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高二数学试题参考答案第1页(共6 页)
2025 年高三一模考试
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
D
A
C
A
B
D
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
题号
9
10
11
答案
BD
BCD
ACD
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12. 80
13.
6
5
3
或
（注：写对一个不得分）
14. 2
，
10
（注：第一空2 分，第二空3 分）
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13 分）解：（1）零假设
0 :
H
与性别无关.
…………………1 分
根据列联表中的数据得
2
2
0.001
100 (40 30 10 20)
50
16.667
10.828
50 50 60 40
3
x
，
…………5 分
依据
0.001
的独立性检验，可以推断
0
H 不成立，对机器人表演节目的喜欢与性别有关联
…………………6 分
（2）依题意得，
5
4
50
40
)
(
)
(
)
|
A
n
AB
n
A
B
P（
，
…………8 分
5
2
50
20
)
(
)
(
)
|
A
n
B
A
n
A
B
P（
,
…………10 分
则
P B A
P B A
…………11 分
意义：该样本中男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的概率比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢概
率大；或者男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的人数比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢多等
等
…………13 分
16.（15 分）
（1）证明：由
BE
CD //
，
1
DE
CD
BC
,
60
DEB
，易求
2
BE
…………1 分
取PE 的中点M，连结MF，F 为PB 的中点
{#{QQABRQI9wgowkgSACA4KFUWgC0oQkJMjJYoEgQCcKAQDAANAFIA=}#}
高二数学试题参考答案第2页(共6 页)
所以
BE
MF //
,
BE
MF
2
1
,所以
1
MF
,
CD
MF //
所以四边形CDMF 为平行四边形.
………4 分
所以，
DM
CF //
，又
PAD
CD
平面
，
PAD
DM
平面
所以
PAD
CF
平面
//
…………6 分
（2）由
2
EB
PE
,
2
2
PB
，所以
2
2
2
PB
EB
PE
所以
EB
PE
，又平面PBE ⊥平面ABCD 所以PE ⊥平面ABCD …………8 分
以E 为原点，EB 所在直线为x 轴，过E 与EB 垂直的直线为y 轴，EP 所在直线为z 轴,建立如图所示的空
间直角坐标系，则
)
0
2
1
2
3
(
，
，
D
，
)
2
0
0
(
，
，
P
,
)
0
2
0
(
，
，
B
,
)1
1
0
(
，
，
F
,
)
0
1
3
(
，
，
A
,
…………10 分
)
2
1
3
(
，
，
PA
,
)
2
2
0
(
，
，
PB
,
)1
2
1
2
3
(
，
，
DF
设平面ABP 的法向量为n
)
(
z
y
x
，
，
，则
PB
n
PA
n
，
0
0
PB
n
PA
n
，所以
0
2
2
0
2
3
z
y
z
y
x
，取
1
z
，则
3
x
，
1
y
所以平面ABP 的一个法向量为n
)1
1
3
(
，
，
………………………13 分
设DF 与平面ABP 所成角为，则
10
10
3
2
5
|1
2
1
2
3
|
|
|
|
|
|
|
sin
DF
n
DF
n
所以直线DF 与平面ABP 所成角的正弦值为
10
10
3
……………………15 分
17.（15 分）
（1）解：
1
)
(
'
x
ae
x
f
当
0
a
时，
0
)
(
'
x
f
恒成立，此时
)
(x
f
在R 上单调递减
…………………2 分
当
0
a
时，令
0
)
(
'
x
f
，则
a
x
ln
)
ln
(
a
x
，
，
0
)
(
'
x
f
，
)
(x
f
单调递减，
)
ln
(
，
a
x
，
0
)
(
'
x
f
，
)
(x
f
单调递增
综上所述，当
0
a
时，
)
(x
f
的减区间为
)
(
，
，无增区间；
{#{QQABRQI9wgowkgSACA4KFUWgC0oQkJMjJYoEgQCcKAQDAANAFIA=}#}
高二数学试题参考答案第3页(共6 页)
当
0
a
时，
)
(x
f
的减区间为
)
ln
(
a
，
，增区间为
)
ln
(
，
a
.
……………………6 分
（2）因为存在
]1
1
[
，
x
，使得
2
|)
(
|
x
f
.只需
2
)
(
ma
x
f
x
或
2
)
(
m
x
f
in
……………8 分
因为
0
a
，所以
1
)
(
x
x
ae
x
f
x
…………………………10 分
所以只需
2
)
(
ma
x
f
x
由（1）知
)
(
max x
f
为
)1
(
f
与
)1(
f
中的较大者
所以
2
1
)1(
ae
f
或
2
1
)1
(
1
ae
f
解得
e
a
3
或
e
a
，
…………13 分
所以
e
a
3
综上所述，a 的取值范围为
)
3
[
，
e
………………………15 分
18.（17 分）（1）解：若
100
j
i
，则
)
,
(
j
i
的所有取值情况为：
)1,
99
(
),
2,
98
(
),
3,
97
),...(
50
,
50
(
),...,
97
,3
(
),
98
,2
(
),
99
,1(
故数阵
}
{
)
,
(
j
i
a
共99 项，由
2
2
)
,
(
j
i
a
j
i
知：
0
=
)
50
,
50
(a
，
0
=
+
=
...
