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2011 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子
集共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
2．（5分）复数 =（ ）
A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i
3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（
）
A．y=2x3 B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=2﹣|x|
4．（5分）椭圆 =1的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 N 是 6，那么输出的 p 是
（ ）
A．120 B．720 C．1440 D．5040
第1页 | 共6页6．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同
学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直
线y=2x上，则cos2θ=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
8．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧
视图可以为（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于
A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（ ）
A．18 B．24 C．36 D．48
10．（5 分）在下列区间中，函数 f（x）=ex+4x﹣3 的零点所在的区间为
（ ）
A．（ ， ） B．（﹣ ，0） C．（0， ） D．（ ， ）
11．（5分）设函数，则f（x）=sin（2x+ ）+cos（2x+ ），则（ ）
A．y=f（x）在（0， ）单调递增，其图象关于直线x= 对称
B．y=f（x）在（0， ）单调递增，其图象关于直线x= 对称
C．y=f（x）在（0， ）单调递减，其图象关于直线x= 对称
第2页 | 共6页D．y=f（x）在（0， ）单调递减，其图象关于直线x= 对称
12．（5分）已知函数y=f（x）的周期为2，当x [﹣1，1]时 f（x）=x2，那么
函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点
∈
共有（ ）
A．10个 B．9个 C．8个 D．1个
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量 + 与向量k
﹣ 垂直，则k= ．
14．（5分）若变量x，y满足约束条件 ，则z=x+2y的最小值为
．
15．（5分）△ABC中，∠B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为 ．
16．（5分）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在
同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的 ，则这两个圆锥中，体
积较小者的高与体积较大者的高的比值为 ．
三、解答题（共8小题，满分70分）
17．（12分）已知等比数列{a }中，a = ，公比q= ．
n 1
（Ⅰ）S 为{a }的前n项和，证明：S =
n n n
（Ⅱ）设b =log a +log a +…+log a ，求数列{b }的通项公式．
n 3 1 3 2 3 n n
18．（12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形．
∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
第3页 | 共6页（Ⅰ）证明：PA⊥BD
（Ⅱ）设PD=AD=1，求棱锥D﹣PBC的高．
19．（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量
越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分
别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件
产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数 8 20 42 22 8
B配方的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数 4 12 42 32 10
（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的
关系式为y=
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列
及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质
量指标值落入相应组的概率）
第4页 | 共6页20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在
圆C上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
21．（12分）已知函数f（x）= + ，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的
切线方程为x+2y﹣3=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞ ．
22．（10分）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶
点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣
14x+mn=0的两个根．
第5页 | 共6页（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；
（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．
23．在直角坐标系 xOy中，曲线 C 的参数方程为 （α为参数）M
1
是C 上的动点，P点满足 =2 ，P点的轨迹为曲线C
1 2
（Ⅰ）求C 的方程；
2
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 θ= 与C 的异
1
于极点的交点为A，与C 的异于极点的交点为B，求|AB|．
2
24．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．
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