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数学试题参考答案及评分标准
第1页
共12页
2025 年深圳市高三年级第一次调研考试
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
C
B
C
B
D
命题说明：
1．说明：本题改编自人教A 版必修第一册10 页例1．
2．说明：本题改编自人教A 版必修第二册71 页例2．
3．说明：本题改编自人教A 版必修第二册60 页第8 题．
4．说明：本题改编自人教A 版必须第一册229 页第9 题．
5．说明：本题改编自2024 年新高考全国Ⅱ卷第6 题．
6．说明：本题改编自人教A 版选择性必修第一册129 页第13 题．
7．说明：本题改编自2024 年新高考全国Ⅰ卷第13 题．
8．说明：本题改编自人教A 版必修第二册119 页例4．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。
命题说明：
9．说明：本题改编自人教A 版选择性必修第三册112 页思考．
10．说明：本题改编自人教A 版必修第一册250 页阅读与思考．
11．说明：本题改编自人教A 版选择性必修第一册116 页第11 题．
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．240
13．6
14．14
命题说明：
12．说明：本题改编自人教A 版选择性必修第三册35 页第6 题．
13．说明：本题改编自人教A 版选择性必修第二册31 页第3 题．
14．说明：本题改编自《趣味数学100 题》．
题号
9
10
11
答案
ABD
AC
AD
数学试题参考答案及评分标准
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四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
在
ABC
△
中，角
, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，
2
2
2
c
a
b
ab
，cos2
sin
B
C
．
（1）求B ；
（2）若
1
b ，求
ABC
△
的面积．
【命题说明】本题改编自2024 年新高考全国Ⅰ卷第15 题.
【参考答案】
（1）由余弦定理推论
2
2
2
cos
2
a
b
c
C
ab
及
2
2
2
c
a
b
ab
得
……………………………1 分
1
cos
2
C
，…………………………………………………………………………………………2 分
由于
(0,π)
C
，……………………………………………………………………………………3 分
则
π
3
C
，…………………………………………………………………………………………4 分
又因为
3
cos2
sin
2
B
C
，且
2π
(0,
)
3
B
，……………………………………………………5 分
所以
π
2
6
B
，则
π
12
B
．…………………………………………………………………………6 分
（2）解法1 由（1）可知
7π
12
A
，………………………………………………………………7 分
且
π
π
π
6
2
sin
sin
sin(
)
12
4
6
4
B
，………………………………………………………8 分
7π
π
π
6
2
sin
sin
sin(
)
12
4
3
4
A
，…………………………………………………………9 分
由正弦定理：sin
sin
sin
a
b
c
A
B
C
，……………………………………………………………10 分
得
sin
sin
2
3
sin
sin
b
A
A
a
B
B
，…………………………………………………………………11 分
所以
1
1
3
3
2 3
sin
(2
3 )
2
2
2
4
S
ab
C
．……………………………………………13 分
解法2 由（1）
π
2
A
B
，………………………………………………………………………7 分
所以sin
cos
B
A
，………………………………………………………………………………8 分
由正弦定理：
sin
sin
sin
a
b
c
A
B
C
，………………………………………………………………9 分
得
sin
sin
π
π
tan
tan(
)
2
3
sin
sin
4
3
b
A
A
a
A
B
B
，………………………………………11 分
1
1
3
3
2 3
sin
(2
3 )
2
2
2
4
S
ab
C
．…………………………………………………13 分
解法3 如图，过点A 作AD
AC
交BC 于D ，…………………………………………………7 分
由于
7π
12
A
，则
π
12
DAB
B
，……………………………………………………………8 分
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所以
3
AD
DB
，
2
CD
，…………………………………………………………………10 分
2
3
a
，………………………………………………………………………………………11 分
所以
1
1
3
3
2 3
sin
( 2
3 )
2
2
2
4
S
ab
C
．……………………………………………13 分
16．（15 分）
如图，在直三棱柱
1 1
1
ABC
A B C
中，
2 3
AB
AC
，
120
BAC
，D 为
1
AA 的中点，E 为
1
BC
的中点．
（1）证明：DE 平面
1
1
B BCC ；
（2）若
1
6
BB
，求直线
1A B 与平面
1
DBC 所成角的正弦值．
【命题说明】本题改编自2023 年新高考全国Ⅰ卷第18 题.
