文档内容
黄山市 2025 届高三毕业班质量检测
数学
本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无
效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由 ， 或 ，
所以 .
故选：D
2. 设复数 满足 ，则 （ ）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】A
【详解】由题设 ，则 .
故选：A3. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一（如图1），一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱
（如图2），其中总高度为 ，圆柱的高度为 ，该陀螺由密度为 的木质材料制成（密度
），其总质量为 ，则此陀螺圆柱底面的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】此陀螺圆柱体积 ，
设此陀螺圆柱的底面半径为 ，则 ，
此陀螺圆柱的底面面积 .
∴
故选：C.
的
4. 为了解某市居民用水情况，通过简单随机抽样，获得了100户居民用户 月均用水量（单位： ），将该数据
按照 ，分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图．政府要对节约用
水的用户予以表彰，制定了一个用水量标准 ，使表彰的居民不超过15.4%，则以下比较适合作为标准 的为
（ ）A. 3.2 B. 5 C. 5.04 D. 15.7
【答案】A
【详解】由题意及 ，则 ，可得 吨.
故选：A
5. 已知双曲线 渐近线的斜率小于 ，则离心率 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】依题意， ，而 ，
因 ，故得 .
故选：B.
6. 已知各项均为整数的数列 中， ， ，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数
列，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由题意，设前10项等差数列的公差为 ，则 ，解得 ，.
所以
设第9项起依次成的等比数列的公比为 ，则 ，即 .
所以 .
故选：B.
7. 如图1，为了测量两山顶 ， 间的距离，飞机沿水平方向在 ， 两点进行测量， ， ， ， 在同一
个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知 ， ， ， ，
，则 （ ）
A. B. C. D. 10
【答案】C
【详解】由题设 ， ，则 ，而 ，
所以 ，则 ，
由 ， ，则 ，而 ，
又 ，所以 ，则 ，
由
.
故选：C
8. 定义方程 的实数根 叫做函数 的“新驻点”．若函数 ， ，
的“新驻点”分别为 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】根据题意， 求导得 ，
由 即 解得 ，所以函数 的“新驻点” .
同理， 求导得 ，则 即 ，
设函数 ，易知函数 在定义域上单调递增，
且 ，
根据零点存在定理可知， 的根 .
由 求导得 ，则 即 ，
设函数 ，则 ，所以，当 或 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
因为 ，
根据零点存在定理，可知 的根 .
综上， .
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题
目要求的.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，一条河两岸平行，河的宽度 ，一艘船从河岸边的 地出发，向河对岸航行，已知船的速度
的大小为 ，水流速度 的大小为 ，设 和 的夹角为 ，则下
列说法正确的为（ ）
A. 当船的航行时间最短时，
B. 当船的航行距离最短时，
C. 当 时，船的航行时间为6分钟
D. 当 时，船的航行距离为
【答案】AC
【详解】对于A，将船的速度 和水流速度 进行合成，船垂直河岸方向的分速度 ，河宽 ，则渡河时间 ，
当 ，即 ， 取得最小值，所以当船的航行时间最短时， ，故A正确；
对于B，当船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，如图，
则 ，所以 ，故B错误；
对于C，当 时，船垂直河岸方向的分速度 ，
船的航行时间 ，即6分钟，故C正确；
对于D，将船的速度 和水流速度 进行合成 ，则 ，
当 时， ，
所以 ，
因为船垂直河岸方向的分速度 ，
所以船的航行时间 ，所以船的航行距离为 ，故D错误.
故选：AC.
10. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，过点 作直线交抛物线于 ，
两点，则（ ）
A. 的最小值为4
B. 以线段 为直径的圆与直线 相切
C. 当 时，则
D.
【答案】BCD
【详解】由题设 ，则 ， ，
可设 ，联立抛物线得 ，显然 ，
所以 ， ，则
，当且仅当 时等号成立，A错；
由抛物线的定义知 ，而 的中点横坐标为 ，
所以 的中点与直线 的距离为 ，即为 的一半，
所以以线段 为直径的圆与直线 相切，B对；
若 ，且 ，则 ，而 ，所以 ，则 ，
所以 ，则 ，C对；
由 ，D对.
故选：BCD
11. 已知 是定义在 上的奇函数，且 图象连续不间断，函数 的导函数为 ．当
时， ，其中 为自然对数的底数，则（ ）
A. 在上有且只有1个零点 B. 在区间 上单调递增
C. D.
【答案】ACD
【详解】令 ，而 是定义在 上的奇函数，则 ，
，即 在R上也是奇函数，
而 ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，结合奇函数性质知： 在R上单调递减，综上， 时 ， 时 ， ，故 ，
显然 时 ，故 时 ， 时 ，
所以 在 上有且只有1个零点， ， ，A、C、D对；
由 ，显然 在 上单调递增，且 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，且周期为 ， ，
所以 在 上不一定单调，B错.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题．每小题5分，共15分.
12. 已知函数 ，则 ________．
【答案】0
【详解】由 ，可得 .
故答案为：0.
13. 某单位在五一假期，需要从5人中选若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值
班2天，共有________种不同的安排方法．
【答案】1280
【详解】根据题意，第一天从5个人中选1个人值班，有5种选法；第二天不能选第一天值班的人，所以有4种
选法；第三天同样不能选第二天值班的人，所以还是有4种选法；第四天也不能选第三天值班的人，有4种选
法；第五天不能选第四天值班的人，有4种选法.
所以，总共有 种不同的安排方法.
