数列
特征：某个主体……最……（1、最……最……；2、排名第几……最……）
方法：
1、构造一个名次
2、求谁设谁
3、反向推其它（立正）
4、加和求解
【例 4】（2023 湖北事业单位）8 名教师参加专业技能测试，满分 100 分，已知 8 人都及格（60 分为
及格线），且成绩总和为 530 分，若 8 人的成绩均为整数且都不相同，那么获得最高分的教师最多为
（ ）分。
A.96 B.92 C.89 D.85
判定：最.....最.......（构造数列）
设获得最高分的教师最多为x，最低成绩为60，则八个人中
1:x 2:66 3:65 4:64 5:63 6:62 7:61 8:60=530 所以最高分教师最多为89人
【例 5】（2022 上海）某单位进行了一次绩效考评打分，满分为 100 分。有 5 位员工的平均为 90 分，
而且他们的分数各不相同，其中分数最低的员工得分为 77 分，那么排第二名的员工至少得（ ）分。
（员工分数取整数）
A.90 B.92 C.94 D.96
判定：构造数列，排名第二....至少.....
设排名第二位X，最多为100分，最少为77分，计算100+X+X-1+x-2+77=450 得3X=276，X=92
【例 6】（2024 联考）部队射击比赛中，5 名参赛的战士共击中了 88 次目标。已知任意 2 人击中的目
标数量均互不相同，问射击成绩排前两名的战士至少击中了多少次目标？
A.37 B.39 C.58 D.82
问前两名至少击中目标，设第二名为x, 第一名为x+1
问少，从少入手 问多，从多入手
则：x+1+x+x-1+x-2+x-3=88
5x-5=88 x=18.6 前两名至少击中39次
第23/56页（2）总量未知的，构造数列
总量为范围，根据问法，确定总量的值
方法：总量为范围，根据问法，确定总量的值
常识思维：
（1）求某个主体最多，总量尽量多
（2）求某个主题最少，总量尽量少
【例 7】（2023 浙江事业单位）总公司选派 110 多名员工到 5 家分公司进行基层锻炼，每个分公司分
到的人数均不同。已知选派人数第二多的分公司选派人数比第四多的多 10 人，选派人数最多的分公司的
选派人数占总选派人数的 1/3，但未超过最少人数的 3 倍。那么选派数最少的分公司的选派人数至多可
能是多少人？（ ）
A.13 B.14 C.15 D.16
判断：最少公司人数选派最多人数，设为x，总人数为110多，111、114、117 3的倍数，选117(总量最多)
1 2 3 4 5
39 x+11 x+2 x+1 x = 117 4x+53=117 x=16
3.多集合反向构造
1.题型特征：都满足的最少/至少
2. 方法 1：反向→加和→作差
方法 2：（A1+A2+A3+…+An）-（n-1）×总量
【引例】有 100 人，行测学习中：学习言语 90 人，学习判断 88 人，学习资料 92 人，学习常识 80 人，
学习数量 60 人，问“都学”的至少有多少人？
言语 90 （10）判断 88（12）资料 92（8） 常识 80 （20）数量 60 （40）
（1）反向 不学
（2）加和：不学最多人 10+12+8+20+40=90人（分散开，人数尽量多）
（3）作差：总-不学=都学 100-90=10人
答案：加和最多，分散不重叠，没有什么都不学 都学......最多
【例 8】（2022 江苏）某机构对全运会收视情况进行调查，在 1000 名受访者中，观看过乒乓球比赛的
占 87%，观看过跳水比赛的占 75%，观看过田径比赛的占 69%。这 1000 名受访者中，乒乓球、跳水和
田径比赛都观看过的至少有：
A.310 人 B.440 人 C.620 人 D.690 人
方法一： 乒乓球 870 跳水 750 田径 690
方法二：（A1+A2+A3+…+An）-（n-1）×总量
1、反向 130 250 310
尾数法： 870+750+690-2000=310
2、加和 690
3、作差 1000-690=310
【例 9】（2021 广东选调）某单位在网上办公系统传阅了 15 份文件，甲阅读了 9 份，乙阅了 12 份，丙
阅读了 10 份，则甲、乙、丙三人共同阅读过的文件至少有（ ）份。
A.0 B.1 C.2 D.3
判断：多集合反向构造
方法一：反向——加和——作差 加和：6+3+5=14 作差：15-14=1
方法二：9+12+10-2X15=1
第24/56页第九章 年龄问题
1、年龄特性解题和方程法结题
【例 1】（2024 全国事业单位联考）2024 年，某家庭大女儿的年龄是小女儿年龄的 2 倍。2028 年，
小女儿的年龄是 2024 年时的 2 倍。2029 年，两个女儿的年龄之和是母亲年龄的一半。问母亲比大女
儿大几岁？（ ）
A.29 B.30 C.31 D.32
2024年 设小女儿为x，大女儿为2x
2028年 设小女儿为x+4，大女儿为2x+4 x+4=2x x=4
2029年 小女儿：9 大女儿：13 母亲：44岁
无论哪一年，年龄差不变：44-13=31岁
【例 2】（2021 重庆选调）不到 30 岁的哥哥今年的年龄正好是弟弟年龄的 5 倍，若干年后哥哥的年
龄就是弟弟的 4 倍，又过了若干年，哥哥的年龄将是弟弟的 3 倍，则今年两兄弟的年龄差是（ ）岁。
A.12 B.13 C.14 D.15
方法一：年龄差： 4的倍数 选A
方法二：哥哥 5N 4M 3y
弟弟 N M y 年龄差为4N 3M 2y 最小公倍数：12
【例 3】（2023 联考）美术培训班有 3 名学员，他们的年龄满足以下条件：他们的年龄都是正整
数；2 号学员的年龄是 1 号学员年龄的一半；3 号学员比 2 号学员大 7 岁；3 名学员的年龄之和是不
超过 70 的素数，且该素数的各位数字之和为 13，那么这 3 位学员的年龄分别是多少岁？
A.12；6；13 B.20；10；17 C.24；12；19 D.30；15；22
ABCD选项的年龄和：31、47、55、67
各 个素数之和/数字和： 4、11、10、13（排除法，选D）
质数（素数）：在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数
小技巧：100以内的质数，用1-10试探即可
第25/56页【例 4】（2024 浙江）小张和小王的年龄之和为 45 岁。5 年之后小李的年龄比小张的 3 倍少 16 岁。
已知小张的年龄比小王小，那么再过 5 年，3 人的平均年龄最大可能为多少岁？
A.45 B.48 C.50 D.54
设现在小张年龄为x，小王为45-x
5年后：小张为x+5，小王为50-x 小李：3（x+5）-16=3x-1
5年后三人平均年龄：x+10 + 55-x + 3x+4 =(3x+69)/3 = x+23最大
【例 5】（2024 国考）甲、乙、丙三人的年龄之比为 3：4：5。8 年之后，甲、乙的年龄之和是丙
的 1.5 倍，且这一年甲、乙、丙、丁四人的平均年龄为 43 岁。问再过 15 年，甲、乙丙、丁中有几人将
超过 60 岁?
