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吉林省吉林市第一中学 2026 届高三上学期第一次质量检测
数学试卷（创新班）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数 在复平面内对应的点位于( )
5
A.第一 象=限 3 −2 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列 年我国暑期档票房前三名．高一 班
共有 名同学，有 人观看了《南京照相馆》，有 人观看2了02《5浪浪山小妖怪》，有 人观看了(《1)长
安的荔28枝》，有 人1同5时观看了《南京照相馆》和《浪8浪山小妖怪》，有 人同时观看了1《4 南京照相馆》
和《长安的荔枝》3，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的3人数为( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
3.已6知等差数列 的公差为7 ，且 成等8比数列，则 ( )9
A. B. 3 2, 4, 9 C. 6 = D.
4.如16图，在 中，点 是17 的中点，过点 的1直9线分别交直线 ，20 于不同的两点 ， ，若
▵ 则 的最小值 为( ) =
2 8
, = , >0, >0, +
A. B. C. D.
5.如2图，下列函数的图象和下9图最接近的是( ) 10 18
A. B. C. D.
2 2 2 sin
=2 − −1 = −2 =4 2 +1 =ln
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1 96.已知函数 ，满足 ，则实数 的取值范围是( )
1
= +1+ 3 +2 + <1
A. B. C. D.
1 1
7.在
−∞,−1
中，角 、 、 所对
−1
的
,+
边
∞
分别为 、 、
−
，
∞
且
,−2 −2,+∞
， ，
2
为 ▵ 的外心， 则 的值为( ) 2 cos +2 cos = cos + 3 sin = +
▵ ⋅
A. B. C. D.
2 3 2 3 2 2
− 3 3 −3 3
8.已知 为正数， ，则( )
− 1
A. sin2 − B . + =2sin(ln ) C − . + D.
二、 多+ 选≤题1：本题共3小题， +共 18≥分1。在每小题 给 出≤的 选项中，有多 项 符≥合 题目要求。
9.下列论述正确的是( )
A.若事件 ，则
B.必然事件 ⊆与 任意事 件 相<互 独 立
C.若事件 ， 互斥，且 ， ，则
D.若事件 ， 相互独立 ， 且 >0 ， >0 ，则 事∪ 件 =，1 不互斥
10. 多选 已知 函数 >0 >0 ，其部分图象如图所示， ， 分
别为(最高)点、最低点 (， )则=下 列sin结( 论 正+确 的)+是 (( )>0, >0,− < <0)
A.函数 图象的对称中心为点 ，
B.函数 ( )的单调递减区间为 (6 +5,0) ∈ ，
C.将函数 ( ) 的图象向左平移(12个 单+位8,1长2度 +得1到4)一个 偶∈函 数
D.不等式 ( ) 的解集为 4 ，
( )≥4 [12 +6,12 +10] ∈
11.已知定义域为 的函数 的所有单调增区间，从左往右排列可以表示为 ， ，
sin ∗
,+∞ ( )= , ∈
令 ，且数列 的前 项和为 ，则( )
=
A. B. 是递增数列 C. D.
4 2
三、
填
=
空
− 题4+
：
2
本
题
共3小题，
每
小题5分，共15
分
≤
。
1−3 +1 < +3 +1
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2 912.已知点 在函数 的图象上，则 点到直线 的距离的最小值为 ．
2ln
13.在 中，若 = ，则 的2 取−值 范+围8为=0 ．
14.在平▵ 面 内 ，定点cos2 +满cos足2 =2cos2 sin， ，动点 满足
， ，, 则, , 的最 大 值=为 =． ⋅ = ⋅ = ⋅ =−2 ,
四 、 解=答1题 ： 本=题 共 5小题 ， 共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题 分
某中(学举行了13一次)“数学文化知识竞赛”，规定按照成绩由高到低取前 进入决赛．为了了解本次竞赛
成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩 单位：分，得分取正整数， 10% 作为样本进行统计，将
成绩进行整理后，分为六组 如图 ： ( 40≤ ≤ 100)
( )
求 的值并估计进入决赛的最低分数：
(1)如果 用按比例分层抽样的方法从样本成绩为 和 的学生中共抽取 人，再从 人中选 人，
(求2) 人中有来自 组的学生的概率； [60,70) [70,80) 6 6 2
2学校在此次竞[赛60成,70绩)中抽取了 名学生的成绩： ，已知这 个成绩的平均数 ，
−
(标3)准差 ，若剔除其中的 和10 两个成绩，求剩 1余, 2, 个3,成⋯绩, 的10平均数与方10差． =90
16. 本小 =题5 分 94 86 8
( 15 )
在 中，角 所对的边分别是 已知 ， 的面积为 ．
+
▵求 ； , , , , . sin = sin 2 , =5 ▵ 10 3
(1) 为 ,边 上一点，
①(2)若 是 的平分线，求线段 的长；
②若 ∠ ，求 ．
17. 本 小=题2 分 tan∠
( 15 )
将函数 的零点按照从小到大的顺序排列，得到数列 ，且 ．
2 1 5
求 ； =sin − 3 −2 >0, >0 1 =6
(1)
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3 9求数列 的前 项和 ．
(128). 本小题 分
( 17 )
设 ，函数 ．
若>曲0线 在 = 处(的 切>线0)恒过原点，求 的值；
(1)若存在一 组 = 0 ，使得 的定 义0 域和值域均为
((ⅰ2)求) 的取值范 围,； ( > >0) ,
(ⅱ)若 ，求实数 的取值范围．
19. 本 小≤题2 分
( ，都1存7在唯)一的实数 ，使得 ，则称函数 存在“源数列” 已知
∗
∀ ∈． = . = −ln , ∈
0,1证明： 存在源数列；
(1)①若 恒成立，求 的取值范围；
(2) − ≤0
②记 的源数列为 ，前 项和为 证明： ．
7
. <4
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4 9参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10 .
