25届天津市南开区高三一模数学试卷答案_2025年4月_250406天津市南开区2024-2025学年度第二学期高三年级质量监测（一）（全科）

2024−2025 学年度第二学期高三年级质量监测（一）参考答案 数学学科 一、选择题：（本题共 9小题，每题 5分，共 45 分） 题 号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 答 案 A B D C C B A D C 二、填空题：（本题共 6小题，每题 5分，共 30 分） 2 5 （10）−2； （11）−80； （12） ； 5 2 14 1 21 6 （13） ， ； （14） AC− AB ， ； （15）4 66 −32a ． 3 27 3 7 5 三、解答题：（其他正确解法请比照给分） （16）解：（Ⅰ）因为 sinB=2sinC，由正弦定理可知b=2c， ………………1 分 b2 +c2 −a2 1 4c2 +c2 −24 1 由余弦定理可得 cosA= =− ，即 =− ， …………3分 2bc 4 4c2 4 解得 c=2，故 b=4． ………………4 分 1 15 （Ⅱ）由 cosA=− 及A(0，)，得 sinA= ， ………………5分 4 4 a b 2 6 4 由正弦定理 = ，得 = ， ………………7 分 sinA sinB 15 sinB 4 10 解得 sinB= ． ………………8 分 4 10 3 6 （Ⅲ）由（Ⅱ）得 sinC= ，所以 cosC= ． ………………9分 8 8 3 15 11 所以 sin2C=2sinCcosC= ，cos2C=1−2sin2C= ． ………………11 分 16 16 2 2 2 所以 cos(2C− )=cos2C cos +sin2C sin 3 3 3 11  1 3 15 3 9 5 −11 =  − +  = ． ………………14 分   16  2 16 2 32 数学试卷参考答案 第1页（共7页） {#{QQABKYg95ggwghSACA5qAwkEC0sQkIKiJcoEAUAYKAYCwAFABIA=}#}（17）解：取DA 中点O，连结 OC，OP， 因为AC=CD，PA=PD，所以OC⊥AD，OP⊥AD． 又平面 PAD⊥平面ABCD，所以 OP⊥平面 ABCD． …………………1 分 以 O 为坐标原点，OC，OA，OP 所在直线分别为 x，y，z 轴建 立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0， –1，0)，C(2，0，0)，A(0，1，0)． 所以PD =(0，–1，–1)，PC =(2，0，–1)，AP =(0，–1，1)，BA =(–1， 0，0)，PB =(1，1，–1)，CD =(–2，–1，0)． …………………3 分 （Ⅰ）设 n=(x，y，z)为平面PCD的一个法向量，  n  PD=0， −y−z =0 ， 则由 得  n  PC =0，  2x−z =0 ， 令 x=1，则 y=−2，z=2，从而 n=(1，−2，2)． …………………4 分 1 1 1 因为AP=4AM，所以BM = BA + AM = BA + AP = (–1，– ， )． ……5分 4 4 4 因为BM n=0，所以BM ⊥n． …………………6 分 又因为 BM平面PCD， 所以BM∥平面PCD． …………………8分 （Ⅱ）设PB与平面 PCD的夹角为，  |PB n| 3 3 则 sin=|cos|= = = ． …………………11 分 |PB||n| 33 3 （Ⅲ）显然，平面ABC 的一个法向量为OP =(0，0，1)， …………………12分 设平面 PCD 与平面ABC夹角为， 数学试卷参考答案 第2页（共7页） {#{QQABKYg95ggwghSACA5qAwkEC0sQkIKiJcoEAUAYKAYCwAFABIA=}#} |n OP| 2 2 则 cos= = = ． …………………15分 |n||OP| 31 3 （18）解：（Ⅰ）设 E的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0 且mn）， n=1 ， 1  将(0，− 1)，( 3， )两点代入得  1 2 3m+ n=1 ，   4 1 