A.4 B.3 C.2 D.1
甲 乙 丙
现在： 3x 4x 5x
8年后：3x+8 4x+8 5x+8 甲乙年龄之和是丙的1.5倍 （甲+乙）/丙=3/2 x=8
x=8 32 40 48 甲乙丙丁平均年龄为43岁 丁=52岁 15年后丙、丁超60岁
【例 6】（2021 联考）2020 年老张的年龄是小王年龄的 4 倍，2021 年老李的年龄是小王年龄
的 3 倍，已知老张比老李大 12 岁，问哪一年三人的年龄之和第一次超过 140 岁？
A.2020 B.2023 C.2026 D.2029
张 王 李
2020 4x x
2021 4x+1 x+1 3x+3 (4x+1)-(3x+3)=12 x=4
总计： 8x+5=117 代入：到2029年，超过140岁
【例 7】（2024 国考）2023 年王的年龄比张的年龄的 2 倍小 2 岁，2025 年张的年龄是李的年龄
的 1.5 倍，2030 年张和李的年龄之和与王的年龄相同。问 3 人的年龄之和在哪一年第一次超过 120 岁？
A.2037 年 B.2036 年 C.2035 年 D.2034 年
王 张 李
王 张 李
2023 2x-2 x
2023 6x-6 3x-2x
2025 2x x+2 数据不好 2025 3x 2x
2030 6x+1 3x+5 2x+5
得 6x+1=3x+5+2x+5 x=9
3人的年龄之和超过120岁在（2030年110岁）2034年
2.年龄和不定方程结合
年龄和日期均为整数，利用不定方程特性求解。（奇偶、倍数、代入法、尾数法）
【例 8】（2018 福建选调）有一个 00 后的孩子，其今年年龄的 20 倍加上 18，然后乘以 5，再
加 365，减去其出生的月份后得到的数字是 1646，那么，这个孩子的出生日期是多少？
A.2006 年 9 月 B.2007 年 8 月 C.2008 年 7 月 D.2009 年 6 月
设 今年年龄 x 月份 y
(20x+18)x5+365-y=1646 100x=1191+y 根据尾数法0=1+9
第26/56页【例 9】（2023 湖北选调）己知大明小丽俩夫妻有一个儿子，大明和儿子的年龄之积加上小丽的年龄等
于 85，小丽和儿子年龄之积加上大明的年龄等于 86。问大明和小丽年龄之积加上儿子的年龄为多少？
A.704 B.814 C.870 D.872
方程——问题
设大明年龄为x，小丽年龄为y，儿子年龄为z
1、加和关系：可以得出总量/单量
xz+y=85 x+yz=86
2、乘积关系：
作差得（x-xz）+（yz-y） = 1
方法：加和或作差
(y-x)x(z-1)=1 z=2，y-x=1 解得x=28 y=29 28x29+2 代入
3.年龄和年龄的平方
1、世纪和年代
198? 20 世纪八十年代
198? 20 世纪九十年代
202? 21 世纪
2、识别：平方数等于那一年的年份
例：有一个 20 世纪八九十年代出生的人，在 21 世纪，恰好有一年，他年龄的平方数
等于那一年的年份
3、方法：出生+年龄=年份=平方数
（1）1892+44=1936（44 的平方）
（2）1980+45=2025（45 的平方）
（3）2070+46=2116（46 的平方）
【例 10】（2022 联考）有一个 20 世纪八九十年代出生的人，在 21 世纪，恰好有一年，他年
龄的平方数等于那一年的年份。这个人是哪年出生的？
A.1995 B.1990 C.1985 D.1980
1980+45=2025 =45的平方
4.属相和本命年
12 生肖：
子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪。
注意：本命年以 12 为周期
【例 11】（2018 吉林）某业务处长和科员两人属相相同，科员在第一个本命年时处长是第三个本命
年。科员今年 20 岁，当处长年龄是科员年龄的 2 倍时，需要经过的时间是：
A. 7 年 B. 4 年 C. 5 年 D. 6 年
设 年龄差 24
科员 20 +4 = 48 处长 44+4 = 48 要经过4年
【例 12】（2017 陕西）今年是鸡年，公历年数为 2017。小王发现，在未来十年内的某一年，他年龄的
平方数正好是那年的公历年数，则小王的属相为（ ）
小红书
A.牛 B.虎 C.兔 D.龙
哇卡哇咔
E.蛇 F.马 G.羊 H.猴
2017年为鸡
1980+45岁=2025年=45平方
2025+3=2028年 45岁+3=48岁 （猴年） 2029年为鸡年第十章 溶液问题
1、溶液公式
小红书
哇卡哇咔
【例 1】（2024 广东事业单位）杯中有 280ml 的水，加入浓度为 60%的酒精溶液后，杯中溶液的酒
精浓度为 18%，则加入的酒精溶液为（ ）ml。
A.90 B.120 C.150 D.180
公式法：浓度=溶质/溶液 设加入酒精溶液xml
线段法：
0% 18% 60%
=0.6x/(280+x)
量之比：42 : 18 7份：3份（资料分析--混合增长率）
=18/100
水：酒精溶液=280ml : 120ml 21x=280x9 x=120
理解公式：溶液=溶质+溶剂
【例 2】（2023 上海事业单位）在 1000 克盐水中。加入 80 克盐，浓度比原来提高了约 6.67%，
则原来盐水的浓度（ ）。
A.3.33% B.10% C.16.67% D.20%
注意：浓度提高6.67%（浓度1——浓度2） 猜题：蒙题AB 问法是原来的浓度——现在的
公式：设原来浓度为x，浓度=溶质/浓液 加盐不要线段法
小红书
1000x+80 1000x+80=1080x+72
=x+1/15 哇卡哇咔
1080 x=10%
【例 3】（2020 广东）现有浓度为 4%的食盐水 250 克，若向该食盐水添加 10 克食盐，再蒸发
掉 160 克水，则新获得的食盐水的浓度为：
10g食盐水
A. 10% B. 15% C. 20% D. 25%
溶质 10+10
浓度= = =20/100
溶液 250+10-160
【例 4】（2018 联考）现有一种浓度为 15%的盐水 30 千克，如果用 50 千克浓度更高的盐水和它混
合，混合后的盐水浓度将大于 20%，而小于 35%。据此可知，后加入的盐水的浓度（假设浓度为 x）
范围是：
A. 23%＜x＜47% B. 15%＜x＜35% C. 15%＜x＜23% D. 23%＜x＜50%
x-20 3
15% 20% x
线段之比：5 : x-20
= x=23%
5 5
线段法：
量之比：x-20 : 5
15% 35% x x-35 3
x=47%
=
线段之比：x-35 : 20
20 5
第28/56页【例 5】（2020 浙江选调）实验室内有浓度分别为 10%和 25%的盐酸各 500 毫升，从两种溶液中分别
倒出一部分配成浓度为 15%的盐酸 600 毫升。如果将剩余的盐酸混合，则该溶液的浓度为：
A.16.5% B.18.6% C.20% D.21.25%
方法一：（题干过程）
方法二：（溶质固定）
10% 15% 25% 线段之比：1 : 2
盐酸溶质：10%x500=50 25%x500=125
线段法：
量之比：2 : 1 总溶质175
10% x 25%
第一部分： 倒出15%x60=90 剩下85溶质
剩下的： 量之比：1 : 3
根据公式：浓度=溶质/溶液
+3.75%
100 300 线段之比：3 : 1
=85/400=21.25%
15%=4份 1份=15%/4=3.75%，x=21.25%
【例 6】（2020 上海）有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了 200 毫升清水，乙瓶里装了 200 毫升纯酒
精。第一次把 20 毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中 20 毫升溶液倒回乙瓶，此时甲瓶里含
有纯酒精的量（ ）乙瓶里含水的量。
A.大于 B.小于 C.等于 D.不能确定
注：整体不变，等量交换
倒之前：甲乙两瓶各有200ml溶液
倒之后：甲乙两瓶还是有200ml溶液，甲瓶少的水是用来自乙瓶酒精补充，乙瓶少的酒精是
甲瓶中的水补充，所以是等量的
（2）多者混合
小红书
1、公式法：浓度=溶质/溶液
哇卡哇咔
2、三者混合：两 两 混合
【例 7】（2023 江苏）浓度分别为 68%、72%、78%的三种酒精溶液的总质量为 240 克。若将它们
全部混合，则可得浓度为 74%的酒精溶液；若只将浓度为 72%和 78%的酒精溶液混合，则得浓度
为 76%的酒精溶液。这三种酒精溶液中，浓度为 72%的酒精溶液质量为（ ）
A.30 克 B.40 克 C.48 克 D.60 克
72% 76% 78%
线段之比：4 : 2
线段法：
量之比：1 : 2
丙
乙
74%
68% 76% 甲：乙：丙=1:1:2
线段之比：3 : 1
甲 乙丙 量之比：1 : 3 浓度为72%的酒精溶液质量为60
【例 8】（2023 成都事业单位）A、B、C 三个试剂瓶中分别装有浓度为 20%、40%和 60%的酒精溶液
各 100 克，现分别从 A、B、C 三个试剂瓶中取 60 克、40 克和 20 克酒精溶液混合，在混合后的酒精溶
液中加入 30 克水。则该混合后的酒精溶液最终浓度为（ ）。
A.24% B.26.7% C.33.3% D.40%
溶质 12+16+12
浓度= =40/150
溶液 60+40+20+30
2、等量变化：蒸发稀释类
识别：溶质不变
（1）溶液……n%，加一定量的水，浓度变为 m%，再加入等量的水，
（2）溶液……n%，蒸发一定量的水，浓度变为 m%，再蒸发等量的水，
方法：
（1）列表（溶质=溶液×浓度）
（2）赋值溶质（浓度的公倍数即可）
（3）求加入、蒸发水的量
第29/56页【例 9】（2022 黑龙江公检法）一杯浓度为 50%的糖水，加入一定量的水后浓度变为 40%，再加入与
上一次等量的水后，糖水变为 60 克，问糖水中的糖有多少克？
A.18 B.20 C.24 D.30
溶质 = 溶液 x 浓度
（溶质不变） 溶质 = 溶液 x 浓度
200 400 50%
20 40 50%
200 500 40%
20 50 40%
600 6% 60 6%
【例 10】（2023 福建事业单位）有一杯盐水，第一次往杯内加入一些水后浓度变为 12%，第二次再
加入同样多的水后浓度变为 8%，第三次再加入同样多的水后浓度变为（ ）。
A.7% B.6% C.5% D.4%
溶质 = 溶液 x 浓度
（溶质不变）
小红书
24 200 12%
哇卡哇咔
24 300 8%
400 6% 公众号：叛逆小樱桃
（2）蒸发
【例 11】（2022 湖北选调）将一满容器浓度为 24%的溶液放置太阳下暴晒一段时间，经过一段时间蒸
发水分后溶液浓度变为 36%且无沉淀。然后再用浓度为 12%的溶液将容器加满。请问容器内溶液浓度
