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河东区 2024～2025 学年度第一学期期末质量检测
高三数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共45分）
一、选择题：（本题共9个小题，每小题5分，共45分．每小题给出的四个选项只有一个符
合题目要求）
1. 设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 若 ，则“ ”是“ ”成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
3. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4. 某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成
绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物
理成绩大于等于60分的人数为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 270 B. 240 C. 180 D. 150
5. 已知 ， ， ，则这三个数的大小顺序是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，正三棱柱 的底面边长为 1，高为3，已知 为棱 的中点， 分别在棱
上， ，记四棱锥 ，三棱锥 与三棱锥 的体积分
别为 ，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数 ，则下列说法中，正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 在区间 上单调递增
C. 的最小正周期为
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学科网（北京）股份有限公司D. 的图象可由 的图象向右平移 个单位得到
8. 抛物线 的焦点 是双曲线 的右焦点，点 是曲线 的
交点，点 在抛物线的准线上， 是以点 为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线 的离心率为
.
A B. C. D.
9. 已知 且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
10. 已知 为虚数单位，复数 ，则复数 的虚部为________
11. 在 展开式中， 的系数是______．
的
12. 已知圆 与抛物线 的准线交于 两点，且 ，则 的值
为______．
13. 某厂产品有 的产品不需要调试就可以出厂上市，另 的产品经过调试以后有 能出厂，则
该厂产品能出厂的概率______；任取一出厂产品，求未经调试的概率______．
14. 在等腰梯形 中， ， 是腰 的中点，则 的值为
______；若 是腰 上的动点，则 的最小值为______．
15. 已知函数 ，若 有三个不等零点，则实数 的取值
范围是______．
三、解答题：（本大题5个题，共75分）
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学科网（北京）股份有限公司的
16. 内角 的对边分别为 ，已知 ， ．
（1）求 ；
（2）若 ，求 ．
17. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
， 为 中点，点 在线段 上，且 .
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）求平面 与平面 所成角的正弦值.
18. 已知椭圆 一个顶点 ，以椭圆 的四个顶点为顶点的四边形面积为
．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线
交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．
19. 设 是等差数列， 是等比数列，公比大于 0，已知 ，
．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求 和 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和 ．记 ，求 ；
（3）求 ．
20. 已知函数 与 为函数 的极值点．
（1）求 的值；
（2）求 在点 处的切线方程；
（3）若 恒成立，求实数 的取值范围．
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