解得m= ，n=1， 4 x2 故 E的方程为 + y2 =1． …………………4 分 4 （Ⅱ）依题意，设直线 l：x=ty−4，A(x ，y )，B(x ，y )， 1 1 2 2  x=ty−4 ， 联立 消去 x整理得 (t2 + 4)y2 − 8ty + 12 = 0， …………………5 分 x2 +4y2 =4 ， 则=(−8t)2−48(t2+4)＞0，即 t2＞12， …………………6分 8t 12 且 y + y = ， y y = ． …………………7 分 1 2 t2 +4 1 2 t2 +4 y −1 y −1 直线AC： y−1= 1 (x+1)，直线BC： y−1= 2 (x+1)， x +1 x +1 1 2  y −1   y −1  令 x = 0，则M0 ， 1 +1 ，N0 ， 2 +1 ， x +1 x +1  1   2   x +1   x +1  令 y = 0，P− 1 −1 ， 0 ，Q− 2 −1 ， 0 ， y −1 y −1  1   2  由 3S =S 得 3|y −y |=|x −x |， △CMN △CPQ M N P Q y −1 y −1 x +1 x +1 即3 1 − 2 = 1 − 2 ， …………………11 分 x +1 x +1 y −1 y −1 1 2 1 2 数学试卷参考答案 第3页（共7页） {#{QQABKYg95ggwghSACA5qAwkEC0sQkIKiJcoEAUAYKAYCwAFABIA=}#}(t −3)(y − y ) (t −3)(y − y ) 整理得3 1 2 = 1 2 ， t2y y −3t(y + y )+9 y y −(y + y )+1 1 2 1 2 1 2 1 2 因为 t2＞12，所以3t2 −36=3(t2 −8t+16)， 7 解得t = ， 2 2 所以直线 l的斜率为 ． …………………15分 7 （19）解：（Ⅰ）设等差数列{a }的公差为 d， n 依题意，S =3a +3d =9，即 a =3−d，① 3 1 1 (a +3)2=(a −1)a ，即(a +d+3)2=(a +2d −1)(a +4d)，② 2 3 5 1 1 1 将①代入②得 d2+3d −10=0，因为d＞0， 解得 d=2，a =1， …………………2 分 1 所以 a =2n−1，S =n2． …………………4 分 n n （Ⅱ）（ⅰ）令 a 2m ≤2n − 1＜2a m+1，即 4m − 1≤2n − 1＜22m+1， 1 解得 2m≤n＜22m+ ， 2 所以 b =22m −2m +1，即{b }的通项公式为 b =4n−2n +1． …………………5分 m n n 4(1−4n) n(1+2n−1) 4(4n −1) 所以T = − = −n2． …………………6分 n 1−4 2 3 4(4n −1) 又 S =n2，所以T +S = ． n n n 3 4(4n −1) 由 T +S = ＜2025，得 4n+1＜6079， n n 3 因为 46=4096＜6079，47=16384＞6079， 所以 n的最大值为 5． …………………8 分 数学试卷参考答案 第4页（共7页） {#{QQABKYg95ggwghSACA5qAwkEC0sQkIKiJcoEAUAYKAYCwAFABIA=}#}3 (4n−1)(4n+3) （ⅱ）由（ⅰ）知c =  ， …………………9分 n 4 4n −1 n+1 n n 21 则 c −  c =c 0，所以 c ≥c = ． …………………10分 i i n+1 i 1 4 i=1 i=1 i=1 5 9 13 4n−3 4n+1 设 M = + + +⋯+ + ，………① n 41 42 43 4n−1 4n 1 5 9 13 4n−3 4n+1 则 M = + + +⋯+ + ，………② n 4 42 43 44 4n 4n+1 3 5 4 4 4 4 4n+1 ①−②得 M = + + + +⋯+ − n 4 41 42 43 44 4n 4n+1 1 1− 1 4n 4n+1 19 12n+19 = + − = − 4 1 4n+1 12 34n+1 1− 4 19 12n+19 所以 M = − ． …………………13分 n 9 94n 3 (4n−1)(4n+3) 3 4n+1 3 4n+1 3 