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2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
P(AB)
参考公式：（1）P(B A)= ，其中A,B为两个事件，且P(A)>0，
P(A)
（2）柱体体积公式V =Sh，其中S 为底面面积，h为高。
4
（3）球的体积公式V = pR3，其中R为求的半径。
3
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）（2011•湖南）若a，b∈R，i为虚数单位，且（a+i）i=b+i则（ ）
A a=1，b=1 B a=﹣1，b=1 C a=﹣1，b=﹣1 D a=1，b=﹣1
． ． ． ．
2．（5分）（2011•湖南）设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的（ ）
A 充分不必要条 B 必要不充分条
． 件 ． 件
C 充分必要条件 D 既不充分又不
． ． 必要条件
3．（5分）（2011•湖南）设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A 9π+42 B 36π+18 C D
． ． ． ．
4．（5分）（2011•湖南）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到
如下的列联表：
男 女 总计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
第1页 | 共18页由 算得，
．
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A 在犯错误的概
． 率不超过0.1%
的前提下，认
为“爱好该项运
动与性别有关”
B 在犯错误的概
． 率不超过0.1%
的前提下，认
为“爱好该项运
动与性别无关”
C 有99%以上的把
． 握认为“爱好该
项运动与性别
有关”
D 有99%以上的把
． 握认为“爱好该
项运动与性别
无关”
5．（5分）（2011•湖南）设双曲线 的渐近线方程为3x±2y=0，则a的
值为（ ）
A 4 B 3 C 2 D 1
． ． ． ．
6．（5分）（2011•湖南）由直线 与曲线y=cosx所围成的封闭图形
的面积为（ ）
A B 1 C D
． ． ． ．
第2页 | 共18页7．（5分）（2011•湖南）设m＞1，在约束条件 下，目标函数Z=X+my的最大值
小于2，则m 的取值范围为（ ）
A （1， ） B （ ，+∞ C （1，3） D （3，+∞）
． ． ） ． ．
8．（5分）（2011•湖南）设直线x=t
与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（
）
A 1 B C D
． ． ． ．
二、填空题（共8小题，每小题5分，满分35分）
9．（5分）（2011•湖南）在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为 （α为
1
参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半
轴为极轴）中，曲线C 的方程为p（cosθ﹣sinθ）+1=0，则C 与C 的交点个数为
2 1 2
_________ ．
10．（5分）（2011•湖南）设x，y∈R，且xy≠0，则 的最小值
为 _________ ．
11．（2011•湖南）如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足
为D，BE与AD相交与点F，则AF的长为 _________ ．
12．（5分）（2011•湖南）设S 是等差数列{a }（n∈N*）的前n项和，且a =1，a =7，则S
n n 1 4 9
= _________ ．
13．（5分）（2011•湖南）若执行如图所示的框图，输入x =1， ，则
1
输出的数等于 _________ ．
第3页 | 共18页14．（5分）（2011•湖南）在边长为1的正三角形ABC中，设 ， 则
= _________ ．
15．（5分）（2011•湖南）如图，EFGH 是以O
为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该院内，用A表示事件“豆子
落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则
（1）P（A）= _________ ； （2）P（B|A）= _________ ．
16．（5分）（2011•湖南）对于n∈N+，将n
表示n=a ×2k+a ×2k﹣1+a ×2k﹣2+…+a ×21+a ×20，当i=0时，a=1，当1≤i≤k时，a 为0或1．
0 1 2 k﹣1 k i 1
记I（n）为上述表示中a为0的个数（例如：1=1×20，4=1×22+0×21+0×20，故I（1）=0，I（4
i
）=2），则
（1）I（12）= _________ ；（2） = _________ ．
三、解答题（共6小题，满分75分）
17．（12分）（2011•湖南）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csin
A=acosC．
（1）求角C的大小；
（2）求 sinA﹣cos （B+ ）的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小．
18．（12分）（2011•湖南）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量（件） 0 1 2 3
频数 1 5 9 5
第4页 | 共18页试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，
当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将
频率视为概率．
（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；
（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．
19．（12分）（2011•湖南）如图，在圆锥PO中，已知PO= ，⊙O的直径AB=2，C是
的中点，D为AC的中点．
（Ⅰ）证明：平面POD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣C的余弦值．
20．（13分）（2011•湖南）如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀
