文档内容
2021 年西藏中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的，不选、错选或多选均不得分．
1. ﹣10的绝对值是（ ）
A. B. ﹣ C. 10 D. ﹣10
【答案】C
【解析】
【分析】任何一个数的绝对值均为非负数，0的绝对值为0，负数的绝对值为正数.
【详解】因为-10为负数，故-10的绝对值为10，本题选C.
【点睛】绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，本题主要考查绝对值的定义.
2. 2020年12月3日．中共中央政治局常务委员会召开会议，听取脱贫攻坚总结评估汇报．
中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话．指出经过8年持续奋斗，我们如期完成
了新时代脱贫攻坚目标任务，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，贫困县全部摘帽，消除
了绝对贫困和区域性整体贫困，近1亿贫困人口实现脱贫，取得了令全世界刮目相看的重
大胜利．将100000000用科学记数法表示为（ ）
A. 0.1×108 B. 1×107 C. 1×108 D. 10×108
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值
时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：100000000＝1.0×108，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要定a的值以及n的值．
3. 如图是由五个相同的小正方体组成的几何体，其主视图为（ ）
A. B. C. D.【答案】C
【解析】
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的右边是两个小正方形．
故选：C．
【点睛】此题考查三视图中主视图：在平面内由前向后观察物体得到的视图叫做主视图．
4. 数据3，4，6，6，5的中位数是（ ）
A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数就是中位数．
【详解】解：将这组数据从小到大排列为3，4，5，6，6，处在中间位置的一个数是5，因
此中位数是5，
故选：B．
【点睛】此题考查数据中的中位数知识，注意从小到大排列是关键．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. （a2b）3＝a6b3 B. a2＋a＝a3 C. a3•a4＝a12 D. a6÷a3
＝a2
【答案】A
【解析】
【分析】分别根据积的乘方运算法则，合并同类项法则，同底数幂的乘法法则以及同底数
幂的除法法则逐一判断即可．
【详解】解：A．（a2b）3＝a6b3，故本选项符合题意；
B．a2与a不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C．a3•a4＝a7，故本选项不合题意；
D．a6÷a3＝a3，故本选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握积的乘方运算法则，合并同类项法则，同底
数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则是解题的关键．
6. 把一块等腰直角三角板和一把直尺按如图所示的位置构成，若∠1＝25°，则∠2的度数
为（ ）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°【答案】B
【解析】
【分析】利用平行线的性质求出∠3可得结论．
【详解】解：如图，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝25°，
∵∠2＋∠3＝45°，
∴∠2＝45°﹣∠3＝20°，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是利用平行
线的性质求出∠3．
7. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．点E、F分别是AB，AO的中点，
且AC＝8，则EF的长度为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据矩形的性质可得AC＝BD＝8，BO＝DO＝ BD＝4，再根据三角形中位线定
理可得EF＝ BO＝2．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝8，BO＝DO＝ BD，
∴BO＝DO＝ BD＝4，
∵点E、F是AB，AO的中点，∴EF是△AOB的中位线，
∴EF＝ BO＝2，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质和三角形中位线定理，难度不大，关键熟练掌握知识点，
并灵活运用．
8. 如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交⨀O于点A，连接AC，则∠OAC的
度数为（ ）
A. 40° B. 55° C. 70° D. 110°
【答案】B
【解析】
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠D＝140°，根据垂径定理得到
∠COA ，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接OB，OC，
∵∠D＝70°，
∴∠BOC＝2∠D＝140°，
∵OA⊥BC，
∴∠COA ，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA （180°﹣70°）＝55°，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
9. 已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积
为（ ）
A. 6 B. 10 C. 12 D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】利用因式分解法求出已知方程的解确定出菱形两条对角线长，进而求出菱形面积
