2024届明日之星高考数学（文科）精英模拟卷全国卷_2024高考押题卷_72024正确教育全系列_2024明日之星全系列

2024 届明日之星高考数学（文科）精英模拟卷 【全国卷】 【满分：150分】 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知复数 为纯虚数，则实数a等于( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 2.设全集U R，集合 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 3.已知向量a，b满足 ，ab1，则 ( ) A.4 B.3 C.2 D.0 4.设xR，则“ ”是“ |x1|1 ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知数列 是等差数列，前n项和为 ，若 ， ， 则 ( ) A.10 B.15 C.20 D.40 6.中国的计量单位可追溯到4000多年前的氏族社会末期，秦王统一中国后，颁布了统一度量 衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器，如图是当时的一种度量工具“斗”（无盖，不 计厚度）的三视图（正视图和侧视图都是等腰梯形），若此“斗”的体积约为2000立方厘米， 则其高约为( )（单位：厘米） 版权所有©正确教育 侵权必究！A.8 B.9 C.10 D.11 7.已知 ，若 恒成立，则k的最大值为( ) A.4 B.5 C.24 D.25 8.若双曲线 （ ， ）的左，右焦点分别为 ， ，点P为C的左支上 任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线， ，垂足为Q.当 的最小值为6时， 的中点在双曲线C上，则C的方程为( ) A. B. C. D. 9.堑堵即底面为直角三角形的直棱柱，最早的文字记载见于《九章算术》.如图所示，堑堵可 以分割成一个阳马（底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面 都为直角三角形的四面体）.已知鳖臑体积为6， ， ，则阳马中AC与DF夹角 的余弦值为( ) 版权所有©正确教育 侵权必究！A. B. C. D. 10.已知函数 的部分图象如图所示，将 的图象向 右平移 个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 倍，得到函数 的图象， 若 在 上恰有3个零点，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 11.设函数 在R上满足 ，且当 时， 成立，若 ， ， ，则a，b，c的大小关系是( ) 版权所有©正确教育 侵权必究！A. B. C. D. 12.已知椭圆 的离心率为 ，左顶点是A，左､右焦点分别是 ， ， M是C在第一象限上的一点，直线 与C的另一个交点为N.若 ，则直线 的斜 率为( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表： 广告费用x(万元) 4 2 3 5 4 销售额y(万元) 26 39 54 9 根据上表可得回归方程 中的 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 ________万元. 14.著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航 x  天中应用广泛.其定义是：对于函数 ，若数列 满足 ，则称数列 n x  a 1 为“牛顿数列”.已知函数 ，数列 n 为“牛顿数列”， ，且 1 ， a  ，则 8 __________. 15.已知 为锐角， ，则 __________. 版权所有©正确教育 侵权必究！16.已知函数 ，若方程 恰有5个不等实根，则实数k的取值范围 是__________． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.（12分）记△ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个 3 S S S  正三角形的面积依次为 ， S 2， .已知 1 2 3 2 ， . （1）求△ABC 的面积； （2）若 ，求b. 18.（12分）为了了解手机用户对手机操作系统A的期待程度，某公司随机在20000人中随机 抽取了100人调查，记录他们的期待值，将数据分成 ， ，…， 6组，其 中期待值不低于60的称为非常期待A系统，现整理数据得到如下频率分布直方图. （1）试估计样本中期待值在区间 内的人数； （2）请根据所提供的数据，完成下面的 列联表，并判断能否有99.5%的把握认为是否非 版权所有©正确教育 侵权必究！常期待A系统与性别有关； 非常期待 不非常期待 合计 男 55 女 20 合计 100 （3）为了答谢用户对A系统的期待和信任，宣传部门决定：从非常期待的人群中用分层抽 样的方法抽出六名代表参加A系统的宣传发布会，在发布会的互动环节中将抽取两位代表赠 送手机，求这两位代表为一男一女的概率. 