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上海市崇明区 2025 届高三二模数学试卷
2025.03
一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 不等式 的解为__________．
2. 已知复数 （i为虚数单位），则 __________．
3. 已知全集 ，集合 ，则 __________．
4. 求直线 与直线 的夹角为________.
.
5 已知 ，则 __________．
6. 函数 的最小正周期是 ，则 _______．
7. 某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个数部分作为“叶”，百位数和十
位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数是87，则x的值为_______．
8. 在 中，若 ，其面积 为，则 __________．
9. 若 ，则 _______.
10. 已知 ，若函数 有两个极值点，则实数a的取值范围是__________．
的
11. 已知双曲线 左、右焦点为 ，以O为顶点， 为焦点作抛物线交双曲线于
P，且 ，则 __________．
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学科网（北京）股份有限公司12. 已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数 且 时，称M为“间断整数
集”．集合 的所有子集中，是“间断整数集”的个数为__________．
二、选择题
13. 若 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
.
C D.
14. 已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
15. 抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数），设事件A表示“n次中既有正面朝上又
有反面朝上”，事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”，若事件A与事件B是独立的，则n的值为（
）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
16. 数列 是等差数列，周期数列 满足 ，若集合 ，n是正整数 中恰有
三个元素，则数列 的周期T的取值不可能是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）
17. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形，且 ，
，点 分别为 的中点.
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 平面 ；
的
（2）求点 到平面 距离.
18. 已知 ．
（1）是否存在实数a，使得函数 是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由；
（2）若 且 ，解关于x的不等式 ．
19. 某区2025年3月31日至4月13日的天气预报如图所示．
（1）从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是阵雨的概率；
（2）根据天气预报，该区4月14日的最低气温是9 ，温差是指一段时间内最高温度与最低温度之间的
差值，例如3月31日的最高温度为17 ，最低温度为9 ，当天的温差为8 记4月1日至4日这4天
温差的方差为 ，4月11日至14日这4天温差的方差为 ，若 ，求4月14日天气预报的最高气
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学科网（北京）股份有限公司温；
（3）从3月31日至4月13日中随机抽取两天，用X表示一天温差不高于9 的天数，求X的分布列及期
望．
20. 已知抛物线 ，过点 的直线 与抛物线 交于点 、 ，与 轴交于点 ．
（1）若点 位于第一象限，且点 到抛物线 的焦点的距离等于 ，求点 的坐标；
（2）若点 坐标为 ，且点 恰为线段 的中点，求原点 到直线 的距离；
（3）若抛物线 上存在定点 使得满足题意的点 、 都有 ，求 、 满足的关系式．
21. 已知函数 ，P为坐标平面上一点．若函数 的图像上存在与P不同的一点Q，使得直
线PQ是函数 在点Q处的切线，则称点P具有性质 ．
（1）若 ，判断点 是否具有性质 ，并说明理由；
（2）若 ，证明：线段 上的所有点均具有性质 ；
（3）若 ，证明：“点 具有性质 ”的充要条件是“ ”．
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