即可．
【详解】解：方程x2﹣10x＋24＝0，
分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
可得x﹣4＝0或x﹣6＝0，
解得：x＝4或x＝6，
∴菱形两对角线长为4和6，
则这个菱形的面积为 ×4×6＝12．
故选：C．
【点睛】此题考查了求解一元二次方程和菱形的面积公式，难度一般．
10. 将抛物线y＝（x﹣1）2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的
抛物线的解析式为（ ）
A. y＝x2﹣8x＋22 B. y＝x2﹣8x＋14 C. y＝x2＋4x＋10 D. y＝x2＋
4x＋2
【答案】D
【解析】
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线y＝（x﹣1）2＋2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y＝
（x﹣1＋3）2＋2，即y＝（x＋2）2＋2；
再向下平移4个单位为：y＝（x＋2）2＋2﹣4，即y＝（x＋2）2﹣2＝x2＋4x＋2．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答
此题的关键．
11. 如图．在平面直角坐标系中，△AOB的面积为 ，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线
y＝ 相交于点C，且BC∶OC＝1∶2，则k的值为（ ）A. ﹣3 B. ﹣ C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】过 C 作 CD⊥x 轴于 D，可得△DOC∽△AOB，根据相似三角形 的性质求出
S ，由反比例函数系数k的几何意义即可求得k．
△DOC
【详解】解：过C作CD⊥x轴于D，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵BA⊥x轴，
∴CD∥AB，
∴△DOC∽△AOB，
∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝ ，
∵S ＝ ，
△AOB
∴S ＝ S ＝ × ＝ ，
△DOC △AOB
∵双曲线y＝ 在第二象限，∴k＝﹣2× ＝﹣3，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的性质和判定，根据
相似三角形的性质和判定求出S 是解决问题的关键．
△DOC
12. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，点
M在线段AB上，当AM＝ AB时，PB＋PM的最小值为（ ）
A. 3 B. 2 C. 2 ＋2 D. 3 ＋
3
【答案】B
【解析】
【分析】作B点关于AC 的对称点B'，连接B'M交AC于点P，则PB＋PM的最小值为B'M
的长，过点B'作B'H⊥AB交H点，在Rt△BB'H中，B'H＝3 ，HB＝3，可求MH＝1，在
Rt△MHB'中，B'M＝2 ，所以PB＋PM的最小值为2 ．
【详解】解：作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，
∴BP＝B'P，BC＝B'C，
∴PB＋PM＝B'P＋PM≥B'M，
∴PB＋PM的最小值为B'M的长，
过点B'作B'H⊥AB交H点，
∵∠A＝30°，∠C＝90°，
∴∠CBA＝60°，
∵AB＝6，∴BC＝3，
∴BB'＝BC＋B'C＝6，
在Rt△BB'H中，∠B'BH＝60°，
∴∠BB'H＝30°，
∴BH＝3，
由勾股定理可得： ，
∴AH＝AB－BH＝3，
∵AM＝ AB，
∴AM＝2，
∴MH＝AH－AM＝1，
在Rt△MHB'中， ，
∴PB＋PM的最小值为2 ，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，涉及到解直角三角形，解题的关键是做辅助线，
找出PB＋PM的最小值为B'M的长．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．请在每小题的空格中填
上正确答案．错填、不填均不得分．
13. 若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______．
【答案】x≥ .
【解析】
【详解】试题分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
试题解析：由题意得，2x﹣1≥0，
解得x≥ ．
考点：二次根式有意义的条件．
14. 计算：（π﹣3）0＋（﹣ ）﹣2﹣4sin30°＝___．
【答案】3
【解析】
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化
简得出答案．【详解】解：原式＝1＋4﹣4×
＝1＋4﹣2
＝3．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质，
正确化简各数是解题关键．
15. 若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°．
【答案】120．
【解析】
【详解】试题分析：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2=4π（cm），设圆心角的度数是n度．
则 =4π，解得：n=120．故答案为120．
考点：圆锥的计算．
16. 若关于x的分式方程 ﹣1＝ 无解，则m＝___．
【答案】2
【解析】
【分析】去分母，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根时无解求m的值．
【详解】解： ﹣1＝ ，
方程两边同时乘以x﹣1，得2x﹣（x﹣1）＝m，
去括号，得2x﹣x＋1＝m，
移项、合并同类项，得x＝m﹣1，
∵方程无解，
∴x＝1，
∴m﹣1＝1，
∴m＝2，
故答案为2．
【点睛】本题考查分式方程无解计算，解题时需注意，分式方程无解要根据方程的特点进
行判断，既要考虑分式方程有增根的情况，又要考虑整式方程无解的情况.