11.
12.
2 5
13.
3
0, 2
14.
7
15.2【详解】 由图可知： ，解得 ，
因 (1) ， 10× 0.010+0.015+0，.015+ +0.025+0.005 =1 =0.030
则成0.0绩0由5×高1到0低=的0.前05 10分×数0线.00必5在+0.025 之=间0.3，
设分数线为 ，则 10% 80,90 ，得 ，
则进入决赛的 最低分10数×为0.005分+0.025 90− =0.1 =88
88 .
样本成绩位于 和 的比例为 ，
0.015×10 1
(2) 60,70 70,80 0.030×10=2
故所抽取的 个人中，来自 的人数为 ，设这两个人为
1
6 60,70 6×3=2 1,2,
来自 的人数为 ，设这 个人为 ，
2
则从 70个,8人0 中随机抽取6×3个=人4的所有情4况有： , , ,
6 2 ，
1人2 中, 1有 来, 自1 , 1 ,组1情 况, 2有 , 2 , 2 , 2 , , , , , , ，
2 60,70 12 , 1 , 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , 2
故 人中有来自 组的学生的概率为 ；
9 3
2由 ，可得60,70 15=5 ，
(3) =90 1+ 2+ 3+⋯+ 10 =90×10= 900
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5 9则剔除其中的 和 两个分数，剩余 个数平均数为 ，
900−94−86
94 86 8 8 =90
又标准差 ，则
2 1 2 2 2
=5 =10 1− + 2− +⋯+ 10−
1 2 2 2 2 2
= 1+ 2+ 3+⋯+ 10 −2 1+ 2+⋯+ 10 +10
10 ，
1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2
=10 1+ 2+ 3+⋯+ 10 −10 =10 1+ 2+ 3+⋯+ 10 −
故 ，
2 1 2 2 2 2 2 2
则 =10 1+ 2+ 3+⋯+ 10 ，−90 =5
2 2 2 2
1+ 2+ 3+⋯+ 10 =81250
则剩余的 个数的方差为 ．
1 2 2 2
8 8 81250−94 −86 −90 =27.25
16.【详解】 因为 ，所以 ，
+ −
(1) sin =sin 2 2sin2cos2 =sin 2 =cos2
因为 ，则 ，故由 ，可得 ．
1
0< 2 < 2 cos2 ≠0 sin2 =2 = 3
因为 ， ，解得 ，
1
▵ =2 sin =10 3 =5 =8
由余弦定理得 ，解得 ．
2 2 2 1
= + −2 cos =64+25−2×8×5×2=49 =7
(2)
①因 ，
1 1
▵ = ▵ + ▵ =2× × ×sin∠ +2× × ×sin∠
依题意有 ，解得 ．
5 40 3
②设 2 si ， n6所 + 以 4 sin6 =10 3 ． = 13
∠ = ∠ = 3− ,0< < 3
在 中，由正弦定理得， ，即 ，
在 ▵ 中，由正弦定理得，sin∠ =sin ， 即 sin∠ =5sin ，
▵ sin∠ =sin(3− ) sin∠ =8sin(3− )
因 ，代入化简得 ，
=2 ,sin∠ =sin∠ 4sin(3− )=5sin
即 ，解得 ，即 ．
2 3 2 3
2 3cos −2sin =5sin tan = 7 tan∠ = 7
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6 917.【详解】 ， ，
5 5 5 2 1
(1)∵ 1 =6 ∴ 6 =sin 6 − 3 −2=0
即
5 2 1
sin 6 − 3 =2
， ，
5 2 2
∵ >0 ∴6 − 3 >− 3
因为 是最小的正零点，所以 应该取大于 的最小值，
5 2 2
1 6 − 3 − 3
，
5 2
∴解6得 − 3 =；6
=
由 知 ， ，
2 1
(2) (1) = =sin − 3 −2
令 ，
2 1
=sin − 3 −2=0
则 ，
2 1
sin − 3 =2
或 ，
2 2 5
∴ − 3 =2 +6, ∈ − 3 =2 + 6 , ∈
解得 或 ，
5 3
=2 +6, ∈ =2 +2, ∈
数列 的奇数项是首项为 ，公差为 的等差数列，