变为多少？
A.24% B.28% C.30% D.32%
公式法：
线段法： 12% 28% 36%
溶质 = 溶液 x 浓度
溶质
线段之比：2 : 1
72 300 24%
浓度=
100 x 200 量之比：1 : 2 溶液
72 200 36%
24%=3份 1份=24%/3=8%，x=28%
400 6%
【例12】（2023全国事业单位联考）某模拟海洋养殖场有一批海鱼，其池塘具有一定的盐度，且不大于
该品种鱼的最适盐度3.5%。已知每天太阳蒸发掉相同的水量，若不采取任何措施则在第三天结束时，池
塘盐度将首次达到该品种鱼可承受的最大盐度限值5%。为了维持初始盐度不变，每天补充等体积的淡
水，问每天可能补充的水量体积最少是原溶液体积的（ ）。
A. 5% B. 10% C. 15% D. 20%
溶质 = 溶液 x 浓度
100/1000=10%
35 1000 35%
700 5%
2、反复操作
识别：
小红书
溶液浓度为 n%，倒出比例 a，水加满，再倒出比例 b，水加满，再倒出比例 c，水加满。
哇卡哇咔
最后浓度为： n%×（1-a） ×（1-b）× （1-c）
【例 13】（2024 联考）现有一容器，装有 100 克浓度为 75%的盐水，从中倒出 40 克盐水后，再加
入 40 克纯净水，如此反复三次。问此时盐水的浓度是：
A.16.20% B.9% C.1.62% D.0.90%
比例：40/100=40%
原浓度：75%x(1-40%)x(1-40%)x(1-40%)
= 3/4 x 3/5 x 3/5 x 3/5 =81/500 = 16+%
第30/56页【例 14】（2018 江西）从一瓶浓度为 52%的酒精溶液中倒出 1/3，加满纯净水，再倒出 1/3，又
加满纯净水，此时酒精溶液的浓度是多少？
A. 5.8% B. 23.1% C. 17.3% D. 31.5%
计算：53% x (1-1/3) x (1-1/3)
=52% x 2/3 x2/3 = 208/9%
【例 15】（2024 四川）现有浓度为 70%的盐水 100 克。从中倒出 40 克，再加入 40 克浓度为 20%
的盐水，如此操作共 5 次后，问盐水的浓度在以下哪个范围内？
A.低于 23% B.在 23%到 25%之间 C.在 25%到 27%之间 D.高于 27% 小红书
哇卡哇咔
直接降浓度(变形:加入.....20%)
分成两部分: 50% 盐水变成50% 100g 加水的浓度 (都-20%)
20%溶质,不变化
50%x60%x60%x60%x60%x60% = 4-% +20%=23%+
第31/56页第十一章 植树和方针问题
1、植树问题
（1）两端、单端（环形）楼间植树
（一定能除尽）
小红书
哇卡哇咔
（两端不植树）
【例 1】（2023 福建事业单位）在一片长 20 米宽 10 米的长方形的地上植树，每两棵树之间的行距和
列距均为 2 米，则在这片长方形的地上最多可以植（ ）棵树。
A.50 B.55 C.60 D.66
判断：两端植树问题 宽10米：10/2+1=6棵树
长20米：20/2+1=11棵树，在一个长方形中排列为6x11=66棵树
【例 2】（2019 新疆）某文艺汇演的舞台为一个边长为 10m 的正六边形，节目“千手观音”中，演员需
排成一列正对观众，为保证演出效果，两个演员之间要保持 50cm 的距离，问该舞台最多能站多少
名“千手观音”的演员？
A. 31 B. 35 C. 39 D. 41
10√3
正六边形边长为10，高度为10√3
S=10√3=17.32米 棵树=S/间节+1 =17.32/0.5+1=35人
【例 3】（2019 广东）某机构计划在一块边长为 18 米的正方形空地开展活动，需要在空地四边每
隔 2 米插上一面彩旗，若该空地的四个角都需要插上彩旗，那么一共需要（ ）面彩旗。
A.32 B.36 C.44 D.48
小红书
注意：等间距的种树，拐角种树，间隔长度为长度的公约树
哇卡哇咔
正方形种树：端点种树，等间距：18x4/2=36棵
长方形种树：长够，宽不够
【例 4】（2020 广东）为加强治安防控，现计划在一段 L 形的围墙（如下图）上安装治安摄像头，其
中 A 点到 B 点长度为 750 米，B 点到 C 点长度为 1350 米。按要求 ABC 三个位置必须安装一个摄像
头，且相邻两个摄像头之间的距离要保持一致，则整段围墙至少需要安装（ ）个摄像头。
A.14 B.15 C.16 D.17
要求：（拐点）端点植树，等间距
750
公约数：短除法（公共因子的乘积）
1350
要想少，间隔长度越大，间隔长度=150
750 1350公约数为150
两端植树问题：棵树=S/间隔+1=（750+1350）/150+1=15
【例 5】（2020 深圳）某市计划在一条笔直公路的两侧每隔 8 米种一棵木棉树，并把植树任务交由
甲、乙两组工人完成，若甲组先做 3 天，余下的任务由两组合作，则再做 4 天恰好完成。若乙组先
做 10 天，余下的任务交由甲组，则再做 2 天恰好完成。已知甲组比乙组每天多种 5 棵树，则这条公
路长（ ）米。
A.1224 B.1232 C.1240 D.1248
甲：x+5 乙：x棵 总=3甲+4（甲+乙）=10乙+2甲
总棵树=310棵，两侧共310棵
3x+15+8x+20=10x+2x+10 x=25 单侧=155棵=S/8+1 S=154x8=1232
第32/56页（2）不移动植树
小红书
两端不移动棵树
哇卡哇咔
环形不移动棵树
【例 6】（2018 广州）某条道路进行灯光增亮工程，原来间隔 35 米的路灯一共有 21 盏，现要将路灯
的间隔缩短为 25 米，那么有（）盏路灯无需移动。
A.2 B.3 C.4 D.5
总长度：21=S/35+1 S=700
间隔长度的最小公倍数：35 25 5x7x5=175 两端的数量：S/间隔+1=5
【例 7】（2020 深圳）某公园举办春节花展，在周长 400 米的中心区布置了环形花槽，并在花槽上每
隔 16 米挂一只灯笼，不久后元宵灯会临近，公园决定增加并挪动一些灯笼，但仍保持灯笼间距相等。
已知加入新灯笼后，共有 5 只旧灯笼没有移动，则调整后的灯笼间距最大为（ ）米。
A.12 B.10 C.8 D.5
第一步环形不移动树总长度：S=400 （反问设坑）
第三步：不移动树：5 得出第二部=步：间隔长度最小公倍数：80
看选项：16 10的最大公倍数为80 B选项满足
【例 8】（2024 广东）某个障碍跑项目需要在 100 米长的跑道上布置障碍（起点和终点均不布
置）。如果从起点开始，每隔 4 米布置一个甲障碍，每隔 6 米布置一个乙障碍，甲、乙障碍的重合
点则不布置甲障碍。则跑道上总共布置（ ）个甲障碍。
A.16 B.17 C.24 D.25
间隔4米障碍时：100/4-1=24
间隔4米和6米的并集12 : 100/12=8......4米
4米
楼间种树（头尾不种）：当有余数时，不用减1
4米不够8米，不用减1，24-8=16个
当整除时，需要减1
【例 9】（2023 深圳事业单位）开学前，某大学准备在一条长 180 米的校道两侧从起点到终点装饰若
干条迎新宣传语，学生会要求每 3 米有宣传语，研究生会要求每 4 米有宣传语。为同时满足上述要
求，则一共需要准备宣传语（ ）条。
小红书
A.91 B.92 C.102 D.104
哇卡哇咔
A (3米宣传语)：180/3+1=61
B (4米宣传语)：180/4+1=46
45 16 30
A ∩ B：12 180/12+1=16
45+16+30=91
A B
【例 10】（2023 联考）某地计划在连接甲镇和乙镇的长度为 60 公里的公路上安装限速标志和测速
仪器。具体方案是：从距离甲镇 3 公里处开始安装限速标志，然后每隔 4 公里再设置一个限速标志；
从 8 公里处开始安装测速仪器，然后每隔 9 公里再设置一个测速仪器。假设单独安装一个限速标志费
用为 500 元，单独安装一个测速仪器费用为 800 元，如果限速标志和测速仪刚好在同一个地点安
装，则可以节约安装费用，此时安装两种设备总共只需要 1000元。问最终安装总费用是多少元？
A.10600 B.11200 C.12000 D.12300
A：14x500 B：5x800
限速标志 4公里：61/4=15段.....1米
测速仪器 9公里：61/9=6段......7米
1x1000
A ∩ B 36 ：61/36=1.....25米
第33/56页（2）不移动植树
NxN
3、（1）猜：平方数
（2）两个实心方针组成新的实心方针
小红书
哇卡哇咔
【例 11】（2020 浙江）某学校要将全体运动员排成方阵，老师按人数粗略估计进行第一次排列，发现
多出 99 人，于是又将每行和每列多加了 4 人进行排列，发现缺少 37 人。问学校共有运动员多少人？
A.256 B.289 C.324 D.361
方法一：总+37=方阵平方数 293 、326、 361、 398 361=19x19
方法二：256-99=157 289-99=190 324-99=225（平方数） 361-99=262
【例 12】（2024 深圳）某灯光秀表演中，无人机群先排列成红、绿两个正方形实心方阵，然后融合并
变换灯光，形成一个黄色的正方框形空心方阵。原红方阵最外侧每边有 8 架无人机，且原红方阵恰好可
填满黄方阵的空心，原绿方阵最外侧每边的无人机数量比黄方阵少 4架。则参加灯光秀表演的无人机共
有（ ）架。
A.260 B.233 C.196 D.185
红：8x8=64 红+绿=黄 且 黄+红=方阵
260=64+196 260+64=324（18平方） 绿色最外侧为14架，黄色为18架成立
【例 13】（2022 福建事业单位）用原味和海鲜味两种口味的罐装薯片组成一个实心方阵（所有罐装薯
片大小完全相同），最外层都是原味罐装薯片，从外往内每层按原味罐装薯片、海鲜味罐装薯片相间摆
放。如果最外一圈的正方形有原味罐装薯片 44 罐，那么摆成这个方阵共需海鲜味罐装薯片（ ）罐。
A.60 B.62 C.64 D.70
相邻两圈差8，隔一圈差16
最外层原味薯片44 44-8=36 海鲜味36+20+4=60
【例 14】（2023 联考）某学院有新生两百多人，将学生从 1 开始依次编号，选取编号为 3的倍数的
学生，正好构成新生运动会开幕式方队，选取编号为 m（3＜m＜10，且 m 为整数）的倍数的学生，
恰好构成闭幕式方队，问该学院新生人数有多少人？
A.242 B.243 C.245 D.246
排除 AD BC 两项除以3商81,81为平方数
当 m=4时 BC选项 243/4=60....3 245/3=61....1 均不符合
当 m=5时 BC选项 243/4=48....3 245/3=49 平方数第35/56页第十二章 经济利润问题
1、基础经济
（1）识别特征：...进价.....利润（利润率）....,销售价.....