19.（12分）如图，PA是三棱锥 的高，线段BC的中点为M，且 ， . （1）证明： 平面PAM； （2）求A到平面PBC的距离. ax2 f(x)1 20.（12分）已知函数 ex ，aR . （1）讨论函数 的单调性； （2）若 的极大值为5，求实数a的值. 21.（12分）已知抛物线 经过点 ，直线 与C交于 A，B两点（异于坐标原点O）. 版权所有©正确教育 侵权必究！（1）若 ，证明：直线 过定点； （2）已知 ，直线 在直线 的右侧， ， 与 之间的距离 ， 交C于M，N |MN || AB|10 两点，试问是否存在m，使得 ？若存在，求m的值；若不存在，说明理由. （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22.（10分）[选修4 – 4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 中，已知直线 ，曲线C的参数方程为 （ 为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 . （1）求曲线C和直线 的极坐标方程； （2）若直线 与曲线C分别交于O，A两点，直线 与曲线C分别交于O，B两点，求 的面积. 23.（10分）[选修4 – 5：不等式选讲] 已知函数 ， . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）当 时，若存在 ，使得 成立，求 的取值范围. 版权所有©正确教育 侵权必究！答案以及解析 1.答案：A a10,  解析：因为 为纯虚数，所以1a 0, 解得 .故选A. 2.答案：D 解析：由 得 ，则 ，所以 .当 时， ，则 ，所以 .故选D. 3.答案：B a(2ab)2|a|2 ab212 (1)3 解析： . 4.答案：B 解析：由 可得0 x5；由 可得0 x2 .故由 推不出 |x1|1 ， 而由 能推出x2 5x0，故“ ”是“ ”的必要不充分条件.故选B. 5.答案：C 解析：法一：由题易知 ， ， ， ， 成等差数列，又 ， ，则 . 法二：因为 ， ，所以 ，即 ，所以 . 6.答案：B 版权所有©正确教育 侵权必究！解析：此几何体是上下均为正方形的台体，上底面面积为 ，下底面面积为 ，设高为h，由台体体积公式，得 ，即 ，解得 .所以其高约为9厘米，故选B. 7.答案：C 解析： ，所以 ， ，当且仅当 ，即 时等号成立，即 ，由题意可得： ，又 ， 解得 ，故k的最大值为24.故选C. 8.答案：B 解析： ， ，又 ， 版权所有©正确教育 侵权必究！，双曲线的渐近线方程为 ，即 ， 焦点到渐近线的距离为 ，即 的最小值为b，即 ，不妨设直线OQ为 ， ， 点 ， ， 的中点为 ，将其代入双曲 线C的方程得 ，即 ，解得 ，又 ， ， ，故双曲线C的方程为 .故选B. 9.答案：C 解析：将该三棱柱补全为长方体 ，如图，则AC与DF的夹角即为AC与CG的 夹角，即为 .易知 ， .由 ，即 ， 解得 .易得 ， ， ，由余弦定理得 . 版权所有©正确教育 侵权必究！10.答案：C 解析： 的最小正周期为T，由题图可得 ， ，所以 ， ， ，得 ， ，又 ，所以 ， 所以 .将 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图 象，再将 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，得到 的图象， 故 .当 时， ， 因为 在 上恰有3个零点，所以 ，得 ，故选C. 11.答案：B 解析：因为函数 满足 ，且在R上是连续函数，所以函数 是偶函数.令 ，则 是奇函数，且在R上是连续函数，则 ，因为当 时， 成立，即 ，所以 在 上单调递减，又 版权所有©正确教育 侵权必究！在R上是连续函数，且是奇函数，所以 在R上单调递减，则 ， ， ，因为 ， ， ，所以 ，所 以 ，故选B. 12.答案：A 解析：因为离心率为 ，故可设 ， ，故 ， 故椭圆方程为： ，而 ， ，故 ，因 ， 故 .故直线 与x轴不垂直也不重合，故可设 ， ，则 ，由 可得 ， 因 在椭圆内部，故 恒成立，且 ， 故 ，因 ，故 ， 此时 ， ， 故M在第一象限，符合条件， 的斜率为 . 版权所有©正确教育 侵权必究！13.答案： 解析：由表可计算 ， ，因为点 在回归直线 上，且 ，所以 ，解得 ，故回归方程为 ，令 得 ，故答案为： . 14.答案：128 解析：由 得， ，所以 ， ， 因此 ，所以 ，即 ，所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，故 . 17 2 15.答案： 50 3 4 cos(15) sin15 解析：为锐角， 5， 5 . 24 sin2302sin15cos(15) 25 ， 版权所有©正确教育 侵权必究！9 7 cos2302cos21512 1 25 25. cos215cos23045 cos230cos45sin(230)sin45 7 2 24 2 17 2      25 2 25 2 50 . 16.