F数学试题评分参考：全国名校联盟2026届高三开学模拟考_2025年8月_250831福建-全国名校联盟2026届高三联合开学摸底考试（全科）_数学

全国名校联盟 2026 届高三联合开学摸底考试 数学试题评分参考 2025.8 一、单项选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B C C B D C 8．设抛物线C:x2 8y的焦点为F ，A(4,5)，点B在C 上，则△FAB的周长的最小值为 A． 8 B． 10 C． 12 D． 16 解析：过B作C 准线的垂线，设垂足为D，由抛物线的定义可知，|BF||BD|， ∴|BF||BA||BD||BA||AD|7 ， 又|AF|5，∴|BF||BA||AF|7512 ， ∴△FAB的周长的最小值为12. 故选C. 二、多项选择题： 题号 9 10 11 答案 AD BC ACD 11．已知信道内传输0，1数字信号需经历多个节点，且每个节点的信号传输相互独立．当 第i(iN)号节点发送0时，第i1号节点收到1的概率为(01)，收到0的概率 为1；从第i号节点发送1时，第i1号节点收到0的概率为(01)，收到1的 概率为1．设当基站（记为0号节点）依次发送信号1，0时，第n号节点依次接收 到的信号仍是1，0的概率为P ，则 n 1 4 1 20 A．若 ，则P  B．若 ，则P  3 1 9 3 2 81 1 1 1 2 C．若 ，则P  D．若2 ，则P  2 n 4 2 n 9 2 解析：考查A选项：数字1经过1个信号站后，仍为1的概率为1 ；数字0经过 3 2 2 2 4 1个信号站后，仍为0的概率为1 ，∴P    ，A选项正确； 3 1 3 3 9 5 考查B选项：数字1经过2个信号站后，仍为1的概率为(1)2  ；数字0经过2个 9 5 5 5 25 信号站后，仍为0的概率为(1)2  ，∴P    ，B选项错误； 9 2 9 9 81 考查C选项：设a 表示经过n个信号站后，数字0仍为0的概率；b 表示经过n个信号站 n n后，数字1仍为1的概率，则a 1，b 1. 当n2时， 1 1  1  1 a  , a  , 有   a n (1)a n1 (1a n1 ), 代入 1 ，即    n 2 又    1 2 b n (1)b n1 (1b n1 ), 2  b  1 ,  b  1 ,  n 2  1 2 1 1 1 ∴P    ，C选项正确； n 2 2 4 a (1)a (1a ), 1 考查D选项：在 n n1 n1 中代入2 ， b (1)b (1b ) 2 n n1 n1  1 1  3 a  a  , a  ,   n 4 n1 2   1 4 则 且  1 1  1 b  b  , b  ,  n 4 n1 4  1 2  2 1 2  1 2 2 a   (a  ), a    ,   n 3 4 n1 3   n 34n 3 3 ∴ ∴  1 1 1  2 1 1 b   (b  ), b    ,  n 3 4 n1 3  n 34n 3 3 2 1 2 ∴P    ，D选项正确，故选ACD. n 3 3 9 三、填空题： 63 12．yex，yex； 13． ； 14．9. 4 14．英国数学家约翰·康威发现了有趣的“康威圆定理”，如图，设△ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c，依次延长线段CA，BA，AB，CB，BC，AC至A ，A ，B ，B ， 1 2 1 2 C ，C ，使得AA  AA a，BB BB b，CC CC c， 1 2 1 2 1 2 1 2 则A ，A ，B ，B ，C ，C 六点共圆，并称此圆为△ABC的 1 2 1 2 1 2 “康威圆”．已知某三角形的面积为 3，其一条边长为2，点P 在该三角形的“康威圆”上运动，若MN 是该三角形内切圆的直   径，则PM PN的最小值为 ． 解：设康威圆的圆心为O，易知AC =B A =B C abc， 1 2 1 2 2 1 由垂径定理可知，圆心O为AC ，B A ，B C 垂直平分线的交点， 1 2 1 2 2 1 ∴O到△ABC三边的距离相等，即O为△ABC内切圆圆心，  1      2  2 设圆O内切圆半径为r，则PM PN  [(PM PN)2(PM PN)2]PO MO ， 4   (abc)2 即PM PN  ，不妨设b2， 4 过B作AC的平行线l，易知两平行线之间的距离为 3， 设C 为C关于直线l对称点，则CABCBACABC BA， 0 0 当C ，B，A三点共线时，CABC BA取得最小值6， 0 0   ∴PM PN的最小值为9，故应填9. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某地同城闪送为了提高服务质量，进行了服务改进，并对服务进行评分．已知服务改进 前某天共有1000个订单，其好评率为85%；服务改进后某天共有1500个订单，其中好评 订单为1350个． （1）已知某100个好评订单评分的极差为2，数据如下表所示（其中x10，n是正整数） 服务评分 x 8.5 9 9.5 10 订单数量 n 32 13 11 4 求这100个好评订单的第40百分位数； （2）根据服务改进前后的这两天的订单数据完成下列22列联表，并依据小概率值 0.001的独立性检验，判断订单获得好评与服务改进是否有关． 