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2025 年上海浦东新区二模数学试卷
考生注意：
1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；
2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分．
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接
填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1. 不等式 的解为____________．
2. 已知向量 ，若 ，则 ______．
3. 设圆 方程为 ，则圆 的半径为____________．
4. 若 ，则函数 的最小正周期为____________．
5. 若关于 的方程 的一个虚根的模为 ，则实数 的值为____________．
6. 设数列 为等差数列，其前 项和为 ，已知 ，则 ____________．
7. 在 的展开式中，常数项为__________.
8. 设 为抛物线 上任意一点，若 的最小值为 ，则 的值为____________．
9. 李老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：
5 6 6 7 7 7 8 9 9，但李老师记得这名学生的成绩恰好是本组学生成绩的第25百分位数，则这
10名学生的成绩的方差为____________．
10. 如图，某建筑物 垂直于地面，从地面点 处测得建筑物顶部 的仰角为 ，从地面点 处测得
建筑物顶部 的仰角为 ，已知 相距100米， ，则该建筑物 高度约为
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学科网（北京）股份有限公司__________米．（保留一位小数）
11. 已知 为空间中三个单位向量，且 ，若向量 满足 ， ，
则向量 与向量 夹角的最小值为__________．（用反三角表示）
的
12. 已知数列 ， ，并且前 项 和 满足：
①存在小于 的正整数 ，使得 ；
②对任意的正整数 和 ，都有 ．
则满足以上条件的数列 共有__________个．
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在
答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选
对得5分，否则一律得零分．
13. 已知集合 ，集合 ，全集为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
14. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
15. 研究变量 ， 得到一组成对数据 ，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数
第2页/共5页
学科网（北京）股份有限公司据 ，其中 ， ，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的
是（ ）
A. 变量 与变量 的相关性变强 B. 相关系数 的绝对值变小
C. 线性回归方程 不变 D. 拟合误差 变大
16. 已知圆锥曲线 的对称中心为原点 ，若对于 上的任意一点 ，均存在 上两点 ， ，使得原点
到直线 ， 和 的距离都相等，则称曲线 为“完美曲线”．现有如下两个命题：
①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”．
下列判断正确的是（ ）
A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题
C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规
定区域内写出必要的步骤．
17. 已知函数 的表达式 ．
（1）若函数 是奇函数，求实数 的值；
（2）对任意实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
为
18. 如图，四边形 长方形， 平面 ， ， ．
（1）若 分别是 的中点，求证： ∥平面 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）边 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成的角的大小为 ？若存在，求 长；若
不存在，说明理由．
19. 为测试 、 两款人工智能软件解答数学问题的能力，将 道难度相当的数学试题从 到 编号后
随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下：
软件 软件
试题类别
正确解答 的
测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量
数量
几何试题
函数试题
（1）分别估计 软件、 软件能正确解答数学问题的概率；
（2）小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第 题（假设其难度和测试的 道题基本相同），
但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为 ，是函数题的概率为 ．将频率视为概率，
试通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？
（3）小浦决定采用这两款软件解答 道类似试题，其中几何、函数各 道，每道试题只用其中一款软件解
答一次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那
款软件解决其擅长的题型．用 、 分别表示这 道几何试题与 道函数试题被正确解答的个数，求随
机变量 的数学期望和方差．
20. 已知椭圆 的方程为 ，右顶点为 ，上顶点为 ，椭圆 的中心位于坐标原点，两个
椭圆的离心率相等．
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学科网（北京）股份有限公司（1）若椭圆 的方程是 ，焦点在 轴上，求 的值；
（2）设椭圆 的焦点在 轴上，直线 与 相交于点 、 ，若 ，求 的标准方
程；
（3）设椭圆 的焦点在 轴上，点 在 上，点 在 上．若存在 是等腰直角三角形，且
，求 的长轴的取值范围．
21. 定义域为 的可导函数 满足，在曲线 上存在三个不同的点
，使得直线 与曲线 在点 处的切线平行（或
重合）．若 成等差数列，则称 为“等差函数”；若 成等差数列且 均为整数，
则称 为“整数等差函数”．
（1）设 ， ，分别判断 和 是否为“整数等差函数”，直接写出结论；
（2）若 为“整数等差函数”，求实数 的最小值；
（3）已知 的导函数 在 上为增函数，且存在一个正常数 ， 使得对任意 ，
成立，证明： 为“等差函数”的充要条件是 为常值函数．
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