5
6 2
数列 的偶数项是首项为 ，公差为 的等差数列，
3
2 2
所以当 为偶数时， ；
5 2 2−1 3 2 2−1 1 2 1
=2×6+ 2 ×2+2×2+ 2 ×2= 2 +6
所以当 为奇数时， ；
+1 +1 −1 −1
+1 5 2 2 −1 −1 3 2 2 −1 1 2 1 1
= 2为奇×6数+ 2 ×2+ 2 ×2+ 2 ×2= 2 +6 +6
所以 ．
1 2 1 1
为偶数
2 +6 +6,
= 1 2 1
2 +6 ,
18.【详解】 因为 ，所以 ′ ，
−1
(1) = = 2
故 在 处的切线方程为
0 0 0−1
0 − 0 = 0 2 − 0
因为其过原点，所以
0 − 0 0−1
解得： ． − 0 = 0
ⅰ 由0 =2知 在 上单调递减，在 上单调递增．
(2)( ) (1) 0,1 1,+∞
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7 9①当 时，函数 在 上单调递减，有
=
< ≤ 1 , ,
即 ， ，所以 ，不符合题意；
=
= = =
②当 时，函数 在 上单调递增，有
=
1≤ < , ,
即 在 上有两个根． =
2
= 1,+∞
设 ， ，由 ′ 知 在 上单调递增，在 上单调递减，所以
2 2
2 − 1
= ∈ 1,+∞ = 1,2 2,+∞ ≤ <
；
4
2
③ 当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 <1< ,1 1, ．
min = 1 = = <1, max =max , =
所以 ．
1
<
又因为 ，
−1
= = = <1<
所以只需证 时， 有大于 的根即可．
1
< = = 1
由 的单调性知其成立．
2
= ( >1)
综上： ．
4
0< < 2
(ⅱ)由(ⅰ)知当 ，即 时， 时，此时 不合题意；
1
<1< 0< < <1, >2 >2
当 时，有 、 满足 ，
2 2
1≤ < = = (1≤ <2< )
设 ，所以 ，则 ．
2 2 2
2ln
令 = (1< ， ≤2) 则 = ′ = −1 ，
2ln 2 1
ℎ = −1 (1< ≤2), ℎ = −1 2 1− −ln
设 ，由 ′ 知 在 单调递减，
1 1 1
于是 =1− −ln ， = 2− <0 1,2
所以 ′ < 1，=0 在 单调递减，
因为ℎ <0 ，ℎ所 以 的1,2取值范围为 ．
ℎ 2 =2ln2 2ln2,2
19.【详解】 由 ，得 ′ ，即 在 上单调递减，
1 1 −2
又 ，(当1) 且=无 限−趋ln近 ,于 ∈ 时0,，1 趋 向于 正=无2穷 大−， =即 2 的<值0域为 0,1
1 =1 >0 0 1,+∞ ,
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8 9对于 可以取到任意正整数，且在 上都有存在唯一自变量与之对应，
故对于 ，令 ，其在 ∈上0的,1解必存在且唯一，
∗
不妨设解∀ 为∈ ，即 =， 则都存在0,唯1 一的实数 ，使得 ，
∗
即 存在源 数列．∀ ∈ ∈ 0,1 =
① 恒成立，即 恒成立，
( 令 2) − ≤ ， 0 即 ≥ 恒 − 成立 ， ln
2
令 = ∈ 0,1 ， 则≥′ −2 ln ，
2
令 = ′−2 ln =2 −2ln， −则2 ′ ，仅在 时取等号，
2
即 在= 上 单=调2 递−减2，ln 故−2, ∈ 0,1 ， 即 =在2− ≤上0单调递增 ，=1
故 0,1 ，故 ； ≥ 1 =0 0,1
② 由① m 得 ax = 1 =，1故 ≥ 1 ，即 ，则 ，
1 1 1 1
≤ ≤ ≤ ≤ 2
当 时， ．
1 1 1 1 1 1
≥2 ≤ 2 < 2 −1= −1 +1 =2 −1− +1
当 时， ；
1 7
=1 1 = 1 ≤1 2 =1< 4
当 时，
1 1 4 7
当 =2 时， = 1+ 2 <1+2 1−3 =3<4
>2 = 1+ 2+ 3+⋯ −1+
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
<1+ 1− + − + − +⋯+ − + −
2 3 2 4 3 5 ， −2 −1 +1
1 3 1 1 7 2 +1 7
=1+2 2− − +1 =4−2 +1 <4
综上： ．
7
<4
第 页，共 页
9 9