4n+1 4n+1 因为c =    =  ≤  = ， n 4 4n −1 4 4n −1 4 44n−1 −1 4 34n−1 4n …………………14分 n 19 12n+19 19 所以 c ＜M = − ＜ ． …………………15分 i n 9 94n 9 i=1 21 n 19 综上， ≤  c  ． i 4 9 i=1 1 （20）解：（Ⅰ）f (x)= −2x +1（x＞0）， x 1 所以切线的斜率为 f (e)= −2e+1， e 又 f(e)=1−e2+e， 1 所以(e，f(e))处的切线方程为 y−(1−e2+e)=( −2e+1)(x−e)， e 数学试卷参考答案 第5页（共7页） {#{QQABKYg95ggwghSACA5qAwkEC0sQkIKiJcoEAUAYKAYCwAFABIA=}#}1 即 y=( −2e+1)x+e2． …………………4分 e 1 (2x+1)(x−1) （Ⅱ）f(x)= −2x +1= − ， x x 当 x(0，1)时，f (x)＞0；当 x(1，+∞)时，f(x)＜0； 所以 f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 所以 f(x) = f(1)=0． max 根据题意 a的取值范围为(0，1]． …………………7分 （Ⅲ）由 f(x)=(m−1)x2+x 得 lnx =mx2（mR）， 若方程 f(x)=(m−1)x2+x有两个不同的实数解 x ，x （x ＜x ）， 1 2 1 2 则有 lnx =mx 2，lnx =mx 2， 1 1 2 2 两式相减得lnx −lnx =m(x 2−x 2)， 2 1 2 1 2(x2 −x2) 1 所以 2 1 = ． lnx2 −lnx2 m 2 1 2(x−1) 1 4 (x−1)2 不妨设 g(x)=lnx− ，x(1，+∞)，则 g(x)= − = ＞0， x+1 x (x+1)2 x(x+1)2 所以 g(x)在(1，+∞)上单调递增，此时 g(x)＞g(1)=0， 2(x−1) 所以 lnx＞ ． x+1  x2  2 2 −1 所以ln x 2 2 ＞   x 1 2   ，即x2 +x2＞ 2(x 2 2 −x 1 2) ， x2 x2 2 1 lnx2 −lnx2 1 2 +1 2 1 x2 1 1 所以x2 +x2＞ ． …………………11 分 2 1 m lnx 由 f(x)=(m−1)x2+x得 =m（mR）有两个不同的实数解 x ，x （x ＜x ）， x2 1 2 1 2 数学试卷参考答案 第6页（共7页） {#{QQABKYg95ggwghSACA5qAwkEC0sQkIKiJcoEAUAYKAYCwAFABIA=}#}lnx 1−2lnx 令(x)= ，(x)= ， x2 x3 1 1 当 0＜x＜e2 时，(x)＞0，(x)单调递增，当 x＞e2 时，(x)＜0，(x)单调递减， 1 1 (e2 )= ，又(1)=0， 2e 1 1 所以 1＜x ＜e2 ＜x ，0＜m＜ ． 1 2 2e 1 1 1 令 t= ，则方程 t2lnt=−m有两个不同的实数解 t = ，t = ． 1 2 x x x 2 1 由（Ⅱ）知 f(x)=lnx−x2+x≤0，则有 t2lnt≥t−1． 设 h(t)=tlnt，t(0，+∞)，则 h(t)=lnt+1， 1 当 0＜t＜ 时，h(t)＜0，h(t)单调递减， e 1 当 t＞ 时，h(t)＞0，h(t)单调递增， e 1 1 1 此时 h(t)≥h( )=− ，即 tlnt≥− ． e e e 1 1 所以 t2lnt≥− t，当且仅当 t= 时，等号成立． e e 1 不妨设直线y=−m与直线y=− t，y =t−1 交点的横坐标分别为 t ，t ， 1 2 e 则 t −t ＜t −t =1−m −em=1−(e+1)m， 2 1 2 1 1 1 所以1+ − ＞(e+1)m． …………………15 分 x x 2 1  1 1  1 所以(x 1 2 + x 2 2) 1+ − ＞ (e + 1)m = e + 1． …………………16 分 x x m  2 1  数学试卷参考答案 第7页（共7页） {#{QQABKYg95ggwghSACA5qAwkEC0sQkIKiJcoEAUAYKAYCwAFABIA=}#}