小红书
资料分析中：基期 现期 增长量
哇卡哇咔
经济中：成本 售价 利润
（2）常用公式（基期、现期、增长量、增长率）
a、进价（成本）+利润=售价 =>现=基+增长量
b、利润率=利润/成本 =>r=增长量/基期量
c、进价x(1+利润率)=售价 =>现=基期 x（1+r）
d、总价=单价x数量（A=BXC 乘积增长率 ra=rb+rc+rbxrc）
e、定价x折扣=售价
注：定价的9折=定价x0.9 (总利润=单利x数量=总收入-总成本)
（3）解题思路：根据等量列等式
a、若只有单价商品，优先切入点为进价；若出现多件商品，优先切入点为商品数量
b、若出现折扣，一定要注意区分价格
（1）资料分析解决经济利润问题
（成本、售价、利润、利润率关系）
量：成本
小红书
量关系：A=BxC
哇卡哇咔
乘积增长率：rA=rB+rC+rBxrC
【例 1】（2024 广东）某家政公司承诺以低于市场价 20%的价格为小区业主提供服务。如果有业主向
该公司支付了服务费 4000 元，则与市场价相比优惠了（ ）元。
节省了.....元
A.400 B.600 C.800 D.1000
市场价——>现：4000元 低于市场价20% 减少量为20% =r=-20%
基期——>现期 增长量：r=”+” 现期/n+1 r=”-” -现期/n-1 -4000/4=-1000元
【例 2】（2024 江苏）某商店购进一款无线路由器，进价 100 元/个，加价 30%出售，半年后将剩下
的打 7 折全部售出，共盈利 7410 元。若成本利润率为 19%，则打 7 折售出的无线路由器共有（ ）。
A.90 个 B.100 个 C.105 个 D.110 个
成本：100元 售价：130 打七折售价：130x0.7=91 利润：-9 利润率：-9%
利润率=利润/成本 （量：成本） 总成本=单成本x数量（成本价不变，总成本为数量之比）
28
11
线段之比：28:11
-9% 30%
19% 量之比：11:28 打七折的路由器共为11的倍数，选D
【例 3】（2024 联考）某商家购进一批商品，每件成本为 27 元，最初将商品定价为每件 40元，该
商家经过百分率相等的连续两次降价后，每件商品的利润率不超过 20%。问每次降价的百分率至少
A. 20% B. 15% C. 10% D. 5%
r1 r1
售价=成本x(1+20%)=27x(1+20%)=32.4
降价是在定价基础上，基期到现期
基：40 现：32.4
r间=-19%
间隔增长率：r间=-19%=r1+r2+r1xr2 r1=-10%
第36/56页【例 4】（2023 北京）某种农作物原来亩产为 600 千克，改进种植技术后，亩产增加 100千克，且
由于品质改善，每千克的售价提高 1 元，每亩产值比之前增加 1100 元。则原来每亩产值是多少元?
A.1800 B.2100 C.2400 D.2700
每亩产量x单价 = 每亩产价
原来 600 x 600x
600x+1100=700x+700
现在 700 x+1 700x+700 v x=4
原来每亩产值：600x4=2400
（2）方程法
小红书
方程法：有具体钱数
哇卡哇咔
（1）列表（关系乱）
（2）设未知数
（3）根据等量列式子
【例 5】（2024 浙江）甲、乙两店同时开展促销活动，甲店单件商品的标价超过 50 元可以立
减 20 元后再打 9 折，乙店单件商品的标价超过 50 元可以打 8 折后再立减 10 元。现两家店都在销
售的 3 种商品，相同商品在两店价格相同，分别为 45 元、75 元、85 元，某人准备购买其中两种商
品各一件，最少的花费在以下哪个范围之内？
A.90 元以下 B.90~93 元 C.93~96 元 D.96 元以上
1、45元——45元
2、75元——甲：75-20=55x0.9=49.5
乙：75x0.8=60-10=50 最少花费为45+49.5=94.5
【例 6】（2024 联考）某羽毛球俱乐部推出充值会员优惠活动，具体为月卡会员费用打八折，年卡会
员费用打七折，充值总时长 1 年的月卡比 1 年的年卡所需费用，打折前后分别多 88元和 100 元，问打
折后充值 18 个月的会员最少需要：
A.不到 340 元 B.340-400 元之间 C.400-460 元之间 D.460 元以上
月卡（12月） 年卡
(x+88)x0.8-0.7x=100
18个月： 年卡：0.7x
打折前 x+88 x
x=296 （半年）6个月：(x+88)x0.4
打折后 (x+88)x0.8 0.7x
求和：1.1x+35.2=360.8
（2）赋值法
难点：赋值谁？（变化谁，赋值谁）
（1）某商品的利润率为20%，如果进货价降低20% （利润率=利润/成本）
（2）商店销售某种商品，先按定价卖300件，打七五折后卖200件
后在此基础上再打八折卖完了剩下的100件
赋值定价为100
小红书
哇卡哇咔
【例 7】（2023 联考）某商品的利润率是 20%。如果进货价降低 20%，售价保持不变，此时利润率是
多少？
判定：经济——给比例——求比例
A.40% B.30% C.60% D.50%
方法：赋值法——赋值成本 方法二：间隔增长率
r2=？
r2=50%
r1=-20%
成本 售价 利润
原来 100 120 20
原成本 售价
r间=20%
现在 80 120 利润率=利润/成本=40/80=50%
第37/56页【例 8】（2022 北京）商店销售某种商品，先按定价卖了 300 件，打七五折卖了 200 件，后在此基
础上再打八折卖完了剩下的 100 件，总利润为总成本的 2/3。单件成本相当于单件定价的：
A.57% B.54% C.51% D.48%
赋值：定价100 设成本x元
总成本（1+利润率）=总收入
成本 售价
600X x 5/3=300x100+200x75+100x60
300件 x 100
x=51
200件 x 75元
单件定价=成本/定价=51/100=51%
100件 x 60元
2、分段计费
1. 识别特征（计费规则达到分段点后变为不同费用）
2. 解题方法：先分段，再汇总
（注：先定位分段点，讨论费用涉及哪几个分段（不重不漏））
【例 9】（2020 河北）某市出租车价格为：2 公里以内 8 元，超过 2 公里不足 5 公里的部分每公
里 2 元；超过 5 公里不足 8 公里的部分，每公里 3 元；8 公里以上的部分，每公里 4 元；不足 1 公
里按 1 公里计算。某位乘客乘坐出租车花了 20 元，该出租车最多行驶了多少公里？
A.7 B.8 C.9 D.10
0-2公里：8元 2-5公里：3x2=6元
超过5公里不足8公里：每公里3元 8+6+3x2=20 共7公里
3、函数最值
【例 10】（2022 联考）北京冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品十分畅销。销售期间某商家发
现，进价为每个 40 元的“冰墩墩”，当售价定为 44 元时，每天可售出 300 个，售价每上涨 1 元，每天
销量减少 10 个。现商家决定提价销售，若要使销售利润达到最大售价应为：
A.51 元 B.52 元 C.54 元 D.57 元
总利润=单利x数量, 设涨价x次
y=(4+x)x(300-10x) x1=-4 x2=30
x平均值=26/2=13 上涨13次，售价=44+13=57
【例 11】（2020 江苏）某商品的进货单价为 80 元，销售单价为 100 元，每天可售出 120件。已知销
售单价每降低 1 元，每天可多售出 20 件。若要实现该商品的销售利润最大化，则销售单价应降低的金
额是
