文档内容
2024 年高三数学秋季开学考试（北京专用）
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，
写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 （ 是虚数单位），则 的虚部是（ ）
A．1 B． C． D．
3．二项式 的展开式中常数项是（ ）
A．1 B．4 C．6 D．0
4．设 ， 是非零向量，则“ 或 ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知函数 ，
若对任意的实数 ， 在区间 上的值域均为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．6．已知标准椭圆上P，Q两点的切线方程分别为 ， ，则直
线PQ的斜率为（ ）
A． B． C．2 D．
7．若一圆锥的侧面展开图的圆心角为 ，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
8．已知 分别为双曲线 的左､右焦点，过 的直线与双曲线
的左支交于 两点，若 ，则双曲线 的焦距为（ ）
A． B． C． D．
9．函数 ，若对任意 ， ，都有
成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．已知集合 ，若 且互不相等，则使得指数函数
，对数函数 ，幂函数 中至少有两个函数在 上单调递减的有序
数对 的个数是（ ）
A．36 B．42 C．72 D．84
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知 是圆 的直径， ， 是圆 上两点，且 ，则
的最小值为 .
12．与家庭电路不同，从发电厂到用户端的高压电路只有三根火线而没有零线．实际上，
发电厂通常采用三相正弦交流进行发电，三根火线的瞬时电流表达式分别为 ，
．假设三根火线的电流分别进入用户端并通过一
根零线流出，则零线瞬时电流 ．
13． 的展开式中 的系数是 . （用数字作答）
14．已知数列 的前 项和为 ，满足 ，则
15．经研究发现：任意一个三次多项式函数 的图象都有且只有一
个对称中心点 ，其中 是 的根， 是 的导数， 是
的导数.若函数 图象的对称中心点为 ，且不等式
对任意 恒成立，则 的取值范围是
.
四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（13分）记 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知 ，
(1)求B；
(2)若 的面积为 ，求c．17．（13分）如图，平面四边形ABCD中， ， ， ， ，
，点E，F满足 ， ，将 沿EF翻折至 ，使得
．
(1)证明： ；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
18．（14分）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方
案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：
男生 女生
不支
支持 支持 不支持
持
方案一 200人 400人 300人 100人
方案二 350人 250人 150人 250人
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2
人支持方案一的概率；
（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为 ，假设该校一年级有500名男生和300
名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为 ，试比较 与 的大
小．（结论不要求证明）
19．（15分）已知函数 的图象是曲线C，直线 与曲线C相切于点 .
(1)求函数 的解析式；
(2)求函数 在区间 上的最大值和最小值.
20．（15分）已知椭圆 的左顶点为 ，右顶点为 ，
椭圆上不同于点 的一点 满足 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的直线 交椭圆 于 两点，直线 交于点 ，证明：点 在定直线
上.
21．（15分）已知数列 的项数均为m ，且 的
前n项和分别为 ，并规定 ．对于 ，定义
，其中， 表示数集M中最大的数.
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，且 ，求 ；
(3)证明：存在 ，满足 使得 ．