【参考答案】
（1）取BC 中点M ，连接AM ，ME ，…………………………………………………………1 分
因为AB
AC
，所以AM
BC
，…………………………………………………………………2 分
由于点E 为正方形
1
1
B BCC 对角线的交点，E 为
1
BC 的中点，所以EM 为
1
BCC
V
的中位线，
所以
1
//
//
EM
CC
AD ，……………………………………………………………………………………3 分
又
1
1
1
1
=
=
2
2
EM
CC
AA
AD
，所以四边形AMED 为平行四边形，………………………………4 分
又因为
1
AA 平面ABC ，AM 平面ABC ，则
1
AA
AM
，EM
AM
，…………………5 分
由于
,
EM BC 平面
1
1
B BCC ，EM
BC
M
I
，所以AM 平面
1
1
B BCC ，…………………6 分
又因为
//
DE AM ，所以DE 平面
1
1
B BCC ．……………………………………………………7 分
B
C
1
C
E
1
B
D
A
1A
A
C
B
D
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（2）解法1 由（1）可知：MA ，MC ，ME 两两垂直，如图，以M 为坐标原点，以MC 所在
直线为x轴，MA 所在直线为y 轴，ME 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，……………8 分
在
1
1
1
A B C
V
中，由余弦定理可得：
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
cos
B C
A B
A C
A B
A C
B A C
，
则
1
1
6
B C
，……………………………………………………………………………………………9 分
于是
( 0, 3,3 )
D
，
(
3,0,0 )
B
，
1(
3,0,6)
B
，
1(3,0,6 )
C
，
1( 0, 3,6)
A
，
则
1
( 3, 3,6 )
BA
uuur
，……………………………………………………………………………………11 分
设
( , , )
n
x y z
r
平面
1
DBC ，
(3, 3,3)
BD
uuur
，
1
(6,0,6)
BC
uuur
，………………………………12 分
于是
1
0
0
n BD
n BC
r uuur
r uuur
，即3
3
3
0
6
6
0
x
y
z
x
z
，………………………………………………………13 分
令
1
z ，则
( 1,0,1)
n
r
，…………………………………………………………………………14 分
设直线
1A B 与平面
1
DBC 所成角为，
那么
1
1
1
3
6
sin
cos
,
8
4 3
2
BA n
BA n
BA
n
uuur r
uuur r
uuur
r
，
即直线
1A B 与平面
1
DBC 所成角的正弦值为
6
8 .……………………………………………………15 分
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解法2 在
1
1
1
A B C
V
中，由余弦定理可得：
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
cos
B C
A B
AC
A B
AC
B AC
，
则
1
1
6
B C
，……………………………………………………………………………………………8 分
如图，连接
1B E ，由（1），DE 平面
1
1
B BCC ，
1
BC 平面
1
1
B BCC ，则
1
DE
BC
，………9 分
又因为
1
1
1
BB
B C
，四边形
1
1
B BCC 为正方形，E 为
1
BC 的中点，
1
1
B E
BC
，……………10 分
由于
1
B E
DE
E
I
，
1B E ，DE 平面
1B DE ，则
1
BC 平面
1B DE ，………………………11 分
如图，记
1
1
A B
B D
N
I
，过点N 作NH
DE
，连接BH ，由于
1
BC 平面
1B DE ，NH 平面
1B DE ，
则
1
NH
BC
，又因为
1
DE
BC
E
I
，
1
,
DE BC 平面
1
DBC ，则NH 平面
1
DBC ，…………12 分
所以
NBH
即为直线
1A B 与平面
1
DBC 所成角，由于
1
1
A DN
BB N
V
:
，
则
1
1
2
B N
BN
ND
A N
，………………………………………………………………………………13 分
由于
1
DE
B E
，则H 为DE 的三等分点，则
1
1
2
3
NH
B E
，
8
8 3
3
3
NB
，
于是
6
sin
8
NH
NAH
NB
，……………………………………………………………………14 分
即直线
1A B 与平面
1
DBC 所成角的正弦值为
6
8 . ……………………………………………15 分
解法3 设直线
1A B 与平面
1
DBC 所成角为，点
1A 到平面
1
DBC 的距离为h ，
则
1
sin
|
|
h
A B
，…………………………………………………………………………………………8 分
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在
1
1
Rt
A B B
△
中，
1 1
2 3
A B
，
1
6
BB
，则
1
4 3
A B
，………………………………………9 分
过B 作BQ
CA
交CA 的延长线于Q ，易得
3
BQ
，…………………………………………10 分
且易证BQ 平面
1
1
A ACC ，………………………………………………………………………11 分
由于
1
1
1
3
2 3
3 3
2
A DC
S
△
，则
1
1
1
3 3
3
3 3
3
B A DC
V
，……………………………13 分
在
1
DBC
△
中，
1
21
DB
DC
，且
1
6 2
BC
，
1
1
6 2
3
3 6
2
DBC
S
△
，…………14 分
又
1
1
1
1
3 3
A
BDC
B A DC
V
V
，则
3 3
6
h
，
3 3
1
6
sin
8
6
4 3
.…………………………15 分
17．（15 分）
甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为
( 0
1)
p
p
，输的概率为1
p
，
每局比赛的结果是独立的．
（1）当
2
3
p
时，求甲最终获胜的概率；
（2）为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案. 方案一：最终获胜者得3分，失败者得2
分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0 分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望
更大．
【命题说明】本题改编自2024 年新高考全国Ⅱ卷第18 题.