好评订单 非好评订单 合计 服务改进前 1000 服务改进后 1350 1500 合计 n(ad bc)2 附：2  ， α 0.1 0.05 0.01 0.001 (ab)(cd)(ac)(bd)  2.706 3.841 6.635 10.828  解：（1） ∵这100个好评订单评分的极差为2，x10，n是正整数，∴10x2，即x8，n100321311440，…………………………………2分 8+8.5 又∵1000.4=40，∴这100个好评订单的第40百分位数为 =8.25. ……………5分 2 （2）易知服务改进前的好评订单有10000.85850个，非好评订单有1000850150个， 服务改进后的非好评订单有15001350150个， ……………………………………6分 故22列联表如下表所示： 好评订单 非好评订单 合计 服务改进前 850 150 1000 服务改进后 1350 150 1500 合计 2200 300 2500 ……………………8分 零假设H ：订单获得好评与服务改进无关， ……………………………………9分 0 2500(8501501350150)2 625 ∵2    14.2 10.828 x ，……………11分 220030010001500 44 0.001 ∴根据小概率值0.001的独立性检验，我们推断H 不成立， 0 即订单获得好评与服务改进有关，且该推断犯错误的概率不超过0.001. ……………13分 16．（15分） 已知等差数列{a }的前n项和为S ，且S 4S ，a 2a 1． n n 5 2 2n n （1）求{a }的通项公式； n （2）设b (1)na ，数列{b }的前n项和为T ，若|T |50，求m的值． n n n n m 解：(1) 设公差为d，a 2a 1中，令n1，得a 2a 1， ………………………1分 2n n 2 1 5a 10d 4  2a d  , 又S 4S ，则 1 1 ………………………………………………3分 5 2 a d 2a 1, 1 1 a 2, 解得 1 …………………………………………………………………………………4分 d 1, 故a a  n1  d 2 n1 n1. ……………………………………………………5分 n 1 (2) 由(1)可得，b (1)n(n1)，……………………………………………………………6分 n ∴b b (1)2n12n(1)2n(2n1)1， ……………………………………………8分 2n1 2nn 当n为偶数时，T (b b )(b b )(b b ) ， …………………………10分 n 1 2 3 4 n1 n 2 m 令|T | 50，得m100； ……………………………………………………………11分 m 2 n1 n3 当n为奇数时，T T b  (n2) ， ………………………………13分 n n1 n1 2 2 m3 令 T  50，得m97，……………………………………………………………14分 m 2 综上所述m100，或m97. ……………………………………………………………15分 17．（15分）   如图，在矩形ABCD中，AB3，AD 2，2AE EB，将△ADE沿DE翻折得到 四棱锥ABCDE，且二面角CAED为直角． （1） 证明：EC平面ADE； （2） 求平面ADB与平面ADE夹角的正弦值． 解：（1）∵AD AE，平面ADE平面AEC AE，平面ADE平面AEC， ∴AD平面AEC ， …………………………………………………………………2分 ∵EC平面AEC ，∴ADEC， ………………………………………………………3分 ∵AD 2，AE 1，BE 2，BC 2 ， AD BE ∴  ，由相似可知，DEEC， …………………………………………………5分 AE BC ∵DE平面ADE，AD平面ADE，DEAD D， ∴EC平面ADE． ……………………………………………………………………7分 （2）设EC交BD于F 点，连接AF，方法1：由（1）得，EF 平面ADE， ∵AD平面ADE，∴EF  AD， ……………………………………………8分 ∵AE AD，AEEF E ， ∴AD平面AEF， ∴AD AF，AD AE， ………………………………………………………………9分 设平面ADB与平面ADE夹角为，则sinsinEAF， …………………………11分 ∵CD// BE，CD3，BE 2， 2 2 2 ∴EF  EC BC2 BE2  6， 5 5 5 EF 2 6 ∴sin  ， …………………………………………………………………14分 AF 7 2 6 ∴平面ADB与平面ADE夹角的正弦值为 ． ……………………………………15分 7  方法2：以E 为坐标原点，EC的方向为x轴正方向建立如图所示空间直角坐标系Exyz ． 