速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c∈R）．E移动时单位时间内
的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与|v﹣
c|×S成正比，比例系数为 ；（2）其它面的淋雨量之和，其值为 ，记y为E移动过程中的
总淋雨量，当移动距离d=100，面积S= 时．
（Ⅰ）写出y的表达式
（Ⅱ）设0＜v≤10，0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少
．
21．（13分）（2011•湖南）如图，椭圆C ： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，x轴被
1
曲线C ：y=x2﹣b截得的线段长等于C 的长半轴长．
2 1
（Ⅰ）求C ，C 的方程；
1 2
（Ⅱ）设C 与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C 相交于点A、B，直线MA，MB分
2 2
别与C 相交与D，E．
1
（i）证明：MD⊥ME；
第5页 | 共18页（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S ，S ．问：是否存在直线l，使得 = ？请说明
1 2
理由．
22．（13分）（2011•湖南）已知函数f（x）=x3，g （x）=x+ ．
（Ⅰ）求函数h （x）=f（x）﹣g （x）的零点个数．并说明理由；
（Ⅱ）设数列{
a }（n∈N*）满足a =a（a＞0），f（a ）=g（a ），证明：存在常数M，使得对于任意的
n 1 n+1 n
n∈N*，都有a ≤M．
n
第6页 | 共18页一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求的。
1.若a,bÎR，i为虚数单位，且(a+i)i =b+i，则（ ）
A．a=1,b=1 B．a=-1,b=1 C．a=-1,b=-1 D．a=1,b=-1
答案：D
2.设M ={1,2}，N ={a2}，则“a=1”是“N Í M ”则（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
答案：A
解析：因“a=1”，即N ={1}，满足“N Í M ”，反之“N Í M ”，则
N ={a2}={1}，或N ={a2}={2}，不一定有“a=1”。
3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
9 9
A． p+12 B． p+18
2 2
C．9p+42 D．36p+18
答案：B
解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积
4 3 9
V = p（ ）3+3´3´2= p+18。
3 2 2
4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男 女 总计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
n(ad -bc)2 110´(40´30-20´20)2
由K2 = 算得K2 = »7.8
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 60´50´60´50
附表：
0.050 0.010 0.001
P(K2 ³k)
k 3.841 6.635 10.828
参照附表，得到的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
答案：C
第7页 | 共18页解析：由K 2 »7.8>6.635，而P(K2 ³6.635)=0.010，故由独立性检验的意义可知选C.
x2 y2
5.设双曲线 - =1(a>0)的渐近线方程为3x±2y =0，则a的值为（ ）
a2 9
A．4 B．3 C．2 D．1
答案：C
3
解析：由双曲线方程可知渐近线方程为y =± x，故可知a=2。
a
p p
6. 由直线x=- ,x= ,y =0与曲线y =cosx所围成的封闭图形的面积为（ ）
3 3
1 3
A． B．1 C． D． 3
2 2
答案：D
p
3 p 3 3
解析：由定积分知识可得S = ò cosxdx=sinx|3 = -(- )= 3，故选D。
- p 2 2
p 3
-
3
7.
ìy³ x
ï
设m>1，在约束条件íy£mx 下，目标函数z = x+my的最大值小于2，则m的取值范
ï
x+ y£1
î
围为（ ）
A．(1,1+ 2) B．(1+ 2,+¥) C．(1,3) D．(3,+¥)
答案：A
1 m 1 m2
解析：画出可行域，可知z = x+5y在点( , )取最大值，由 + <2解
1+m 1+m 1+m 1+m
得10)不妨令h(x)= x2 -lnx，则h'(x)=2x- ，令
x
2 2 2
h'(x)=0解得x= ，因xÎ(0, )时，h'(x)<0，当xÎ( ,+¥)时，h'(x)>0，
2 2 2
第8页 | 共18页2 2
所以当x= 时，|MN |达到最小。即t = 。
2 2
二填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中
对应题号的横线上。
一、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分
）
ìx=cosa,
9.在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为
í
（a为参数）在极坐
1
îy =1+sina
标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴
为极轴）中，曲线C 的方程为rcosq-sinq+1=0，则C 与C 的交点个数为
2 1 2
。
答案：2
解析：曲线C :x2 +(y-1)2 =1，C :x- y+1=0，由圆心到直线的距离
1 2
|0-1+1|
d = =0<1，故C 与C 的交点个数为2.
1 2
2
1 1
10.设x,yÎR,则(x2 + )( +4y2)的最小值为 。
y2 x2
答案：9
1 1
解析：由柯西不等式可知(x2 + )( +4y2)³(1+2)2 =9。
y2 x2
11.如图2，A,E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC =4，
AD^ BC,垂足为D, BE与AD相交与点F，则AF 的长为 。
2 3
答案：
3
3
解析：由题可知，ÐAOB=ÐEOC =60°，OA=OB=2,得OD= BD=1,DF = ，
3
2 3
又AD2 = BD×CD=3，所以AF = AD-DF = .