【参考答案】
（1）记“甲最终以2 :1 获胜”为事件A ，记“甲最终以2 : 0 获胜”为事件B ，
“甲最终获胜”为事件C ，……………………………………………………………………………1 分
于是C
A
B
U
，A 与B 为互斥事件，……………………………………………………………2 分
由于
1
2
8
(
)
1
27
P A
C
p p
p
，………………………………………………………………3 分
2
4
(
)
9
P B
p
，……………………………………………………………………………………4 分
则
2
3
20
(
)
(
)
(
)
3
2
27
P C
P A
P B
p
p
，……………………………………………………5 分
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即甲最终获胜的概率为20
27
. ………………………………………………………………………6 分
（2）由（1）可知，
2
3
(
)
(
)
(
)
3
2
P C
P A
P B
p
p
，………………………………………7 分
若选用方案一，记甲最终获得积分为X 分，则X 可取3，2
，………………………………8 分
2
3
(
3)
(
)
3
2
P X
P C
p
p ，
2
3
(
2) 1 3
2
P X
p
p
，…………………………………9 分
则X 的分布列为：
X
3
2
p
2
3
3
2
p
p
2
3
1 3
2
p
p
则
2
3
2
3
3
2
(
)
9
6
2
6
4
10
15
2
E X
p
p
p
p
p
p
，……………………………………10 分
若选用方案二，记甲最终获得积分为Y分，则Y 可取1，0 ，…………………………………11 分
2
3
(
1)
(
)
3
2
P Y
P C
p
p
2
3
(
0)
1 3
2
P Y
p
p
，………………………………………12 分
则Y的分布列为：
Y
1
0
p
2
3
3
2
p
p
2
3
1 3
2
p
p
则
2
3
(
)
3
2
E Y
p
p
，……………………………………………………………………………13 分
所以
3
2
2
1
(
)
(
)
8
12
2
4(
)
2
2
1
2
E
X
E Y
p
p
p
p
p
，
由于0
1
p
，则
2
2
2
1
2 (
1)
1
0
p
p
p p
，……………………………………………14 分
【14 分段：设
3
2
( )
8
12
2
f
p
p
p
，0
1
p
，利用
2
'( )
24
24
24 (
1)
0
f
p
p
p
p p
，
则
( )
f p 在(0,1) 上单调递增，且
1
( )
0
2
f
.】
于是
1
2
p
时，两种方案都可以选，
当
1
0
2
p
时，
(
)
(
)
E X
E Y
，应该选第二种方案，
当1
1
2
p
时，
(
)
(
)
E X
E Y
，应该选第一种方案.…………………………………………15 分
18．（17 分）
已知抛物线
2
2
y
x
，过点
(2,0)
N
作两条直线1
2
,
l l 分别交抛物线于
,
A B 和
,
C D（其中
,
A C 在x 轴
上方）．
（1）当1l 垂直于x 轴，且四边形ACBD 的面积为4 5 ，求直线2l 的方程；
（2）当1
2
,
l l 倾斜角互补时，直线AC 与直线BD 交于点M ，求
MAB
△
的内切圆的圆心横坐标的
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取值范围．
【命题说明】本题改编自2014 年全国大纲卷第21 题.