A.5 元 B.6 元 C.7 元 D.8 元
总利润=单利x数量, 设降价x次
y=(20-x)x(120+20x) x1=20 x2=-6
x平均值=14/2=7 降7次，销售单价降低的金额7次
第38/56页【例 12】（2024 山东）某线上店铺将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元出售，每天可销售100 件。
该店铺计划提高售价增加利润，若每件商品售价每提高 1 元，每天销售量就要减少10 件，为保证每天
至少获利 350 元，问该商品售价应为多少？
A.小于 13 元 B.13-15 元 C.15-17 元 D.大约 17 元 小红书
哇卡哇咔
变形：最大利润——最值
y=(2-x)x(100-10x) x1=-2 x2=10
x平均值：4次 y=6x60=360 10+4=14次
第39/56页第十三章 行程问题
1、基础行程
（1）普通行程
路程=速度×时间
S=V×T
方法：画图展现行程过程，列式子求解。
注：
（1）单位换算：1 米/秒=3.6 千米/时
（2）只给时间或者给定速度比例可赋值（类似工程问题给定时间型和给定效率比例型）
【例 1】（2024 广东）小李从山脚开始登顶，匀速走了 1 小时后到达一个凉亭，并在凉亭休息了半小
时。继续走 500 米后，恰好完成登顶路程的一半。从山顶沿原路匀速返回时，他走了 1 小时又到了这
个凉亭，继续走半小时回到了山脚。则登顶路程为（ ）米。
A.2000 B.3000 C.3600 D.4000
行程问题: 画图判定
上 下山时间之比 1:0.5 = 2 : 1 路程一定, 速度之比为2 : 1
设上山的速度为v 下山的速度为2v
S=( v+500)x2=2vx1.5 v=1000 米/小时 登顶的路程为2x1000x1.5=3000 米
（2）火车过桥
公众号：叛逆小樱桃
【例 2】（2023 联考）某公路隧道长 1500 米，一辆公共汽车匀速从隧道通过，测得公共汽车从开始
进入隧道到车身完全驶出隧道用时 151 秒，整辆公共汽车完全在隧道里的时间为 149秒，则公共汽车的
车身长度和行驶速度分别为：
A.8 米；5 米/秒 B.10 米；10 米/秒 C.10 米；15 米/秒 D.12 米；20 米/秒
1500+S车=151v
1500-S车=149v 解得: v=10米/秒 S车=10米
（3）匀加速（新型热门考法）
第40/56页【例 3】（2024 全国事业单位联考）甲、乙两辆车同时从 A 地出发驶向 B。甲车匀速行驶，乙车出
发时的速度与甲车相同且均匀加速，1 小时后其行驶的距离是甲车的 1.5 倍，此后乙车均匀减速，又
过了 1 小时到达 B 地时，其速度是从 A 地出发时的 0.5 倍，问甲车还要多长时间到达 B 地？
A.30 分钟 B.40 分钟 C.45 分钟 D.60 分钟
S=1.5 v=2 T=3/4h=45分钟
甲: S=2 T=1 v1=2 再行驶1小时,S=2
甲 S=VxT=2 S=2
v1=2
乙: AC 段,S=3 T=1 v平均=3 v2=4
A B
C
继续行驶, S=2.5 T=1 v3=1 S总=5.5
v3=1
乙
v2=4
S=3 .T=1
剩下甲到 B 距离: S=1.5 v=2 T=3/4h=45 分钟 S=2.5 .T=1
=(v 初+v 末)/2
V平均为3
V平均为2.5
S 总=5.5
【例 4】（2024 四川）小李开车去某单位办事，计划全程匀速行驶 2 小时到达目的地。出发后头
30 分钟按计划速度行驶，此后 50 分钟交通拥堵，行驶的路程和前面 30 分钟相同。最后 40 分钟小
李匀加速行驶，最终全程用时 2 小时到达。问他最后 10 分钟的平均车速是计划行驶速度的多少倍？
A.不到 1.8 倍 B.不低于 1.8 倍但低于 2.0 倍 C.不低于 2.0 倍亦不高于 2.2 倍 D.高于 2.2 倍
问比例->赋值 v=100 S 总=12000
T=30 S1=3000
最后10分钟速度为(150+240)/2=195
此时的平均速度为(195+240)/2=217.5
v=60
v平均=150 v 末=240
是计划行驶速度的 217.5/100=2.175
T=50 S2=3000
T=40 S3=6000
（4）等距离平均速度
判定：等距离
等距离平均速度公式：
常适用于：
（1）直线等距离
（2）直线往返
（3）上下坡往返 (上下坡等距离)
【例 5】（2020 联考）小明每天从家中出发骑自行车经过一段平路，再经过一道斜坡后到达学校上
课。某天早上，小明从家中骑车出发，一到校门口就发现忘带课本，马上返回，从离家到赶回家中共用
了 1 个小时，假设小明当天平路骑行速度为 9 千米/小时，上坡速度为 6千米/小时，下坡速度为 18 千
米/小时，那么小明的家距离学校多远？
A. 3.5 千米 B. 4.5 千米 C. 5.5 千米 D. 6.5 千米
6km/h 18km/h
来回路程: S=VxT=9x1=9=2s
9km/h
斜坡平均速度
单程距离: s=4.5km
9km/h v=2v1v2/(v1+v2)=9
【例 6】（2023 国考）一辆汽车从甲地开往乙地，先以 40 千米/小时的速度匀速行驶一半的路程，然
后均匀加速；行驶完剩下路程的一半时，速度达到 80 千米/小时；此后均匀减速，到达乙地时的速度正
好降为 0。问其全程的平均速度在以下哪个范围内？
A.不到 44 千米/小时 B.在 44~45 千米/小时之间 C.在 45~46 千米/小时之间 D.超过 46 千米/小时
v平=60 v平=40
v=40匀速
v=40 80 0
S=40 1/4s 1/4s
S=48
第41/56页【例 9】（2023 湖北事业单位）小谢下班后，以 2 米/秒的速度在家附近公园的圆形跑道上慢跑。他发
现邻居小钟和小崔也在该跑道上跑步，且某一时刻，他们三人在该跑道上的某处相遇，此后小钟每 6 分
钟与小谢迎面擦身而过，小崔每 12 分钟从小谢身后跑过，假设小钟和小崔跑步的速度大小相同且恒
定，则该圆形跑道的长度为（）米。
谢 钟
v
v=2
A.2380 B.2880 C.4760 D.6480
崔
v
S 相遇=S圆=(v+2) x 6 = (v-2) x 12=S 追
v =6米/秒
S=(6+2)x6分钟 x 60s=2880
【例 10】（2020 山东）甲、乙两人在一条 400 米的环形跑道上从相距 200 米的位置出发，同向匀速
跑步。当甲第三次追上乙的时候，乙跑了 2000 米。问甲的速度是乙的多少倍？
甲
A. 1.2 B. 1.5 C. 1.6 D. 2.0
第一次 第二次 第三次
S 追 200 400 400 共1000
S 甲-S乙 =S 追=1000
S 甲=3000 S乙=2000
时间一致,路程之比为速度之比 S甲:S乙=1.5 乙
（3）多次相遇
【例 11】（2020 联考）小王在甲医院，小赵在乙医院。两人从所在医院同时骑车出发，来回往返于两
个医院之间。已知小王骑车速度为 205 米/分钟，小赵骑车速度为 225 米/分钟，且经过 12 分钟后两人
第二次相遇。问两家医院相距多少米？
A.1290 B.1720 C.2150 D.2580
3S = 430 x 12
判断:两端多次相遇
S = 1720
【例 12】（2021 广东）小王和小李沿着绿道往返运动，绿道总长度为 3 公里。小王每小时走2 公里；小
李每小时跑 4 公里。如果两人同时从绿道的一端出发，则当两人第 7 次相遇时，距离出发点（）公里。
A. 0 B. 1 C. 1.5 D. 2
