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2011 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
参考公式：（1） ，其中 为两个事件，且 ，
（2）柱体体积公式 ，其中 为底面面积， 为高。
（3）球的体积公式 ，其中 为求的半径。
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）（2011•湖南）若a，b R，i为虚数单位，且（a+i）i=b+i则（ ）
A a=1，b=1 B a=﹣1，b=1 C a=﹣1，b=﹣1 D a=1，b=﹣1
． ． ∈ ． ．
2．（5分）（2011•湖南）设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N M”的（ ）
A 充分不必要条 B 必要不充分条
． 件 ． 件 ⊆
C 充分必要条件 D 既不充分又不
． ． 必要条件
3．（5分）（2011•湖南）设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A 9π+42 B 36π+18 C D
． ． ． ．
4．（5分）（2011•湖南）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到
如下的列联表：
男 女 总计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
第1页 | 共6页由 算得，
．
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A 在犯错误的概
． 率不超过0.1%
的前提下，认
为“爱好该项
运动与性别有
关”
B 在犯错误的概
． 率不超过0.1%
的前提下，认
为“爱好该项
运动与性别无
关”
C 有99%以上的
． 把握认为“爱
好该项运动与
性别有关”
D 有99%以上的
． 把握认为“爱
好该项运动与
性别无关”
5．（5分）（2011•湖南）设双曲线 的渐近线方程为3x±2y=0，则a
的值为（ ）
A 4 B 3 C 2 D 1
． ． ． ．
6．（5分）（2011•湖南）由直线 与曲线y=cosx所围成的封闭图形
的面积为（ ）
A B 1 C D
． ． ． ．
7．（5分）（2011•湖南）设m＞1，在约束条件 下，目标函数Z=X+my的最大值
小于2，则m 的取值范围为（ ）
第2页 | 共6页A （1， ） B （ ， C （1，3） D （3，+∞）
． ． +∞） ． ．
8．（5分）（2011•湖南）设直线x=t 与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点
M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（ ）
A 1 B C D
． ． ． ．
二、填空题（共8小题，每小题5分，满分35分）
9．（5分）（2011•湖南）在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为 （α
1
为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴
正半轴为极轴）中，曲线C 的方程为p（cosθ﹣sinθ）+1=0，则C 与C 的交点个数为
2 1 2
_________ ．
10．（5分）（2011•湖南）设x，y R，且xy≠0，则 的最小值
∈
为 ________ _ ．
11．（2011•湖南）如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足
为D，BE与AD相交与点F，则AF的长为 ________ _ ．
12．（5分）（2011•湖南）设S 是等差数列{a }（n N*）的前n项和，且a =1，a =7，则
n n 1 4
S = ________ _ ．
9
∈
13．（5分）（2011•湖南）若执行如图所示的框图，输入x =1， ，
1
则输出的数等于 ________ _ ．
第3页 | 共6页14．（5分）（2011•湖南）在边长为1的正三角形ABC中，设 ， 则
= ________ _ ．
15．（5分）（2011•湖南）如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将
一颗豆子随机地扔到该院内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件
“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则
（1）P（A）= ________ _ ； （2）P（B|A）= ________ _ ．
16．（5分）（2011•湖南）对于n N+，将n 表示n=a ×2k+a ×2k﹣1+a ×2k﹣2+…+a
0 1 2 k﹣
×21+a ×20，当i=0时，a=1，当1≤i≤k时，a 为0或1．记I（n）为上述表示中a 为0的个
1 k i 1 i
∈
数（例如：1=1×20，4=1×22+0×21+0×20，故I（1）=0，I（4）=2），则
（1）I（12）= ________ _ ；（2） = ________ _ ．
三、解答题（共6小题，满分75分）
17．（12分）（2011•湖南）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
csinA=acosC．
（1）求角C的大小；
（2）求 sinA﹣cos （B+ ）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小．
18．（12分）（2011•湖南）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量（件） 0 1 2 3
频数 1 5 9 5
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，
当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，
将频率视为概率．
（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；
（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．
19．（12分）（2011•湖南）如图，在圆锥PO中，已知PO= ，⊙O的直径AB=2，C是
的中点，D为AC的中点．
（Ⅰ）证明：平面POD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．
第4页 | 共6页20．（13分）（2011•湖南）如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作
匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c R）．E移动时单位时
间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值
∈
与|v﹣c|×S成正比，比例系数为 ；（2）其它面的淋雨量之和，其值为 ，记y为E移动
过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S= 时．
（Ⅰ）写出y的表达式
（Ⅱ）设0＜v≤10，0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最
少．
21．（13分）（2011•湖南）如图，椭圆C ： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，x轴
1
被曲线C ：y=x2﹣b截得的线段长等于C 的长半轴长．
2 1
（Ⅰ）求C ，C 的方程；
1 2
（Ⅱ）设C 与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C 相交于点A、B，直线MA，
2 2
MB分别与C 相交与D，E．
1
（i）证明：MD⊥ME；
（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S ，S ．问：是否存在直线l，使得 = ？请说
1 2
明理由．
22．（13分）（2011•湖南）已知函数f（x）=x3，g （x）=x+ ．
（Ⅰ）求函数h （x）=f（x）﹣g （x）的零点个数．并说明理由；
（Ⅱ）设数列{ a }（n N*）满足a =a（a＞0），f（a ）=g（a ），证明：存在常数M，
n 1 n+1 n
使得对于任意的n N*，都有a ≤M．
n
∈
∈
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