答案： 解析：当 时， ， 两者不相等，不是方程的实根， 当 时， ，令 ， 当 时， ，当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增，其中 ， 当 时， ， 画出 的图象，如下： 版权所有©正确教育 侵权必究！要想方程 恰有5个不等实根，需要满足 . 17.答案：（1） （2） 3 S S S  解析：（1）由 1 2 3 2 ，得 ，即a2 b2 c2 2. 又 ，所以accosB 1 . 由 ，得 或 （舍去）， 所以 ， 则 . （2）由 ， 及正弦定理，知 ， 所以 ，得 . 版权所有©正确教育 侵权必究！18.答案：（1）40 （2）有 的把握认为是否非常期待A系统与性别有关 （3） 解析：（1）因为样本中期待值不小于60的频率为 ，所以样本中期待值 小于60的频率为0.4，所以样本中期待值在区间 内的人数为 . （2）因为样本中非常期待A系统的人数为 ，所以非常期待A系统 的男用户人数为40.样本中女用户人数为 .列表如下： 非常期待 不非常期待 合计 男 40 15 55 女 20 25 45 合计 60 40 100 ，所以有 的把握认为是否非常期待A系统与 性别有关. （3）样本中非常期待A系统的男用户人数与女用户人数之比为 ，故所抽6人包括4男2 女.记4名男用户分别为A、B、C、D；记2名女用户分别为m、n.从6人中抽取2人，所抽两 人为1男1女记为事件M，从6人中抽取2人包含的样本点有AB，AC，AD，Am，An，BC， BD，Bm，Bn，CD，Cm，Cn，Dm，Dn，mn，共15种，事件M包含的样本点有Am，An， Bm，Bn，Cm，Cn，Dm，Dn，共8种，所以从6人中抽取2人，所抽两人为1男1女的概率 . 19.答案：（1）证明见解析 版权所有©正确教育 侵权必究！（2） 解析：（1）证明：因为 ，线段BC的中点为M，所以 . 因为PA是三棱锥 的高，所以 平面ABC. 因为 平面ABC，所以 . 因为 平面 平面 ， ，所以 平面PAM. （2）法一：设A到平面PBC的距离为d，则在 中， . 在 中， . 因为PA是三棱锥 的高，所以 ，解得 ，所以A到平面PBC的距离为 . 法二：在平面PAM中，过A点作 于点H，如图所示， 因为 平面 ，AH 平面PAM，所以 . 版权所有©正确教育 侵权必究！因为AH  PM ， 平面PBC ， 平面PBC ， ，所以AH 平面PBC. 1 1 1 AM  BC  AB2  AC2   44  2 在 中， 2 2 2 . PM  PA2  AM2  42  6 所以在 中， ， 2 3 所以 ，所以A到平面PBC的距离为 3 . 20.答案：（1）见解析 （2）a e2 2axex ax2ex ax(x2) ax2 f(x)  f(x)1  ex2 ex 解析：（1） ex ，xR，且 . ①若a0，则当 x(,0) 时， f(x)0 ， f(x) 单调递增； x(0,2) f(x)0 f(x) 当 时， ， 单调递减； x(2,) f(x)0 f(x) 当 时， ， 单调递增. ②若a0，则当 x(,0) 时， f(x)0 ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减. ③若 ，则 ， 为常数函数，不具有单调性. 综上所述，当a0时， f(x) 在 ， 上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 在 ， 上单调递减，在 上单调递增； 当 时， 为常数函数，不具有单调性. 版权所有©正确教育 侵权必究！（2）由（1）可得当 时， 在x0处取得极大值，但 f(0)1 ，不符合题意； 当a0时， f(x) 在x2处取得极大值， a22 f(2)1 5 所以 e2 ，解得a e2 ，符合题意. 综上可得a e2 . 21.答案：（1）证明见解析 （2）存在， 解析：（1）证明：将点 代入 ，得 ，即 . 联立 得 ， 设 ， ，则 ， . 因为 ，所以 恒成立，则 ， l 所以 的方程为 ，故直线 1过定点 . x x m3,  1 2 y2 12x,  m2  x x  ,  （2）联立y 2xm, 得 ，则 1 2 4 3 m 且 ，即 2， ， l : y 2xn 设 2 ，同理可得 . 版权所有©正确教育 侵权必究！因为直线 l 2在 的右侧，所以nm，则 ，即nm5 . 所以 ， 即 ，解得 ， 因为 ，所以 . π  R 22.答案：（1） ， 6 （2） π 解析：（1）直线 过原点且倾斜角为6 ， l 直线 1的极坐标方程为 .  曲线C的参数方程为 （ 为参数）， x2  y2 4x0 曲线C的普通方程为 ， 4cos 曲线C的极坐标方程为 .  π A 2 3,   （2）把 代入 4cos ，得 ，  6，  2π B 2,   把 代入 4cos ，得 ，  3 ，即 ， 1 π  π 1 S    sin    2 3212 3    △AOB 2 1 2 6  3 2 . 版权所有©正确教育 侵权必究！23.答案：（1） ； （2） . 解析：（1）当 时， 则由 ，得 ；由 ，得无解； 由 ，得 . 所以不等式 的解集为 ； （2）当 时， ，则 若存在 ，使 成立，则 ， ， 所以a的取值范围为 . 版权所有©正确教育 侵权必究！版权所有©正确教育 侵权必究！