注:1. 两人相遇,同点同位置 S王=2x7=14/3=4s...2( 总共14公里, 单趟3公里)
判定:同端多次相遇
第7次 共走14s
S李=4x7=28/3=9s...1
14 x 3 =6 x T T= 7h 2.坑:单程(奇数程 到达对方点...再走) 双程(偶数程,回到起点...再走)
第42/56页2、相对行程
（1）相遇和追及
【例 7】（2020 联考）甲乙两人在相距 1200 米的直线道路上相向而行，一条狗与甲同时出发跑向
乙，遇到乙后立即调头跑向甲，遇到甲后再跑向乙，如此反复，已知甲的速度为 40 米/分钟，乙为 60
米/分钟，狗为 80 米/分钟。不考虑狗调头所耗时间，当甲乙相距 100 米时狗跑了多少米？
A. 1100 B. 1000 C. 960 D. 880
T狗=T 人相遇 1200-100=1100=100xT
T=11 S 狗=80x11=880
【例 8】（2024 联考）c 地为 a、b 两地直线道路上的一点，甲、乙两人 9：00 分别自 a、b两地同时
出发匀速相向而行，甲的速度是乙的 1.5 倍，甲 9：40 到达 c 地休息 10 分钟后继续向 b 地前进；乙全
程不休息，在 10：40 到达 c 地，问甲、乙相遇的时间为：
S相遇=100=5T
A.10：00 B.10：10 C.10：20 D.10：30
T=20
甲: 9:00 甲: 9:40/9:50 10 :10
v=3 T=40 分钟
乙: 9:00
a S=120 c b
v=2 T=100 分钟
S=200
乙: 10:40
（2）环形相遇和追及
第43/56页（4）流水行船
【例 13】（2020 联考）一艘轮船顺流而行，从甲地到乙地需要 6 天；逆流而行，从乙地到甲地需要 8
天。若不考虑其他因素，一个漂流瓶从甲地到乙地需要多少天？
A.24 B.36 C.48 D.56
S = V x T
24 4(V顺) 6天
根据公式: V水=1/2
3(V逆) 8天
3、比例行程 (资料分析比例类比思想)
S=VT 常考: 路程相同
找相等的量，看比例，找份数
（1）S 相等， V T 成反比
（2）V 相等， S T 成正比
（3）T 相等，S V 成正比
【例 14】（2024 联考）A、B 两地相距 100 米，甲、乙两人分别从 AB 两地同时出发，匀速相向而行，
相遇后，甲原路返回 A 地，乙继续向 A 前行，当甲、乙均到 A 地结束。已知乙的用时是甲的三倍，那么甲
的速度是乙的：
A.2 倍 B.3 倍 C.4 倍 D.5 倍
S相同 V T成反比 T 乙:T甲 = 3:1
乙到达 A 地用2tx3=6t 两人在第一次相遇时用时为 t 乙从两人相遇到 A 用时为5t
v甲/ v 乙=t 乙/ t甲 =5:1
第44/56页第十四章 排列组合问题
1、基础概念
分类与分步
小红书
哇卡哇咔
排列与组合
常用:凑12法
5x4x3x2x4x3x2x3x2x2=12x12x12x20=1728x20=34560
【例 1】（2024 联考）某单位从所有职工中选出若干人参加培训，如果选择 4 人，可能的选择方式正
好是选择 3 人时的 10 倍，问该单位有多少名职工？
A.32 B.33 C.42 D.43
设职工人数为n 人, 选4人=选3人 x10
【例 2】（2024 江苏）某公司派出 5 名人力资源专员去 2 个一线城市和 2 个二线城市参加秋季招聘
会。若每名专员只去其中 1 个城市，每个一线城市至少派 1 名专员，每个二线城市只派 1 名专员，则不
同的派出方法共有（ ）。
A.60 种 B.72 种 C.120 种 D.144 种
2个 一线城市 2个 二线城市
先选人: 3人 2人 从5个里挑3个,剩下2个人去另一组
2、分类思想
小红书
哇卡哇咔
识别：至少……
例子：A 类水果（4 种），B 类干果（3 种），上岸
方法：
想吃 4 种，每类至少吃一种 (既吃水果又吃干果)
（1）正向思维：分类枚举情况数
（2）反向思维：总情况数-不满足情况数
注：正向和反向哪种情况数少，就选择哪种方法
第45/56页【例 3】（2024 广东）某高校中文系计划从 3 名男生和 3 名女生中选派 4 名学生参加暑期支教活
动。如果选派的女生不少于 2 名，则选派方案共有（）种。
A.4 B.8 C.12 D.16
分类思想 加和
猜题:4+8=12 选C
【例 4】（2024 山东）某医院积极响应国家号召，组建医疗小分队赴西部地区开展对口支援工作。该
医院现有 6 名男医生和 3 名女医生报名，现从 9 人中抽取一组男女医生都有的 3人小分队。问有多少
种不同的组队方式？
A.63 B.70 C.73 D.60
3、枚举
小红书
限制了条件，选项数据小，一一枚举，不重不漏。
哇卡哇咔
注：枚举属于分类思想，这里选项数据小，枚举更直观。
【例 5】（2024 深圳）有如下图所示的飞镖盘，当飞镖落到数字标示的扇形区域，可得相应分数，否
则记 0 分，每个区域可落有多支飞镖。若一次性射出三支飞镖，恰好得到 30 分，则共有（）种.
A.6 B. 7 C. 8 D. 9
4、捆绑法
捆绑法（相邻）：题目要求一部分主体必须在一起，需要先将要求在一起的部分排列，然后视为一个主
体，和其他主体排列。
特征：要求相邻（在一起）
方法：先内部相邻小元素排列，再大主体排列。
【例 6】（2024 联考）某公司开展迎新春三分球投篮比赛。3 个部门分别派出 2、4、4 个选手共计
10 人参加。规则要求同一个部门的选手顺序相连、全部投完再安排另一个部门的人员，则这 10 人不同
的投篮顺序种数的范围是：
A.小于 1000 B.1000~5000 C.5001~10000 D.10000 以上
5、插空法
特征：要求不相邻（不在一起）
小红书
思路：（有空插空）
哇卡哇咔
①先排：先安排其他可以相邻的元素，形成若干个空位；
②再插：将不相邻的元素插入到空位中。
第46/56页【例 7】（2023 成都事业单位）要将不同的五种商品 A、B、C、D、E 在货柜上排成一排，其中 A、B
必须排在一起，C、D 不能排在一起。则有（）种不同的排列方式。
A.12 B.20 C.24 D.48
6、插板法
插板法（同素分堆 ）：每人至少一个 (分法是因为数量多多少引起的差别)
方法：空里插刀
小红书
考法 :
哇卡哇咔
考法一：同素分堆
考法二：不同素，分数量 (名额的分配方案)
考法三：每人至少分 4 个，每人（n-1）个
【例 8】（2020 联考）某城市一条道路上有 4 个十字路口，每个十字路口至少有 1 名交通协
管员，现将 8 个协管员名额分配到这 4 个路口，则每个路口协管员名额的分配方案有：
A.35 种 B.70 种 C.96 种 D.114 种
3
=35
7
【例 9】（2024 全国事业单位联考）某单位将 11 本《党员学习手册》分发给甲、乙、丙共 3 个党支
部。已知甲支部至少分得 3 本，乙支部至少分得 2 本，丙支部至少分得 4本，问一共有多少种不同的分
配方式？
A.3 B.4 C.5 D.6
每人至少分 4 个，每人（n-1）个
甲(2本) 乙(1本) 丙(3本) 共6本
2
剩下:每支部至少1本 5本->
=6
4
7、错位排列 (避嫌原则)
错位重排（避嫌原则）
小红书
特征：不回归原位
哇卡哇咔
记忆: (D1+D2)x2=D3 (D2+D3)x3=D4 (D3+D4)x4=D5
265
【例 10】（2020 上半年事业单位）某个为期 2 天的会议有 8 名发言人，每人在每天都要发言1 次。已
知第 1 天的发言次序固定，第 2 天要求仅有 3 名发言人的发言次序与第 1 天一样，且另有 2 人正好交
换发言次序，问共有多少种不同的安排方式?