【参考答案】
解：（1）解法1 当1l
x
轴，令
2
x
，则(2,2)
A
，
( 2, 2)
B
，|
| 4
AB
，…………………1 分
设直线2 :
2
l
y
kx
k
，
1
1
(
,
)
C x
y
，
2
2
(
,
)
D x
y
，由于
1
2
1
4 |
|
4 5
2
S
x
x
，
则
1
2
|
| 2 5
x
x
，………………………………………………………………………………………2 分
由于
2
2
2
y
kx
k
y
x
，则
2
2
2
2
( 4
2)
4
0
k x
k
x
k
，则
1
2
2
1
2
2
4
4
x
x
k
x x
，……………………3 分
2
2
1
2
2
2
(
)
( 4
)
16
20
x
x
k
，…………………………………………………………………4 分
则
2
2
4
6
k
，则
1
k ，…………………………………………………………………………5 分
所以直线
2l 的方程为
2
0
x
y
或
2
0
x
y
.………………………………………………6 分
解法2 设2 :
2
l
x
ty
，倾斜角为，由对称性知2l 有两条，且关于1l 对称，………………1 分
不妨设
π
0
2
，那么
π
2
ANC
，
0
t
，
则
1
4 |
|
cos
4 5
2
S
CD
，则|
| cos
2 5
CD
，………………………………………………2 分
由于
2
2
2
2
4
0
2
y
x
y
ty
x
ty
，则
1
2
1
2
2
4
y
y
t
y
y
，……………………………………………3 分
则
2
2
2
1
2
1
1
4
16
CD
t
y
y
t
t
，
2
2
1
cos
1
1
1
t
t
t
，……………………4 分
2
|
| cos
2
4
2 5
CD
t t
，
2
2
(
1 )
5
0
t
t
，…………………………………………5 分
则
1
t
，
2
x
y
由对称性，另一条直线：
2
x
y
，
所以直线
2l 的方程为
2
0
x
y
或
2
0
x
y
.………………………………………………6 分
（2）解法1 设点
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，
3
3
(
,
)
C x
y
，
4
4
(
,
)
D x
y
，
因为
2
1
2
1
1
2
2
AB
y
y
k
x
x
y
y
，同理：
3
4
2
CD
k
y
y
，
1
3
2
AC
k
y
y
，
2
4
2
BD
k
y
y
，…………7 分
所以
1
1
2
1
2
:
(
)
AB y
y
x
x
y
y
，
1
2
1
2
: (
)
2
AB
y
y
y
y y
x
，
3
4
3
4
: (
)
2
CD
y
y
y
y y
x
，
1
3
1
3
: (
)
2
AC
y
y
y
y y
x
，
2
4
2
4
: (
)
2
BD
y
y
y
y y
x
，……………………………………………8 分
又因为
AB
CD
k
k
，直线AB 和直线CD 交于点
(2,0)
N
，
所以
1
2
3
4
2
2
y
y
y
y
，且
1
2
3
4
4
y y
y y
，即
1
2
3
4
1
2
3
4
4
(
)
y y
y y
y
y
y
y
，……………………9 分
1
3
1
3
4
4
y
y
y
y
，且
1
3
y
y
，化简得：
1
3
4
y y
，于是
3
2
y
y
，
4
1
y
y
，……………10 分
数学试题参考答案及评分标准
第9页
共12页
则
1
1
1
1
4
(
)
2
4
4
(
)
2
4
y
y
x
y
y
y
x
y
，解得
2
0
x
y
，所以点
(
2,0 )
M
，………………………………11 分
由于
4
1
y
y
，则
4
1
x
x
，所以
4
1
4
1
2
2
MD
MA
y
y
k
k
x
x
，则x 轴平分
AMB
，…………12 分
设
MAB
V
的内切圆圆心
( ,0 )
Q n
，
2
2
n
，则Q 到MA 的距离
2
1
1
2
4
4
4
(
)
n
r
y
y
，
点Q 到AB 的距离
2
1
1
4
2
4
4
(
)
n
r
y
y
，于是
2
2
1
1
1
1
4
2
4
2
4
4
4
(
)
4
(
)
n
n
y
y
y
y
，………13 分
所以
2
2
1
1
2
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
4
16
4
(
)
(
)
12
2
16
1
4
16
16
2
4
(
)
(
)
4
(
)
4
y
y
y
y
n
n
y
y
y
y
y
y
，………………………14 分
由于
2
1
2
1
16