故答案为：1280.14. 已知 ， 都是锐角， ， ，则 ________．
【答案】 ##
【详解】由 ，可得 ，故 ，
因 ，代入解得 ，
可将 看成方程 的两根，解得 或 ，
因 ， 都是锐角，且 ，由 ，解得 ，
而 ，故 ，则 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为了解学生课余时间体育锻炼情况，某校对100名学生平均每周的体育锻炼时间进行了调查，统计数据
如下表：
每周体育锻炼的时间（小时）
人数 3 4 8 11 41 20 8 5
用频率估计概率，该校学生平均每周的体育锻炼时间 近似服从正态分布 ， 近似为样本平均数
（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）， 近似为样本标准差 ，并已求得 ，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（1）该校共5000人，试估计该校大约有多少学生平均每周的体育锻炼时间15小时以上（结果四舍五入）；
（2）若在该校随机抽取3位学生，设其中平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数为 ，求随机变量 的
分布列和均值．
附：若 ，则 ， ，
．
【答案】（1） 个学生；
（2）分布列见解析，均值为 .
【小问1详解】
由题设 ，且 ，
所以该校学生平均每周的体育锻炼时间 近似服从正态分布 ，
由 ，
所以估计该校大约有 个学生平均每周的体育锻炼时间15小时以上；
【小问2详解】
由（1）知 ，
则平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数服从 分布，
所以 ， ，
， ，所以分布列如下，
0 1 2 3
.
16. 平面内，动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离的比是常数 ，记动
点 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2） 为坐标原点， 为曲线 上不同两点，经过 两点的直线与圆 相切，求 面积
的最大值．
【答案】（1）
（2）1
【小问1详解】
设 到定直线 的距离为 ，
依题意，可得 ，化简得 ，
即曲线 的方程为 .
【小问2详解】
依题意，直线 的斜率不可能是0，不妨设其方程为： ，
则圆 的圆心到直线 的距离 ，即 ①由 消去 ，可得 ，
由 ，可得 ，
设 ，则 ，
则
，
将①式代入，化简得： ，
因点 到直线 的距离为 ，
则 的面积为 ，
设 ，则 ， ，
因 ，当且仅当 时取等号，
此时 ， 的面积的最大值为 .17. 如图1，在平行四边形 中， ， ， 为 的中点， 为 的中点，
，沿 将 翻折到 的位置，使 ，如图2．
（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 和平面 所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）0.
【小问1详解】
如图，连接 ，交 于点 ，
四边形 是平行四边形， 为 的中点，
， ，故 ，故 为 的三等分点，， 为 的三等分点，即F为 的中点，
又 为 的中点， ，即
平面 ， 平面 ，
平面 .
【小问2详解】
由题意， ， ，则 是等边三角形，
所以， ， ， .
在 中， ，
根据余弦定理， ，
故 ，即 ，
，故 ，
又 在等边 中， 为 的中点， ，
， ， 平面 ， 平面 ,
平面 .
平面 ， ，
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
平面 .
在 中， ,.
由题意， ，所以梯形 是等腰梯形，则 ，所以 ，
又 ， .
以点 为坐标原点，以 分别为 轴、 轴正方向，过点 作平面 的垂线为 轴，建立如图所
示坐标系.
则 ， ， ， ， ，
， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，令 ，则 ，所以
设平面 和平面 的夹角为 ,
则 ，
所以平面 和平面 的夹角余弦值为0.
18. 已知函数 ，其中 为自然对数的底数．
（1）当 时，判断函数 在区间 上的单调性；
（2）令 ，若函数 在区间 上存在极值，求实数 的取值范围；
（3）求证：当 时， ．
【答案】（1）函数 在区间 上的单调递减；
（2） ；
（3）证明见解析.
【小问1详解】
由题设 ，则 ，
当 ，有 ，则 ，
所以 在区间 上的单调递减；
【小问2详解】
由题设 ，则 ，所以 上 ，即 在 上有解，
令 且 ，则 ，
所以 在 上单调递增，故 ，即 ；
【小问3详解】
由 ，只需证 恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ，即 在 上单调递减，
当 时， ，即 在 上单调递增，
所以 ，故 ，
所以 ， 恒成立.
19. 若数列 ， ，其中 ，对任意正整数 都有 ，则称数列 为数列 的“接
近数列”．已知 为数列 的“接近数列”，且数列 ， 的前 项和分别为 ， ．
（1）若 （ 是正整数），求 ， ， 的值；
（2）若数列 是公差为 的等差数列，且 ，求证：数列 是等差数列；
（3）若 （ 是正整数），判断是否存在正整数 ，使得 ？如果存在，请求出 的最小值，如果不存在，请说明理由．（参考数据： ， ）
【答案】（1） ， ， ；
（2）证明见解析； （3）存在，最小k为7.
【小问1详解】
由题设 ，且 ，
所以 ，即 ， ，
，即 ， ，
，即 ， ，
所以 ， ， ；
【小问2详解】
由题设 ，则 ，
所以 ， ，则 ，
所以 ， ， ，
所以 ，故 ，即数列 是等差数列；
【小问3详解】
当 为奇数时 ， ，则 ，由 ，即 ， ，则 ；
当 为偶数时 ， ，则 ，
由 ，即 ， ，则 ；
所以 且 ，则 且 ，
而 ，
要使 ，则 ，
当 且 ，则 ，
所以 ，则 ，可得 ；
当 且 ，则 ，
所以 ，则 ，显然不成立；
的
综上， 时 最小值为7.