3 6 2 6 2 3 由题设及(1)得，A(0, , )，B( , ,0)，C( 6,0,0)，D(0, 3,0)，……10分 3 3 3 3  平面ADE的一个法向量为EC ( 6,0,0)，………………………………………………11分 设平面ADB的一个法向量为n(x,y,z)， 2 3 6  n  A    D  0,   3 y 3 z0, 由  得 nBD0,  2 6 5 3  x y0,   3 3 令y2 2，得n(5,2 2,4)， ……………13分  nEC 5 6 5 设二面角BADE的大小为，则cos    ，…………………14分 |n||EC| 67 72 6 ∴二面角BADE的正弦值为sin 1cos2 ，……………………………15分 7 18．（17分） x2 y2 已知双曲线C:  1(a0,b0)的右焦点为F，离心率为2，圆O:x2  y2 1与 a2 b2 C 恰有两个交点. （1）求C 的方程； （2）设A为C 的左顶点，过F 且斜率存在的直线交C 的右支于M ，N 两点，直线AM ， AN 分别交圆O的另一点于P，Q. （i）证明：P，O，Q三点共线； （ii）设直线MN 与直线PQ交于D，证明：点D在定直线上. 解：（1）依题意，圆O:x2  y2 1与C两个交点为C 的左、右顶点，故a1， ………2 分 c ∵e 2，∴c2，b2 c2 a2 3，……………………………………………………3分 a y2 ∴C的方程为x2  1. ……………………………………………………………………4分 3 （2）（i）设直线MN:xmy2，M(x ,y )，N(x ,y )， 1 1 2 2 xmy2,  由 y2 可得(3m2 1)y2 12my90， x2  1,  3 12m 9 ∴y  y  ，y y  ，∴4my y 3(y  y )，…………………………6分 1 2 3m2 1 1 2 3m2 1 1 2 1 2 y y y y y y k k  1  2  1 2  1 2 AP AQ x 1 x 1 (my 3)(my 3) m2y y 3m(y  y )9 1 2 1 2 1 2 1 2 9 3m2 1  1，………………………………………………8分 9 12m m2 3m 9 3m2 1 3m2 1 ∴PAQ90，∴PQ为圆O的一条直径， ∴P，O，Q三点共线. ……………………………………………………………………10分 x 1 x 1 （ii）不妨设直线AM :xm y1，AN:xm y1，其中m  1 ，m  2 ， 1 2 1 y 2 y 1 2由（i）可知，mm 1， 1 2 xm y1, m2 1 2m 由 1 可得(m2 1)y2 2m y0，解得P( 1 , 1 )， ……………12分 x2  y2 1, 1 1 m2 1 m2 1 1 1 2m 2 2 2 k  1    ∴ OP m2 1 1 m m x 1 x 1 1 m  1 2 1  2 1 m y y 1 1 2 2 2 1    1 1 12m m， …………………………………………15分 2m3(  ) 2m3 y y 9 1 2 ∴直线OP:xmy，  xmy, 由 可得x 1， xmy2, D ∴点D在定直线x1上. …………………………………………………………………17分 19．（17分） ex 已知函数 f(x)定义在(0,)上，记 f(x)的导函数为g(x)，g(x) . x （1）求g(x)的单调区间与最小值； （2）若a0，讨论函数h(x) f(x)ax 的极值点个数； （3）证明：当x0时， f(xln2) f(x)eln2． 解：（1）g(x)的定义域为(0,)， ex(x1) g(x) ，令g(x)0，得x 1．…………………………………………………2分 x2 0 当x(0,1)时，g(x)0，g(x)单调递减；当x(1,)时，g(x)0，g(x)单调递增； ∴g(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)，最小值为g(1)e．………5分 ex ax （2）h(x)g(x)a ， x 由（1），当ae时，h(x)0，h(x)无极值点，…………………………………………7分 1 1 ea a2 当ae时，h(1)ea0，一方面有h( )a(ea 1)0，另一方面有h(a) 0， a a 1 ∴h(x)在区间( ,1)，(1,a)各有唯一零点m，n．且由h(x)的单调性，h(x)在(0,)上无 a 其它零点， ……………………………………………………………………………………10分 ∴h(x)在(0,m)，(n,)单调递增，在(m,n)单调递减，故h(x)有且仅有2个极值点， 综上，当ae时，h(x)无极值点；当ae时，h(x)有且仅有2个极值点．…………11分ex(xln2) （3）设(x) f(xln2) f(x) ，(x)g(xln2)g(x) ，…………12分 (xln2)x 令(x)0得xln2．当x(0,ln2)时，(x)0，(x)单调递减；当x(ln2,)时， (x)0，(x)单调递增，故(x)(ln2) f(2ln2) f(ln2)， ……………………14分 由（2）可知，y f(x)ex是增函数，∴ f(2ln2)2eln2 f(ln2)eln2 ， ∴ f(2ln2) f(ln2)eln2． ………………………………………………………………17分