8
y
y
，当且仅当
2
1
4
y
取等号（舍），……………………………………………15 分
则
2
1
5
2
n
n
，…………………………………………………………………………………16 分
则0
3
5
n
，
( 0,3
5 )
n
. ………………………………………………………………17 分
【14
17
:
分段：
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
4
4
16
16
4
(
)
4
(
)
12
(
)
4
(
)
8
8
y
y
y
y
y
y
y
y
n
，
令
2
1
2
1
16
8
z
y
y
，当且仅当
1
2
y 取等号（舍），
则
2
(
12
4
)
8
z
z
n
，设
12
4
f z
z
z
，
8
z
，
1
1
4
12
'
0
2 12
2
4
2 12
4
z
z
f
z
z
z
z
z
，
则
f z 在( 8,
)
单调递减，0
(8)
3
5
n
f
，
( 0,3
5 )
n
.】
解法2 点
( 2,0)
M
证明同解法1；………………………………………………………………11 分
设MAB
V
的内切圆圆心
( ,0 )
Q n
，2
2
n
，
设定点
( 2,0 )
N
，由于
2
MQ
n
，
2
NQ
n
，设半径为r ，……………………………12 分
设
AMQ
，
ANQ
，于是
2
1
sin
2
1
AM
r
n
t
，
数学试题参考答案及评分标准
第10页
共12页
2
1
sin(
)
sin
2
1
AB
r
n
t
，………………………………………………………………13 分
那么
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
(
2 )
6
4
2
2
(
2 )
2
4
1
MA
AB
t
y
x
x
x
n
n
y
x
x
x
t
，………………………………………14 分
设
2
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
6
4
8
8
1
1
1,
0
4
2
4
2
4
2
x
x
x
f x
x
x
x
x
x
x
x
，……………………………15 分
由于
1
1
4
4
x
x
，当且仅当
1
2
x
取等号（舍），则
2
1
5
2
n
n
，…………………………16 分
则0
3
5
n
，则
( 0,3
5 )
n
.……………………………………………………………17 分
【13
14
:
分段：在
AMN
V
中，由角平分线定理：
AMQ
ANQ
S
MQ
AM
S
NQ
AN
V
V
，则
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
1
1
2
2
(
2 )
6
4
2
2
2
4
(
2 )
x
y
x
x
n
n
x
x
x
y
.】
19．（17 分）
已知无穷数列{
}
na
满足，
1a ，
2a 为正整数，
1
2
|
|
n
n
n
a
a
a
，
*
nN .
（1）若
1
1
a ，
3
2
a
，求
4a ；
（2）证明：“存在
*
N
k
，使得
0
ka
”是“
n
a
是周期为3的数列”的必要不充分条件；
（3）若
1
2
a
a
，是否存在数列{
}
na
，使得
2025
na
恒成立？若存在，求出一组
1
2
,
a a 的值；若
不存在，请说明理由．
【命题说明】本题改编自2006 年北京卷第20 题
【参考答案】
解：（1）因为
1
2
|
|
n
n
n
a
a
a
对任意
*
n
成立;
令
1
n
得
1
2
3
1
|
|
a
a
a
，所以
2
1 |
2|
a
，则
2
1
a 或3，……………………………………1 分
若
2
1
a ，由
2
3
4
|
|
a
a
a
，则
4
1 | 2
|
a
，则
4
1
a 或3，………………………………………2 分
数学试题参考答案及评分标准
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共12页
若
2
3
a
，由
2
3
4
|
|
a
a
a
，则
4
3 | 2
|
a
，则
4
1
a 或5 ，…………………………………3 分
因为
4
5
6
|
| 0
a
a
a
，综上所述：
4
1
a 或3或5 ．……………………………………………4 分
（2）①记
1
2
,
a
x a
y
必要性：若
n
a
是周期为3的周期数列，
3
1
2
a
a
a 或
2
1
a
a ，……………………………5 分
当
3
1
2
a
a
a 时，数列
n
a
前5 项为：, ,
, ,
x y x
y x y ，
由
3
4
5
|
|
a
a