A.不到 500 种 B.500~1000 种之间 C.1000~2000 种之间 D.超过 2000 种
第47/56页8、环形排列 (相对做法,不分主次)
小红书
哇卡哇咔
【例 11】（2016 陕西）6 个小朋友围成一圈做游戏，小华和小明需要挨在一起，问有多少种安排方法？
A. 720 B. 180 C. 560 D. 480
E. 360 F. 240 G. 120 H. 48
9、平均分组
小红书
哇卡哇咔
【例 12】（2018 浙江）某班共有 8 名战士，现在从中挑出 4 人平均分成两个战斗小组分别参加射击和
格斗考核，问共有多少种不同的方案？
A. 210 B. 420 C. 630 D. 840
第48/56页第十五章 概率问题
小红书
1、给情况求概率 哇卡哇咔
可做可猜
(1) 分母
(2) 可能性大小
（1）正向思维
【例 1】（2024 联考）某社区服务中心拟引入优质资源为本社区 45 名老人提供居家养老服务。已知老
人的年龄构成如下（设老人的年龄为 x）：60≤x＜70 有 17 人，70≤x＜80 有 12 人，80≤x＜90 有 11
人，90 岁及以上有 5 人。现从该社区中随机抽取两名老人了解居家养老服务情况，那么这两名老人恰
好都在 80 岁以上（含 80 岁）的概率是：
A.4/33 B.11/45 C.16/45 D.1/3
2
16x15
16
P=80岁以上/总人数= = =4/33
2 45x44
45
【例 2】（2024 联考）中秋节前夕，小赵买了 6 个外观相同的月饼，其中有 3 个是蛋黄馅的。回到家
剩下3个非蛋黄
后，小赵从中任取 3 个月饼，里面恰好有 1 个是蛋黄馅的概率是：
A.9/20 B.1/2 C.3/5 D.11/20 2个非蛋黄(A与非A)
1 2
3x3 9 分子:蛋黄(3个)挑1个 非蛋黄(3个)挑出来2个
3 3
P=满足/总人数= = =
3 6x5x4 20 猜题:AD 选项 A+D=100%
6
（2）反向思维
【例 3】（2024 江苏）小张所在单位共有 4 个科室，现以科室为单位组织文艺演出，每个科室出 2
个节目。演出结束后，因 8 个节目都非常精彩，决定从中随机选 3 个节目参加上级组织的汇演。则
小张所在科室出的节目至少有一个被选送参加汇演的概率是：
A.9/20 B.5/14 C.11/20 D.9/14
共8个节目=科室(2个)+其他科室(6个) 选3个
8x7x6
3
总:
=56
分类思想: 1 2
8 3x2x1
2 1
1-不满足(20/56)=9/14
3
=20
反向 0 3
6
【例 4】（2024 山东）山东手造精品众多，某展览会有叶雕、皮影、风筝、麦秸画、柳编、葫芦
画、锡雕、鲁班枕 8 个展厅。因时间原因，一名参观者决定从 8 个展厅中随机选取 3个进行参观。
问叶雕和皮影展厅至少一个被选中的概率是多少
A.5/14 B.5/28 C.9/14 D.19/28
共8个展厅=叶皮(2个)+其他(6个) 选3个
8x7x6
3
总:
=56
分类思想: 1 2
8 3x2x1
2 1
1-不满足(20/56)=9/14
反向 0 3 3 =20
6
2、给概率求概率
小红书
哇卡哇咔
(....且......, 先.....后.....)
第49/56页注：残次品概率：赋值总量，求每个等级数量，再求每个等级残次品数量。
【例 5】（2024 天津事业单位）小王同时参加了 A、B、C、D 四个不相关的公司的面试，其中通过 A
公司面试的概率为 40%，通过 C 公司面试的概率为 60%，通过 B 和 D 公司面试的概率都为 50%，那
么小王至少通过一家公司面试并且没有通过 B 公司面试的概率为（）。
小红书
A.6% B.44% C.56% D.94%
哇卡哇咔
ACD 至少一家公司面试通过 且B 通过面试
P1=1- 40%x60%x50% P2=1-50%=50%
=1-12% =88% 分步讨论:P1xP2=50%x88%=44%
【例 6】（2023 联考）如果 3 个学生一起报名，且 3 个学生都通过科目一考试，那么就可以减免 1 个
学生的报名费。他们 3 人不能通过科目一考试的概率分别为 1/2、 1/3、 1/4，则减免 1 个学生报名费资
格的概率为：
A.3/4 B.2/3 C.1/3 D.1/4
1x2x3 1
=
2x3x4 4
【例 7】（2021 四川）甲、乙、丙、丁四个车间生产相同的产品，生产效率之比为 4：3：2：1，产
品不合格率分别为 2%、3%、4%、5%。质检人员从这 4 个车间某小时内生产的所有产品中随机抽
取 1 件，发现该产品不合格，该产品是乙车间生产的概率为：
A.30% B.40% C.50% D.60%
合格率:给比例,问比例 赋值1000
总量:1000 甲 乙 丙 丁
9
400 300 200 100
=30%
8+9+8+5
不合格: 8 9 8 5
小红书
3、跟屁虫问题
哇卡哇咔
(不)跟屁虫问题：
当考察只是两个人在一起（一排）求概率时：先放一个，再放另一个 问法->特殊概率
【例 8】（2018 国考）某单位的会议室有 5 排共 40 个座位，每排座位数相同。小张和小李随机入
座，则他们坐在同一排的概率：
A.不高于 15% B.高于 15%但低于 20% C.正好为 20% D.高于 20%
求两个主体在同一排/列/同一辆车的概率:先放一个,再放另一个
先放一个(任意数) P1=40/40=1 放另一个为7/39
【例 9】（2021 联考）两个大人带四个孩子去坐只有六个位置的圆型旋转木马，那么两个大人不相
邻的概率为：
A.2/5 B.3/5 C.1/3 D.2/3
相邻的概率:2/5 不相邻的概率:3/5
【例 10】（2021 江苏）某市举办足球邀请赛，共有 9 个球队报名参加，其中包含上届比赛的前 3
名球队。现将这 9 个球队通过抽签的方式平均分成 3 组进行单循环比赛，则上届比赛的前 3 名球队
被分在同一组的概率是：
A.1/21 B.1/28 C.1/63 D.1/84
三人同一组: 第一个人:P1=9/9=1 第二个人:P2=2/8
第三个人:P3=1/7 相乘得:1/28
第50/56页4、比赛类概率
小红书
哇卡哇咔
【例 11】（2020 重庆选调）乒乓球比赛的规则是五局三胜制，甲、乙两球员的胜率分别为60%和
40%，在一次比赛中，若甲先连胜了前面两局，则甲最后获胜的概率是：
A.60% B.在 81%~85%之间 C.在 86%~90%之间 D.在 91%以上
一 二 三 四 五
反向: 三 四 五
已发生 ✓ 0.6=60%
0.4x0.4x0.4=6.4%
× ✓ 0.4x0.6=24%
1-6.4%=93.6%
× × ✓ 40%x40%x60%=9.6% 总共93.6% 在91%以上
【例 12】（2024 四川）甲和乙进行乒乓球比赛。第一局甲胜乙的概率为 70%。往后每局如甲上局
取胜，则当局甲的胜率为 50%；如乙上局取胜，则当局甲的胜率为 70%。问第三局甲取胜的概率在
以下哪个范围内？
A.不到 55% B.在 55%-57%之间 C.在 57%-59%之间 D.高于 59%
70%x50%x50%=17.5%
70%x50%x70%=24.5%
30%x70%x50%=10.5%
30%x30%x70%=6.3%
5、抓阄密码类
等可能性概率问题
方法：每次概率相同另一个 小红书
哇卡哇咔
猜题思维: 分母很规整,很少乱七八糟的数
【例 13】（2020 山东）在 ATM 机上输入银行卡密码时，若连续三次输入错误则会吞卡，老李忘了
银行卡密码的末两位数，只记得是两个不相同的奇数，若他在末两位上随意输入两个不同奇数，能在
吞卡前猜中正确密码的概率是：
A.3/20 B.1/5 C.1/9 D.2/9
原理:1. 奇数:1 3 45 7 9
等可能性 三次机会, 共3/20
2
2. 总情况数:
=5x4=20 第一次中:1/20 第二次:1/20 第三次:1/20
5
【例 14】（2021 浙江）小李有一张银行卡，他忘记了密码的后 3 位，只记得这 3 个数全是奇数且
有 2 个相同。问他尝试不超过两次就输入正确密码的概率为多少？
A.1/30 B.1/50 C.9/59 D.2/57
奇数:1 3 5 7
2
两个数: 从5个数字中挑2个
=10
5
1
相同: 哪个数
=2
2
2
=3 总:10x2x3=60 不超过两次输入密码概率:2/60=1/30
3
第51/56页6、骰子问题
小红书
骰子概率，6×6 枚举记心间 哇卡哇咔
【例 15】（2023 联考）抛掷两颗质地均匀的骰子，记录向上的面出现的数字，那么这两个数字之和
等于 8 的概率是：
A.5/36 B.1/6 C.1/12 D.5/24
共36个数字,两数之和为8的有5个,概率 为5/36
第52/56页第十六章 数量易拿分小题型
小红书
哇卡哇咔
1、标 1 法
题型识别：给定几何图，规定方向或者最短路径，到目的地有多少种走法
方法: 标1,路口加和
【例 1】（2012 江苏）小张从华兴园到软件公司上班要经过多条街道（软件公司在华兴园的东北
方）。假如他只能向东或者向北行走，则他上班不同走法共有：
