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高二数学期末试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知数列 是正项等比数列，且 ，又 ， ， 成等差数列，则 的通项公式为（ ）
A. B. C. D.
2. 记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ，则 取最小值时， 的取值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 7或8 D. 8或9
3. 在数列 中， ， ，则 （ ）
A. 2 B. C. D.
4. 已知随机变量 服从 ，若 ，则 （ ）
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5
5. 某学校寒假期间安排3名教师与4名学生去北京、上海参加研学活动，每地要求至少 1名教师与2名学生，且教师
甲不去上海，则分配方案有（ ）
A. 36种 B. 24种 C. 18种 D. 12种
6. 两批同种规格的产品，第一批占70%，次品率为6%；第二批占30%，次品率为5%．将这两批产品混合，从混合
产品中任取1件，则这件产品是次品的概率为（ ）
A. 5.5% B. 5.6%
C. 5.7% D. 5.8%
7. 3名男生和3名女生随机站成一排，恰有2名女生相邻，则不同的排法种数为（ ）
A. 332 B. 360 C. 432 D. 488
8. 已知定义域均为 的函数 的导函数分别为 ，且
，则不等式 的解集为（ ）A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若随机变量 ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数 有2个极值点，则 的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
11. 袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球和2个白球，每次随机取1个，有放回地取球，则下列说
法正确的是（ ）
A. 若规定摸到3次红球即停止取球，则恰好取4次停止取球的概率为
B. 若进行了10次取球，记 为取到红球 次的数，则
C. 若规定摸到3次红球即停止取球，则在恰好取4次停止取球的条件下，第1次摸到红球的概率为
D. 若进行了10次取球，恰好取到 次红球的概率为 ，则当 时， 最大
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知 是函数 的极大值点，则 __________.
13. 已知函数 ，则不等式 的解集为__________.
14. 若不等式 对 恒成立，则 的最大值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知 或 .
（1）若命题 是真命题，求实数 的取值范围；
的
（2）若 是 必要不充分条件，求实数 的取值范围.
16. 已知幂函数 为偶函数，且函数 满足 .
（1）求函数 和 的解析式；
（2）对任意实数 恒成立，求 的取值范围.
17. 已知函数 在点 处的切线与直线 垂直．
（1）求 的单调区间和极值；
（2）证明： ．
18. 如图，四边形 为菱形， ， ，平面 平面 ， ， ，
，点 在线段 上（不包含端点）．
（1）求证： ；
（2）是否存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ？若存在，则求出 的值；若不存在，请说明理由．
19. 法国著名数学家拉格朗日给出一个结论：若函数 在闭区间 上的图象是一条连续不断的曲线，在开区间
上都有导数，则在区间 上存在实数 ，使得 ，这就是拉格朗日中值定理，其中 称为 在区间 上的“拉格朗日中值”.已知函数
.
的
（1）利用拉格朗日中值定理求函数 在 上 “拉格朗日中值”；
（2）利用拉格朗日中值定理证明：函数 上任意两点连线的斜率不小于 ；
（3）针对函数 ，请证明拉格朗日中值定理成立.
DCACC CCB 9ABD 10BC 11BCD
12
13 14 3
15 【小问1详解】
因为命题 是真命题，所以命题 是假命题，即关于 的方程 无实数根.
当 时，方程无解，符合题意；
当 时， ，解得 .
故实数 的取值范围是 .
【小问2详解】
由（1）知若命题 是真命题，则 或 .
因为命题 是命题 的必要不充分条件，
所以 或 或 ，
⫋
则 解得 ，
所以实数 的取值范围是 .16【小问1详解】
由 为幂函数，得 ，解得 或 .
因为 为偶函数，所以 ，
则 .
由 ，可得 ，令 ，
则 ，
.
所以
【小问2详解】
由 ，可得 ，
故 ， ，
令 ，则 ，
当且仅当 1，即 时，等号成立，
所以 ，即 ，所以 的取值范围为 .
17【小问1详解】
由题意知 ，所以 ，
又函数 在点 处的切线与直线 垂直，
所以 ，解得 ，
所以 ， ，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
又 ，所以 的极小值为 ，无极大值．
【小问2详解】
证明：要证 ，即证 ，即证 ，
当 时， ， ，不等式显然成立；
当 时，令 ，所以 ， ，
令 ，所以 ，
令 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
又 ， ，所以存在 ，使得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ， ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，所以原命题得证．
18【小问1详解】
证明：如图，连接 ，因为四边形 为菱形，所以 ．
因为 ，所以 ，又平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．又 平面 ，所以 ．
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ．
又 平面 ，所以 ．
【小问2详解】
连接 ，交 于点 ，取 的中点 ，连接 ．
在 中， ， 分别是 ， 的中点，所以 ．
由（1）知 平面 ，又 ， 平面 ，所以 ， ，
又 ，所以 ， ．
以 为原点，以 ， ， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则 ， ， ， ，所以 ， ，
所以平面 的一个法向量是 ．
设 ，则 ，
解得 ， ， ，即 ，所以 ．
设 ，
所以 ．
设平面 的一个法向量为 ，
则
令 ，解得 ， ，所以 ．
所以 ，
解得 或 （舍）．
所以存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ，此时 ．
19小问1详解】
由题， ，
因 ， ，
则 （负值舍去）；
【小问2详解】由题， ，
设 ，
设 ，
则 在R上单调递增，注意到 ，
则当 在 上单调递增，
在 上单调递减，
则 ，
设函数 上任意两点为 ，
则函数 上任意两点斜率的表达式为 ，
由拉格朗日中值定理，在区间 上存在实数 ，
使 ，即 ，
因 ，则 ，
即函数 上任意两点连线的斜率不小于 ；
【小问3详解】
，
由题即相当于证明， ，存在 ，使 ，
即，
即命题等价于证明对任意 ， ，
下面证明： ，
先证： ，
不等式两边同时除以a，所证不等式变为 ，
令 ，则所证不等式可化为 ，
构造函数 ，则 ，
则 在 上递减，则 ，则 ；
再证： ，
因 ，则所证不等式可化为 ，
即 ，令 ，则所证不等式可化为 ，
构造函数 ，则 ，则 上递增，则 ，则 ，
在
又由基本不等式可得 ，则 ，
又注意到 ，则 ，
即对任意 ， ，则命题得证.