3
第9页 | 共18页二、必做题（12~16题）
12、设S 是等差数列{a }(nÎN*)的前n项和，且a =1,a =7，则S = ______
n n 1 4 5
答案：25
(1+9)´5
解析：由a =1,a =7可得a =1,d =2,a =2n-1，所以S = =25。
1 4 1 n 5 2
13、若执行如图3所示的框图，输入x =1,x =2,x =3,x=2
1 2 3
，则输出的数等于 。
2
答案：
3
解析：由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，
(1-2)2 +(2-2)2 +(3-2)2 2
则S = = 。
3 3
uuur uuur uuur uuur
14、在边长为1的正三角形ABC中，设BC =2BD,CA=3CE
uuur uuur
，则AD×BE = ________。
1
答案：-
4
uuur uuur uuur 1uuur uuur uuur uuur uuur 1uuur uuur
解析：由题AD=CD-CA= CB-CA，BE =CE-CB= CA-CB，
2 3
uuur uuur 1uuur uuur 1uuur uuur 1 1 7uuur uuur 1
所以AD×BE =( CB-CA)×( CA-CB)=- - + CB×CA=- 。
2 3 2 3 6 4
15、如图4，
EFGH 是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地
扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B表示事件
“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则
（1）P（A）=______ ；（2）P（B|A）=______
2 1
答案：（1） ；（2）P（B|A）=
p 4
S 2
解析：（1）由几何概型概率计算公式可得P（A）= 正 = ；
S p
圆
2 1
´
P（AB） p 4 1
（2）由条件概率的计算公式可得P（B|A）= = = 。
P（A） 2 4
p
16、对于nÎN*，将n表示为n=a ´2k +a ´2k-1+a ´2k-2 + +a ´21+a ´20，
0 1 2 L k-1 k
第10页 | 共18页当i =0时，a =1，当1£i£k 时，a 为0或1.记I(n)为上述表示中a 为0的个数，（例
i i i
如1=1´20，4=1´22 +0´21+0´20：故I(1)=0,I(4)=2）则
127
（1）I(12)= _____ （2）å2I(n) = ______
n=1
答案：（1）2；（2）1093
解析：（1）因12=1´23+1´22 +0´21+0´20，故I(12)=2；
（2）在2进制的k(k ³2)位数中，没有0的有1个，有1个0的有C1 个，有2个0的有C2
k-1 k-1
个，……有m个0的有Cm 个，……有k-1个0的有Ck-1 =1个。故对所有2进制为k位数
k-1 k-1
的数n，在所求式中的2I(n)的和为：
1×20 +C1 ×21+C2 ×22 + +Ck-1×2k-1 =3k-1。
k-1 k-1 L k-1
127 7
又127=27 -1恰为2进制的最大7位数，所以å2I(n) =20 +å3k-1 =1093。
n=1 k=2
三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）在DABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足
csinA=acosC.
（I）求角C的大小；
p
（II）求 3sin A-cos(B+ )的最大值，并求取得最大值时角A,B的大小．
4
解析：（I）由正弦定理得sinCsin A=sinAcosC.
p
因为0< A0.从而sinC =cosC.又cosC ¹0,所以tanC =1,则C =
4
3p
（II）由（I）知B= -A.于是
4
p
3sin A-cos(B+ )= 3sinA-cos(p-A)
4
p
= 3sin A+cosA=2sin(A+ ).
6
3p p p 11p p p p
0< A< ,\ < A+ < ,从而当A+ = ,即A= 时,
Q
4 6 6 12 6 2 3
p
2sin(A+ )取最大值2．
6
第11页 | 共18页p p 5p
综上所述， 3sin A-cos(B+ )的最大值为2，此时A= ,B= .
4 3 12
18. 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量（件 0 1 2 3
）
频数 1 5 9 5
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有
该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充
至3件，否则不进货，将频率视为概率。
(Ⅰ）求当天商品不进货的概率；
（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望。
解析：（I）P（“当天商店不进货”）=P（“当天商品销售量为0件”）+P（“
1 5 3
当天商品销售量1件”）= + = 。
20 20 10
（II）由题意知，X 的可能取值为2，3.