17. 如图．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4.按以下步骤作图：（1）以点B为圆心，适
当长为半径画弧，分别交线段BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BM长为半径画
弧，交线段CB于点D；（3）以点D为圆心，MN长为半径画弧，与第2步中所面的弧相
交于点E；（4）过点E画射线CE，与AB相交于点F．当AF＝3时，BC的长是
_______________．【答案】4
【解析】
【分析】利用基本作图得到∠FCB＝∠B，则FC＝FB，再利用勾股定理计算出CF＝5，则
AB＝8，然后利用勾股定理可计算出BC的长．
【详解】解：由作法得∠FCB＝∠B，
∴FC＝FB，
在Rt△ACF中，
∵∠A＝90°，AC＝4，AF＝3，
∴CF＝ ＝5，
∴BF＝5，
∴AB＝AF＋BF＝8，
在Rt△ABC中，BC＝ ＝ ＝4 ．
故答案为4 ．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，
结合几何图形的基本性质作图，逐步操作即可．
18. 按一定规律排列的一列数依次为 ， ， ， ， ，…，按此规律排列下去，
这列数中的第n个数是___________________．
【答案】 （n是偶数）， （n是奇数）
【解析】
【分析】观察一列数可得 ， ， ， ，
，…，按此规律排列下去，即可得这列数中的第n个数．
【详解】解：观察一列数可知： ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ，＝ ，…，
按此规律排列下去，
这列数中的第n个数是： （n是偶数）， （n是奇数），
故答案为： （n是偶数）， （n是奇数）．
【点睛】此题考查规律总结，根据已知数据找出规律用代数式表示即可．
三、解答题：本大题共9小题，共66分，解答应写出女字说明、证明过程或演
步骤．
19. 解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】﹣1＜x≤2，解集在数轴上的表示见解析．
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间
找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式2x＋3＞1，得：x＞﹣1，
解不等式 ≤ ，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
将不等式组 的解集表示在数轴上如下：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的基本
步骤，并理解同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解
集．
20. 先化简，再求值： • ﹣（ ＋1），其中a＝10．
【答案】 ， ．
【解析】
【分析】根据分式的乘法和加减法可以化简题目中的式子，然后将 a的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解： • ﹣（ ＋1）
＝ ﹣
＝
＝
＝ ，
当a＝10时，原式＝ ＝ ．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式四则运算的基本步
骤，还要注意分子分母为多项式时，能因式分解，要先因式分解．
21. 如图，AB∥DE，B，C，D三点在同一条直线上，∠A＝90°，EC⊥BD，且AB＝CD．
求证：AC＝CE．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】由平行线的性质得出∠B＝∠D，再由垂直的定义得到∠DCE＝90°＝∠A，即可
根据ASA证明△ABC≌△CDE，最后根据全等三角形的性质即可得解．
【详解】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠D，
∵EC⊥BD，∠A＝90°，
∴∠DCE＝90°＝∠A，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA），∴AC＝CE．
【点睛】此题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，根据证明△ABC≌△CDE
是解题的关键．
22. 列方程（组）解应用题
为振兴农村经济，某县决定购买A，B两种药材幼苗发给农民栽种，已知购买2棵A种药材
幼苗和3棵B种药材幼苗共需41元．购买8棵A种药材幼苗和9棵B种药材幼苗共需137
元．问每棵A种药材幼苗和每棵B种药材幼苗的价格分别是多少元？
【答案】每棵A种药材幼苗的价格是7元，每棵B种药材幼苗的价格是9元．
【解析】
【分析】设每棵A种药材幼苗的价格是x元，每棵B种药材幼苗的价格是y元，根据“购
买2棵A种药材幼苗和3棵B种药材幼苗共需41元．购买8棵A种药材幼苗和9棵B种药
材幼苗共需137元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设每棵A种药材幼苗的价格是x元，每棵B种药材幼苗的价格是y元，
依题意得： ，
解得： ，
答：每棵A种药材幼苗的价格是7元，每棵B种药材幼苗的价格是9元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
23. 为铸牢中华民族共同体意识，不断巩固民族大团结，红星中学即将举办庆祝建党100周
年“中华民族一家亲，同心共筑中国梦”主题活动．学校拟定了演讲比赛、文艺汇演、书
画展览、知识竞赛四种活动方案，为了解学生对活动方案的喜爱情况，学校随机抽取了
200名学生进行调查（每人只能选择一种方案），将调结果绘制成如下两幅不完整的统计
