文档内容
2024 年高三数学秋季开学考试（河北专用）
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，
写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ，若 中有3个元素，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．若向量 ， ，则 在 上的投影向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4． 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ， ，
则 （ ）
A． B．4 C． D．3
5．已知正方体的棱长为2，则该正方体的内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知变量 与变量 线性相关， 与 的样本相关系数为 ，且由观测数据算得样本平均数 ， ，则由该观测数据算得经验回归方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数 ，若 在 处取得极小值，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系 中，直线 上有且仅有一点 ，使 ，则直线
被圆 截得的弦长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．已知等差数列 的公差 ，前 项和为 ，若 ，则下列结论中正确的有
（ ）
A． B．
C．当 时， D．当 时，
10．平面内到两个定点 的距离比值为一定值 的点 的轨迹是一个圆，此圆被
称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点 ，动点 满足
，记点 的轨迹为 ，则下列命题正确的是（ ）A．点 的轨迹 的方程是
B．过点 的直线被点 的轨迹 所截得的弦的长度的最小值是
C．直线 与点 的轨迹 相离
D．已知点 是直线 上的动点，过点 作点 的轨迹 的两条切线，切
点为 ，则四边形 面积的最小值是4
11．已知 ，则关于事件 与事件 ，下列说法正确的有
（ ）
A．事件 与 可能相互独立 B．事件 与 一定不互斥
C． D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 的展开式中 的系数是 . （用数字作答）
13．已知函数 ，若 对任意 恒成立，则实数 的取
值范围为 .
14．已知 是圆 的直径， ， 是圆 上两点，且 ，则
的最小值为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)如图，在 中， ， ，D是BC边上一点，且 ，
(1)求 的长；
(2)若 ，求 .16．(15分)已知椭圆 ，过点 ， ， 分别是 的左顶点和
下顶点， 是 右焦点， .
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线与椭圆 交于点 ， ，直线 ， 分别与直线 交于不同的两点
， .设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值.
17．(15分)在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， 分别是
的中点.
(1)求证： 平面PAD；
(2)求证： ；
(3)若PD与平面 所成的角为 ，求证： 平面 .
18．(17分)已知函数 .
(1)求 在 处的切线方程；
(2)当 时，若 恒成立，求实数 的取值范围.
19．(17分)某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有
份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，需要检验 次；
方式二：混合检验，将其中 份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这 份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液
样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为 次．假设每份样
本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为 ．
(1)现有5份不同的血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好
经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；
(2)现取其中 份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为
；采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为 ．
①若 ，求 关于 的函数关系式 ；
②已知 ，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？
参考数据： ， ， ， ， ．