5 1
P(x=2)= P("当天商品销售量为1件")= = ；
20 4
P(x=3)= P("当天商品销售量为0件")+P("当天商品销售量为2件")+P("当天商品销售
1 9 5 3
量为3件")= + + =
20 20 20 4
故X 的分布列为
X 2 3
P 1 3
4 4
1 3 11
X 的数学期望为EX =2´ +3´ = 。
4 4 4
19.（本题满分12分）如图5，在圆锥PO中，已知PO= 2,
e
O的直径
AB=2,C是AB的中点,,D为AC 的中点．
（I）证明：平面POD^平面PAC;
（II）求二面角B-PA-C的余弦值．
解：（I）连接OC，因为OA=OC,D为的AC中点
，所以AC ^OD.
第12页 | 共18页又PO^底面 O,AC Ì底面 O,所以AC ^ PO.因为OD, PO是平面 POD内的两
e e
条相交直线，所以AC ^平面POD。而AC Ì平面PAC ，所以平面POD^平面PAC
。
（II）在平面POD中，过O作OH ^ PD于H ，由（I）知，平面POD^平面PAC ,所
以OH ^平面PAC,又PAÌ平面PAC,所以PA^OH .
在平面PAO中，过O作OG ^ PA于G,连接HG,则有PA^平面OGH ，
从而PA^ HG，所以ÐOGH 是二面角B-PA-C的平面角．
2
在RtDODA中,OD=OA×sin45°=
2
2
2´
PO×OD 10
2
在RtDPOD中,OH = = =
PO2+OD2 1 5
2+
2
PO×OA 2´1 6
在RtDPOA中,OG = = =
PO2+OA2 2+1 3
10
OH 5 15 10
在RtDOHG中,sinÐOGH = == = ,所以cosÐOGH = 。
OG 6 5 5
3
10
故二面角B-PA-C的余弦值为 。
5
20.
如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为
v(v>0)，雨速沿E移动方向的分速度为c(cÎR)。E移动时单位时间内的淋雨量
包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与
1 1
v-c ×S成正比，比例系数为 ；（2）其它面的淋雨量之和，其值为 ，记y
10 2
3
为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S= 时。
2
第13页 | 共18页（Ⅰ）写出y的表达式
（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总
淋雨量y最少。
3 1
解析：（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为 |v-c|+ ，
20 2
100 3 1 5
故y = ( |v-c|+ )= (3|v-c|+10).
v 20 2 v
5 5(3c+10)
（II）由(I)知，当0b>0)的离心率为 ，x轴被曲线C : y = x2 -b
1 a2 b2 2 2
截得的线段长等于C 的长半轴长。
1
（Ⅰ）求C ，C 的方程；
1 2
（Ⅱ）设C 与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C 相交于点A,B,直线MA,MB分别
2 2
与C 相交与D,E.
1
（i）证明：MD^ME；
S 17
(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是S ,S .问：是否存在直线l,使得 1 = ?
1 2 S 32
2
请说明理由。
c 3
解析：（I）由题意知e= = ，从而a=2b，又2 b =a，解得a=2,b=1。
a 2
C C x2
故 1， 2的方程分别为 + y2 =1,y = x2 -1。
4
（II）（i）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k，则直线 l 的方程为y =kx.
ìy =kx
由í 得x2 -kx-1=0，
îy = x2 -1
设A(x ,y ),B(x ,y )，则x ,x 是上述方程的两个
1 1 2 2 1 2
实根，于是x +x =k,x x =-1。
1 2 1 2
又点M 的坐标为(0,-1)，所以
y +1 y +1 (kx +1)(kx +1) k2x x +k(x +x )+1 -k2 +k2 +1
k ×k = 1 × 2 = 1 2 = 1 2 1 2 = =-1
MA MB x x x x x x -1
1 2 1 2 1 2
第15页 | 共18页故MA^MB，即MD^ME。
ìy =k x-1
（ii）设直线的斜率为k ，则直线的方程为y =k x-1，由í 1 解得
1 1 îy = x2 -1
ìx=0 ìx=k
í 或í 1 ，则点的坐标为(k ,k2 -1)
îy =-1
î
y =k2 -1 1 1
1
1 1 1
又直线MB的斜率为- ，同理可得点B的坐标为(- , -1).
k k k2
1 1 1
1 1 1 1 1+k2
于是S = |MA|×|MB|= 1+k2×|k |× 1+ ×|- |= 1 .