图，请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题．
（1）在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为 ，在扇形统计图中，m的值
为 ．
（2）根据本次调查结果，估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有多少人？（3）现从喜爱“知识竞赛”的四名同学a、b、c、d中，任选两名同学参加学校知识竞赛，
请用树状图或列表法求出a同学参加的概率．
【答案】（1）40人，30；（2）800人；（3） ．
【解析】
【分析】（1）总人数乘以A对应的百分比即可求出其人数，再根据四种方案的人数之和等
于总人数求出C方案人数，再用C方案人数除以总人数即可得出m的值；
（2）总人数乘以样本中B方案人数所占比例；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：（1）在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为200×20%＝40
（人），
则选择“书画展览”的人数为200﹣(40＋80＋20)＝60（人），
∴在扇形统计图中，m%＝ ×100%＝30%，即m＝30，
故答案为：40人，30；
（2）估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有2000× ＝800（人）；
（3）列表如下：
a b c d
a (b，a) (c，a) (d，a)
b (a，b) (c，b) (d，b)
c (a，c) (b，c) (d，c)
d (a，d) (b，d) (c，d)
由表可知，共有12种等可能结果，其中a同学参加 的有6种结果，
所以a同学参加的概率为 ＝ ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果
n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概
率．也考查了统计图．
24. 已知第一象限点P(x，y)在直线y＝﹣x＋5上，点A的坐标为(4，0)，设△AOP的面积
为S．（1）当点P的横坐标为2时，求△AOP的面积；
（2）当S＝4时，求点P的坐标；
（3）求S关于x的函数解析式，写出x的取值范围，并在图中画出函数S的图象．
【答案】（1）6；（2）(3，2)；（3）S＝﹣2x＋10（0＜x＜5），图见解析．
【解析】
【分析】（1）求出点P坐标，再根据三角形面积公式进行计算即可；
（2）当S＝4时求出点P的纵坐标，进而确定其横坐标；
（3）根据三角形的面积计算方法以及一次函数关系式得出答案．
【详解】解：（1）把点P的横坐标为2代入得，y＝﹣2＋5＝3，
∴点P（2，3），
∵点A的坐标为（4，0），
∴ ，
∴S ＝ ×4×3＝6；
△AOP
（2）当S＝4时，即 ×4×y＝4，
∴y＝2，
当y＝2时，即2＝﹣x＋5，
解得x＝3，
∴点P（3，2）；
（3）由题意得，
S＝ OA•y＝2y＝2（﹣x＋5）＝﹣2x＋10，
当y＞0时，即0＜x＜5时，S＝2（﹣x＋5）＝﹣2x＋10，
∴S关于x的函数解析式为S＝﹣2x＋10（0＜x＜5），画出的图象如图所示．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，将坐标
转化为线段的长，利用三角形的面积公式得出关系式是解决问题的关键．
25. 如图，为了测量某建筑物CD的高度，在地面上取A，B两点，使A、B、D三点在同一
条直线上，拉姆同学在点A处测得该建筑物顶部C的仰角为30°，小明同学在点B处测得
该建筑物顶部C的仰角为45°，且AB＝10m．求建筑物CD的高度．（拉姆和小明同学的
身高忽略不计．结果精确到0.1m， ≈1.732）
【答案】约为13.7m．
【解析】
【分析】连接AC、BC，由锐角三角函数定义求出BD＝CD，AD＝ CD，再由AB＝AD
﹣BD，即可求解．
【详解】解：连接AC、BC，如图所示：
由题意得：∠A＝30°，∠DBC＝45°，AB＝10m，在Rt△BDC中，tan∠DBC＝ ＝tan45°＝1，
∴BD＝CD，
在Rt△ACD中，tan∠DAC＝ ＝tan30°＝ ，
∴AD＝ CD，
∴AB＝AD﹣BD＝ CD﹣CD＝10（m），
解得：CD＝5 ＋5≈13.7（m），
答：建筑物CD的高度约为13.7m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，
求出BD＝CD，AD＝ CD是解答本题的关键．
26. 如图，AB是⊙O的直径，OC是半径，延长OC至点D．连接AD，AC，BC．使∠CAD
＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，tan∠CAD＝ ，求BC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据AB是⊙O的直径得出∠B＋∠BAC＝90°，等量代换得到∠CAD＋
∠BAC＝90°，即∠BAD＝90°，AD⊥OA，即可判定AD是⊙O的切线；
（2）过点D作DM⊥AD交AC的延长线于点M，根据锐角三角函数定义求出DM＝2，由
等边对等角得出∠OAC＝∠OCA，由平行线的性质得出∠M＝∠OAC，再根据对顶角相等
得出∠DCM＝∠M，即得DC＝DM＝2，根据勾股定理求出OA＝3，AB＝6，最后根据勾股
定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°，
∵∠CAD＝∠B，∴∠CAD＋∠BAC＝90°，
即∠BAD＝90°，
∴AD⊥OA，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：过点D作DM⊥AD交AC的延长线于点M，
∵tan∠CAD＝ ＝ ，AD＝4，