a
得
|
|
x
y
x
y ，该式当且仅当
0
x
或
0
y
时成立，
与
1
2
,
a a 为正整数矛盾；…………………………………………………………………………………6 分
当
3
2
1
a
a
a 时，数列
n
a
前5 项为：, ,
, ,
x y y
x x y ，
由
2
3
4
|
|
a
a
a
得
|
2 |
y
y
x ，则
2
y
x
y 或
2
y
y
x (舍，此时
0
x
)，
因此
x
y ，
3
0
a
，此时数列
n
a
：, ,0, , ,0, , ,0,L
x x
x x
x x
，存在
*
k N ，使得
0
ka
，………7 分
另一方面：取数列
n
a
：1,1,0,1,1,2,3,5,L其中当
3
n
时，
2
1
n
n
n
a
a
a ，
此时数列
n
a
不是周期数列，…………………………………………………………………………8 分
综上，“存在
*
k
，使得
0
ka
”是“
n
a
是周期为3 的周期数列”的必要不充分条
件．………………………………………………………………………………………………………9 分
（3）不存在，理由如下：
1
2
|
|
n
n
n
a
a
a
等价于
1
2
1
( )
(
)
或
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
，…………………………………………………10 分
首先说明不存在
*
k
，使得
0
ka
，否则由
2
1
|
|
k
k
k
a
a
a
得
2
1
k
k
a
a
记为w ，
所以
3
2
1
|
| 0
k
k
k
a
a
a
，
4
3
2
|
|
k
k
k
a
a
a
w ，
5
4
3
|
|
k
k
k
a
a
a
w ，
依此类推得前k 项为
, ,0, , ,0, , ,0(
)
L
第项
w
w w
w w
k
，则
1
2
,
a a 要么相等，要么有一项为0 ，矛盾，
因此
1
n
a
对任意
*
n
成立，………………………………………………………………………11 分
其次，不存在
*
k
，使得
2
1
k
k
k
a
a
a 以及
3
2
1
k
k
k
a
a
a
同时成立，否则两式相加得
3
k
k
a
a ，矛盾．……………………………………………………………………………………12 分
数学试题参考答案及评分标准
第12页
共12页
（i）若( )
式只对有限个正整数n 才成立，不妨设当且仅当
1
2
{
,
,
,
}
L
k
n
p
p
p
时( )
式成立，
其中
1
2
L
k
p
p
p ，则当
1
k
n
p
时，(
)
式恒成立，此时
2
1
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
恒成立，
由此易知当
1
k
n
p
，
n
k
a
n
p ，因此数列
n
a
是无界数列，…………………………………13 分
（ii）若存在无限个正整数n 使得( )
式成立，不妨设当且仅当
1
2
{ , ,
,
,
}
L
L
k
n
i i
i
时( )
式成立，
其中1
2
L
L
k
i
i
i
，考虑
1
mia
与
mia
，为方便书写记且
mi
p ，
1
mi
p
j ，
2
j
，则
1
2
p
p
p
a
a
a
，
1
1
p
p
p
a
a
a
，
若
2
j
，则
1
1
1
1
1
p
j
p
p
p
p
a
a
a
a
a
，
若
2
j
，则
2
1
p
p
p
a
a
a ，L ，
1
2
3
p
j
p
j
p
j
a
a
a
，
1
2
p
j
p
j
p
j
a
a
a
，
则
1
2
1
L
p
p
p
j
p
j
a
a
a
a
，
此时
1
2
2
1
1
1
1
2
p
j
p
j
p
j
p
j
p
p
a
a
a
a
a
a
，…………………………………………15 分
无论哪种情况总有
1
1
1
p
j
p
a
a
成立，即
1 1
1
1
m
m
i
i
a
a
恒成立，………………………16 分
记
1
k
k
i
b
a
，则
1
1
k
k
b
b
恒成立，由此易得数列
n
a
是无界数列，所以，存在
*
nN 使得
2025
na
，故不存在符合题意的
1
2
,
a a ．……………………………………………………………17 分
QQ 资料群简介
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真题卷
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物理资料（少量，偶尔更新）
英语资料（少量，偶尔更新）
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