1 2 2 1 1 k2 k 2|k |
1 1 1
ìy =k x-1
由í 1 得(1+4k2)x2 -8k x=0，
îx2 +4y2 -4=0 1 1
ì 8k
x= 1
ï
ìx=0 ï 1+4k2 8k 4k2 -1
解得í 或í 1 ，则点D的坐标为( 1 , 1 )；
îy =-1
ï y =
4k
1
2 -1 1+4k
1
2 1+4k
1
2
ï 1+4k2
î
1
1 -8k 4-k2
又直线的斜率为- ，同理可得点E的坐标( 1 , 1 )
k 4+k2 4+k2
1 1 1
1 32(1+k2)×|k |
于是S = |MD|×|ME|= 1 1
2 2 (1+4k2)(4+k2)
1 1
S 1 1
因此 1 = (4k2 + +17)
S 64 1 k2
2 1
1 1 17 1
由题意知， (4k2 + +17)= 解得k2 =4 或k2 = 。
64 1 k2 32 1 1 4
1
1
k2 -
1 k2 1 3
又由点A,B的坐标可知，k = 1 =k - ，所以k =± .
1 1 k 2
k + 1
1 k
1
3 3
故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为y = x和y =- x。
2 2
第16页 | 共18页22.（本小题满分13分）
已知函数 f (x) =x3，g (x)=x+ x 。
（Ⅰ）求函数h (x)= f (x)-g (x)的零点个数，并说明理由；
（Ⅱ）设数列{a }(nÎN*)满足a =a(a>0)， f(a )= g(a )，证明：存在常数
n 1 n+1 n
M,使得对于任意的nÎN*，都有a ≤ M .
n
解析：（I）由h(x)= x3-x- x 知，xÎ[0,+¥)，而h(0)=0，且
h(1)=-1<0,h(2)=6- 2 >0，则x=0为h(x)的一个零点，且h(x)在（1，2）内有
零点，因此h(x)至少有两个零点
1 - 1 1 - 1 1 - 3
解法1：h'(x)=3x2 -1- x 2 ，记j(x)=3x2 -1- x 2，则j'(x)=6x+ x 2。
2 2 4
当xÎ(0,+¥)时，j'(x)>0，因此j(x)在(0,+¥)上单调递增，则j(x)在(0,+¥)内
3 3
至多只有一个零点。又因为j(1)>0,j( )<0，则j(x)在( ,1)内有零点，所
3 3
以j(x)在(0,+¥)内有且只有一个零点。记此零点为x ，则当xÎ(0,x )时，
1 1
j(x)j'(x )=0；
1 1 1
所以，
当xÎ(0,x )时，h(x)单调递减，而h(0)=0，则h(x)在(0,x ]内无零点；
1 1
当xÎ(x ,+¥)时，h(x)单调递增，则h(x)在(x ,+¥)内至多只有一个零点；
1 1
从而h(x)在(0,+¥)内至多只有一个零点。综上所述，h(x)有且只有两个零点。
- 1 - 1 1 - 3
解法2：h(x)= x(x2 -1-x 2)，记j(x)= x2 -1-x 2，则j'(x)=2x+ x 2。
2
当xÎ(0,+¥)时，j'(x)>0，因此j(x)在(0,+¥)上单调递增，则j(x)在(0,+¥)内
至多只有一个零点。因此h(x)在(0,+¥)内也至多只有一个零点，
综上所述，h(x)有且只有两个零点。
第17页 | 共18页（II）记h(x)的正零点为x ，即x 3 = x + x 。
0 0 0 0
（1）当a< x 时，由a =a，即a < x .而a 3 =a + a < x + x = x 3，因此a < x
0 1 1 0 2 1 1 0 0 0 2 0
，由此猜测：a < x 。下面用数学归纳法证明：
n 0
①当n=1时，a < x 显然成立；
1 0
②假设当n=k(k ³1)时，有a < x 成立，则当n=k+1时，由
k 0
a 3 =a + a < x + x = x 3知，a < x ，因此，当n=k+1时，a < x 成立。
k+1 k k 0 0 0 k+1 0 k+1 0
故对任意的nÎN*，a < x 成立。
n 0
（2）当a³ x 时，由（1）知，h(x)在(x ,+¥)上单调递增。则h(a)³h(x )=0，即
0 0 0
a3 ³a+ a 。从而a 3 =a + a =a+ a £a3，即a £a，由此猜测：a £a。下面
2 1 1 2 n
用数学归纳法证明：
①当n=1时，a £a显然成立；
1
②假设当n=k(k ³1)时，有a £a成立，则当n=k+1时，由
k
a 3 =a + a £a+ a £a3知，a £a，因此，当n=k+1时，a £a成立。
k+1 k k k+1 k+1
故对任意的nÎN*，a £a成立。
n
综上所述，存在常数M =max{x ,a}，使得对于任意的nÎN*，都有a £M .
0 n
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