∴DM＝2，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AD⊥OA，DM⊥AD，
∴OA∥DM，
∴∠M＝∠OAC，
∵∠OCA＝∠DCM，
∴∠DCM＝∠M，
∴DC＝DM＝2，
在Rt△OAD中，OA2＋AD2＝OD2，
即OA2＋42＝（OC＋2）2＝（OA＋2）2，
∴OA＝3，
∴AB＝6，
∵∠CAD＝∠B，tan∠CAD＝ ，
∴tanB＝tan∠CAD＝ ＝ ，
∴BC＝2AC，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，
∴62＝5AC2，
∴AC＝ ，
∴BC＝ ．【点睛】此题考查了切线的判定与性质、解直角三角形，熟记切线的判定与性质及锐角三
角函数定义时解题的关键．
27. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点
C．且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）．
（1）求该抛物线 的解析式；
（2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大
时，求点P的坐标；
（3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M
使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存
在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2＋4x＋5；（2）P（ ， ）；（3）存在，M的坐标为：（3，
8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）．
【解析】
【分析】（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x2＋bx＋c，即可得抛
物线的解析式为y＝﹣x2＋4x＋5；
（2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，由y＝﹣x2＋4x＋5可得B
（5，0），故OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形，可证明△PHQ是等腰直角三角形，即
知PH＝ ，当PQ最大时，PH最大，设直线BC解析式为y＝kx＋5，将B（5，0）代入
得直线BC解析式为y＝﹣x＋5，设P（m，﹣m2＋4m＋5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣
m＋5），PQ＝﹣（m﹣ ）2＋ ，故当m＝ 时，PH最大，即点P到直线BC的距离
最大，此时P（ ， ）；（3）抛物线y＝﹣x2＋4x＋5对称轴为直线x＝2，设M（s，﹣s2＋4s＋5），N（2，t），
而B（5，0），C（0，5），①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，可列方程
组 ，即可解得M（3，8），②以MB、NC为对角线，则MB、NC
的中点重合，同理可得 ，解得M（﹣3，﹣16），③以MC、NB
为对角线，则MC、NB中点重合，则 ，解得M（7，﹣16）．
【详解】解：（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x2＋bx＋c得：
，解得 ，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋4x＋5；
（2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，如图：
在y＝﹣x2＋4x＋5中，令y＝0得﹣x2＋4x＋5＝0，
解得x＝5或x＝﹣1，
∴B（5，0），
∴OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形，
∴∠CBO＝45°，
∵PD⊥x轴，
∴∠BQD＝45°＝∠PQH，
∴△PHQ是等腰直角三角形，
∴PH＝ ，∴当PQ最大时，PH最大，
设直线BC解析式为y＝kx＋5，将B（5，0）代入得0＝5k＋5，
∴k＝﹣1，
∴直线BC解析式为y＝﹣x＋5，
设P（m，﹣m2＋4m＋5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣m＋5），
∴PQ＝（﹣m2＋4m＋5）﹣（﹣m＋5）＝﹣m2＋5m＝﹣（m﹣ ）2＋ ，
∵a＝﹣1＜0，
∴当m＝ 时，PQ最大为 ，
∴m＝ 时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（ ， ）；
（3）存在，理由如下：
抛物线y＝﹣x2＋4x＋5对称轴为直线x＝2，
设M（s，﹣s2＋4s＋5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），
①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，如图：
∴ ，解得 ，
∴M（3，8），
②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中点重合，如图：∴ ，解得 ，
∴M（﹣3，﹣16），
③以MC、NB为对角线，则MC、NB中点重合，如图：
，解得 ，∴M（7，﹣16）；
综上所述，M的坐标为：（3，8）或（﹣3，﹣16）或（7，﹣16）．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、等腰
直角三角形、平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相
关线段的长度．
