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2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
P(AB)
参考公式：（1）P(B A)= ，其中A,B为两个事件，且P(A)>0，
P(A)
（2）柱体体积公式V =Sh，其中S 为底面面积，h为高。
4
（3）球的体积公式V = pR3，其中R为求的半径。
3
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）（2011•湖南）若a，b∈R，i为虚数单位，且（a+i）i=b+i则（ ）
A a=1，b=1 B a=﹣1，b=1 C a=﹣1，b=﹣1 D a=1，b=﹣1
． ． ． ．
2．（5分）（2011•湖南）设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的（ ）
A 充分不必要条 B 必要不充分条
． 件 ． 件
C 充分必要条件 D 既不充分又不
． ． 必要条件
3．（5分）（2011•湖南）设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A 9π+42 B 36π+18 C D
． ． ． ．
4．（5分）（2011•湖南）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到
如下的列联表：
男 女 总计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
第1页 | 共6页由 算得，
．
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A 在犯错误的概
． 率不超过0.1%
的前提下，认
为“爱好该项运
动与性别有关”
B 在犯错误的概
． 率不超过0.1%
的前提下，认
为“爱好该项运
动与性别无关”
C 有99%以上的把
． 握认为“爱好该
项运动与性别
有关”
D 有99%以上的把
． 握认为“爱好该
项运动与性别
无关”
5．（5分）（2011•湖南）设双曲线 的渐近线方程为3x±2y=0，则a的
值为（ ）
A 4 B 3 C 2 D 1
． ． ． ．
6．（5分）（2011•湖南）由直线 与曲线y=cosx所围成的封闭图形
的面积为（ ）
A B 1 C D
． ． ． ．
第2页 | 共6页7．（5分）（2011•湖南）设m＞1，在约束条件 下，目标函数Z=X+my的最大值
小于2，则m 的取值范围为（ ）
A （1， ） B （ ，+∞ C （1，3） D （3，+∞）
． ． ） ． ．
8．（5分）（2011•湖南）设直线x=t
与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（
）
A 1 B C D
． ． ． ．
二、填空题（共8小题，每小题5分，满分35分）
9．（5分）（2011•湖南）在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为 （α为
1
参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半
轴为极轴）中，曲线C 的方程为p（cosθ﹣sinθ）+1=0，则C 与C 的交点个数为
2 1 2
_________ ．
10．（5分）（2011•湖南）设x，y∈R，且xy≠0，则 的最小值
为 _________ ．
11．（2011•湖南）如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足
为D，BE与AD相交与点F，则AF的长为 _________ ．
12．（5分）（2011•湖南）设S 是等差数列{a }（n∈N*）的前n项和，且a =1，a =7，则S
n n 1 4 9
= _________ ．
13．（5分）（2011•湖南）若执行如图所示的框图，输入x =1， ，则
1
输出的数等于 _________ ．
第3页 | 共6页14．（5分）（2011•湖南）在边长为1的正三角形ABC中，设 ， 则
= _________ ．
15．（5分）（2011•湖南）如图，EFGH 是以O
为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该院内，用A表示事件“豆子
落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则
（1）P（A）= _________ ； （2）P（B|A）= _________ ．
16．（5分）（2011•湖南）对于n∈N+，将n
表示n=a ×2k+a ×2k﹣1+a ×2k﹣2+…+a ×21+a ×20，当i=0时，a=1，当1≤i≤k时，a 为0或1．
0 1 2 k﹣1 k i 1
记I（n）为上述表示中a为0的个数（例如：1=1×20，4=1×22+0×21+0×20，故I（1）=0，I（4
i
）=2），则
（1）I（12）= _________ ；（2） = _________ ．
三、解答题（共6小题，满分75分）
17．（12分）（2011•湖南）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csin
A=acosC．
（1）求角C的大小；
（2）求 sinA﹣cos （B+ ）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小．
18．（12分）（2011•湖南）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量（件） 0 1 2 3
频数 1 5 9 5
第4页 | 共6页试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，
当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将
频率视为概率．
（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；
（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．
19．（12分）（2011•湖南）如图，在圆锥PO中，已知PO= ，⊙O的直径AB=2，C是
的中点，D为AC的中点．
（Ⅰ）证明：平面POD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．
20．（13分）（2011•湖南）如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀
速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c∈R）．E移动时单位时间内
的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与|v﹣
c|×S成正比，比例系数为 ；（2）其它面的淋雨量之和，其值为 ，记y为E移动过程中的
总淋雨量，当移动距离d=100，面积S= 时．
（Ⅰ）写出y的表达式
（Ⅱ）设0＜v≤10，0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少
．
21．（13分）（2011•湖南）如图，椭圆C ： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，x轴被
1
曲线C ：y=x2﹣b截得的线段长等于C 的长半轴长．
2 1
（Ⅰ）求C ，C 的方程；
1 2
（Ⅱ）设C 与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C 相交于点A、B，直线MA，MB分
2 2
别与C 相交与D，E．
1
（i）证明：MD⊥ME；
第5页 | 共6页（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S ，S ．问：是否存在直线l，使得 = ？请说明
1 2
理由．
22．（13分）（2011•湖南）已知函数f（x）=x3，g （x）=x+ ．
（Ⅰ）求函数h （x）=f（x）﹣g （x）的零点个数．并说明理由；
（Ⅱ）设数列{
a }（n∈N*）满足a =a（a＞0），f（a ）=g（a ），证明：存在常数M，使得对于任意的
n 1 n+1 n
n∈N*，都有a ≤M．
n
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