10
A. 12 种 B. 15 种 C. 20 种 D. 10 种 1 4
1 3 6
1
标1,路口加和 总共10种走法 2 3
【例 2】（2015 黑龙江公检法）从 A 地到 B 地的道路如图所示，所有转弯均为直角，问如果
要以最短距离从 A 地到达 B 地，有多少种不同的走法可以选择？
4 15
6 11
A.14 B.15 C.18 D.21 3
5
2 3
最短距离: 不走回头,向正东,向北走
1 2
标1法,路口进行加和
1 1 1
【例 3】（2021 广东选调）小明参加迷宫游戏，迷宫设在圆形区域内（布局如下图所示），游
戏规定只能向正东或正南方向行走，那么小明从迷宫入口到出口共有（ ）种走法。
A.2 B.4 C.6 D.8
1 1
1 2 2
向正东,向南走
1 3
1 1
标1法,路口进行加和 4
【例 4】（2023 山西）甲乙两地间的纵横道路网如下图所示，若从甲地到乙地沿道路铺设电缆，要
使铺设的电缆长度最短，则电缆经过丙地的概率为：
1
A.11/15 B.12/53 C.11/36 D.16/53 3 2 2 1
1
6 6 6 3 3
1 1
最短:不走回头路,向南向西 满足情况:甲->丙->乙
22 16 10 4
1 4 4 4 4 1
总情况:甲->乙 53 31 15 5 1 16 12 8 4
2、空瓶换酒公式
M N x
根据公式得: 12/3=4 4个汽水瓶换1个空瓶和1瓶装的汽水
【例 5】（2006 国考）如果 4 个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水，现有 15 个矿泉水空瓶，不交
钱最多可以喝矿泉水：
A. 3 瓶 B. 4 瓶 C. 5 瓶 D. 6 瓶
根据公式: 15/3=5
第53/56页【例 6】（2019 山东）某啤酒厂为促销啤酒，开展 6 个空啤酒瓶换 1 瓶啤酒的活动，孙先生去年花钱先
后买了 109 瓶该品牌啤酒，期间不断用空啤酒瓶去换啤酒，请问孙先生去年一共喝掉了多少瓶啤酒？
A.127 B.128 C.129 D.130
问一共喝掉多少瓶酒
花钱买了109瓶, 换了109/5=21.8(喝掉21瓶) 共喝掉109+21=130瓶
【例 7】（2019 青海法检）某超市为了增加收入，开展“8 个空啤酒瓶换 1 瓶啤酒”的促销活动，老李
在活动期间共购买了 127 瓶啤酒，期间老李不断用空啤酒瓶去换啤酒，请问老李在活动期间一共喝掉
了多少瓶啤酒？
A. 140 B. 142 C. 143 D. 145
买了127 换的有127/7=18(喝掉18瓶)
总共喝掉:127+18=145
3、货物集中---统筹运输问题
典型特征:货物集中到哪,成本最低
解题思路：不看长度,只比重量;偏向思维,轻的流向重的 (划线->求和->轻到重)
【例 8】（2020 联考）某电商平台每隔 5 千米有一座仓库，共有 A、B、C、D 四座仓库，图
中数字表示各仓库库存货物的吨数。现需要把所有的货物集中存放在其中某一个仓库中，如
果每吨货物运输 1 千米需要运费 3 元，要使运费最少，则需将货物集中到哪座仓库？
A.仓库 A B.仓库 B C.仓库 C D.仓库 D
左侧AB为30 右侧CD为40 偏向右侧
左侧 ABC 为45 右侧D为25 货物集中到仓库 C
【例 9】（2018 联考）在一条公路上每隔 10 里有一个集散地，共有 5 个集散地，其中一号集散地有
旅客 10 人，三号集散地有 25 人，五号集散地有 45 人，其余两个集散地没有人。如果把所有人集中
到一个集散地，那么，所有旅客所走的总里数最少是：
二号 三号 四号 五号
一号
A. 1100 B. 900 C. 800 D. 700
10人 x 40 = 400
10人 20人 45人
25人 x 20 = 500 共900人
3、线切面问题
识别：用直线切割一个有限平面，后一条直线与此前每条直线都要产生新的交点，第1条直线将平面分成
2块，第2条直线将平面分成4块，第3条直线将平面分成7块.....
重点记直线数为4后面的,5线16面.....
【例 10】（2016 吉林）用直线切割一个有限平面，后一条直线与此前每条直线都要产生新的交点，
第 1 条直线将平面分成 2 块，第 2 条直线将平面分成 4 块，第 3 条直线将平面分成 7块，按此规律
将平面分为 46 块需：
A. 7 条直线 B. 8 条直线 C. 9 条直线 D. 10 条直线
根据上面的线和面的关系: 9条直线数->46个面
第54/56页【例 11】（2020 联考）一条直线将一个平面分成 2 个部分，两条直线最多将一个平面分成 4个部
分，……则 6 条直线最多将一个平面分成的部分为：
A. 20 B. 21 C. 22 D. 23
根据公式:5条16面,6条22面
5、时间统筹：见缝插针
【例 12】（2023 北京）小王去医院看病，上午要看 3 个科室的门诊（已提前完成了挂号取号）。以
下是当天小王在医院发生的所有诊疗相关活动和相应的时间（单位：分钟）。已知同一科室靠左的项
目完成后才能进行靠右的项目且每个项目只进行 1 次，等待化验结果时可以进行其他科室的项目，且
多个科室的交费环节或多个科室的取药环节可以合并一次完成。则小王完成所有诊疗活动最少需要多
少分钟？
A.74 B.63 C.54 D.46
科室1: 同一科室靠左项目完成后靠右进行
5+3+10+20(科室2,3开药10+10)+3+5=46
【例 13】（2019 上海）为了缩短就医时间，小张打算在医院网站登录挂号，再以平均 40 公里/小时
的速度驱车前往看病，四家医院到小张家的距离和目前排队人数如下：为了尽早就医，小张应该选择
（）医院。（不考虑小张去医院期间新增病人
去医院的路上,医院依旧在排队
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
6、爬楼问题
小红书
思维误区：从 1 楼爬到 N 楼，实际爬了 N-1 楼，休息了 N-2 次
哇卡哇咔
【例 14】（2021 联考）送奶工人给 11 楼住户送牛奶，由于小区停电导致电梯无法使用。如果他走
楼梯从第 1 层到第 2 层需要 5 秒，以后每多走一层需多花 2 秒，其中走到 5 层以后每多走一层需多
休息 5 秒，那么他走到 11 层需要多少秒？
A.210 B.215 C.220 D.235
爬10层 a1=5 d=2 a10=a1+9d=23
S10=28/2x10=14
休息: 5次 a1=5 d=5 a5=25 S5=75 总共为140+75=215
7、网状图
方法：找最短,生活思维
【例 15】（2018 江苏）燃气公司欲在某新建楼盘内铺设天然气管道连通所有住宅楼，楼与楼之间可
铺设管道的路线如图所示，圆圈表示各住宅楼，线段及线上数字表示路线及其长度（单位：百米），则
铺设的管道最短长度是：
A. 1800 米 B. 1850 米 C. 1950 米 D. 2000 米
A-F 共6栋住宅楼,管道数量最少为5条
选择 FA, AC,CE,CD,BD 均连通且所用长度最短: 3+4+3+2.5+6=18.8
18.5 x 100 = 1850米
第55/56页【例 16】（2017 四川下）小王从 A 地开车去往 B 地，右图是一张道路示意图，每段路上的数字表示两
地之间的距离（单位：千米）。如果汽车百公里油耗量为 10 升，油价 6.5 元/升，问小王从 A 地去往 B
地至少要消耗价值多少元的燃油？
A.9.5 B.10.4 C.12.3 D.13.1
油费少->路程短 A->b->o->e-B
共:1+5+6+4=16米 10升/100km x 6.5 x 1.6 = 10.4
8、脑筋急转弯——天平问题
考法：
（1）天平称重: 如何称?
（2）天平找假币
根据天平找假币的固定结论,使用 n次天平最多可判3的 n次幂个球
小秘密：3 (正确率99.9%)
【例 17】（2012 浙江）有一架天平，只有 5 克和 30 克的砝码各一个。现在要用这架天平把300 克味精
平均分成 3 份，那么至少需要称多少次？
A. 3 次 B. 4 次 C. 5 次 D. 6 次 答案是3
(1) 30码+300味精=330=165味精+165味精 (165拆成30和135)
(2) 5码+30码=35码=35 味精 (135拆成35和100)
(1) 30码+30码=35味精
(3) 称100--100 剩下的为100 (2) 35味精+30码=65味精
(3) 相加为100味精--10味精 剩下为100味精
【例 18】（2014 河北）一架天平，只有 5 克和 30 克的砝码各一个，要将 300 克的食盐平均
分成三份，最少需要用天平称几次？
A. 6 次 B. 5 次 C. 4 次 D. 3 次
同上题
【例 19】（2017 联考）体育彩票 22 选 5 中使用的 22 个彩球除编号不同外，其余完全一样。由于生产
过程疏忽，22 个彩球中有一个球的重量略重于其他球。现需用天平将该球找出。那么，在最优方案下，
最多需要使用天平：
A. 3 次 B. 4 次 C. 5 次 D. 6 次
最少: 方法一: 93)
第56/56页