=
+
=
+
)
,
(
)
,
(
)
2
,
98
(
)
98
,2
(
)
1,
99
(
)
99
,1
(
i
j
j
i
a
a
a
a
a
a
所以
0
=
+
+
+
...
+
+
...
+
+
+
=
)
1,
99
(
)
2
,
98
(
)
3,
97
(
)
50
,
50
(
)
97
,3
(
)
98
,2
(
)
99
,1
(
a
a
a
a
a
a
a
T
.
………………4 分
（2）证明：
(
, )
( , )
(
)(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
m n
p q
a
a
m
n
p
q
mp
nq
mq
np
由
*
, , ,
m n p q
N 知，
*
,
mp
nq mq
np
N ，故
(
, )
( , )
(
,
)
m n
p q
mp nq mq np
a
a
a
，
所以
(
, )
( , )
m n
p q
a
a
也是数阵
( , )
{
}
i j
a
中的项.
……………………………8 分
（3）
1 2 3
i j
n
,
{ , , ,..., }若i
j
知：
2
2
( , )
(
)(
)
i j
a
i
j
i
j i
j
由i
j
与i
j
具有相同的奇偶性知要使
( , )
j i
a
的值为奇数，需使j
i
与j
i
都是奇数，
即i 与j 必定一奇一偶，
当
3
n
时，( , )
i j 的取值情况有4 种，故
3
2
3
4
2
3
P
A
；
当
4
n
时，( , )
i j 的取值情况有8 种，故
4
2
4
8
2
3
P
A
；
当
5
n
时，( , )
i j 的取值情况有12 种，故
4
2
5
12
3
5
P
A
；
……
当
3
n
且n 为奇数时，1 2 3
n
{ , , ,..., }中有
1
2
n 个奇数，
1
2
n 个偶数，
{#{QQABRQI9wgowkgSACA4KFUWgC0oQkJMjJYoEgQCcKAQDAANAFIA=}#}
高二数学试题参考答案第4页(共6 页)
故( , )
i j 的取值情况有
2
1
1
1
2
2
2
2
n
n
n
种，故
2
2
1
1
2
2
n
n
n
n
P
A
n
；
…………………14 分
当
3
n
且n 为偶数时，{1,2,3,
, }
n
L
中有2
n 个奇数，
2
n 个偶数，
故( , )
i j 的取值情况有
2
2
2
2
2
n
n
n
种，故
2
22
2(
1)
n
n
n
n
P
A
n
；
综上所述，当
3
n
且n 为奇数时，
1
2
n
n
P
n
；当
3
n
且n 为偶数时，
2(
1)
n
n
P
n
…………17 分
19.解：（1）由双曲线C 的渐近线方程为
2
y
x
知：
2
b
a
，即
2
2
2
b
a
.
把点( 3,2) 带入双曲线C 的方程得：
2
2
3
4
1
a
b
，由
2
2
2
2
2
3
4
1
b
a
a
b
解得：
2
2
1
2
a
b
，
所以双曲线C 的标准方程为
2
2
1
2
y
x
.
………………………3 分
(2) 解法1：①由题意知切线PQ 的斜率存在，故设切线PQ 的方程为y
kx
m
，
由圆O 的圆心到直线PQ 的距离
2
|
|
2
1
m
d
k
，
所以
2
2
2
2
m
k
…………①
………………………5 分
把y
kx
m
带入
2
2
1
2
y
x
消y 得：
2
2
2
(
2)
2
2
0
k
x
kmx
m
，
由题意知
0
.设
0
0
(
,
)
P x
y
，
1
1
( ,
)
Q x y ，
2
2
(
,
)
R x
y
，
那么由韦达定理知：
0
1
2
2
2
km
x
x
k
，
2
0
1
2
2
2
m
x x
k
，
………………………7 分
那么
2
2
0
1
0
1
0
1
0
1
(
)(
)
(
)
y y
kx
m kx
m
k x x
km x
x
m
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k m
k
k m
m
k
k
2
2
2
2
2
2
k
m
k
，那么
2
2
0
1
0
1
2
2
2
0
2
k
m
x x
y y
k
……………………10 分
所以
0
1
0
1
0
y
y
x
x
OQ
OP
，所以OQ
OP
，同理可得OR
OP
，
所以
,
,
Q O R 三点共线，又由双曲线C 关于原点O对称，所以
,
Q R 两点关于原点对称.……………12 分
②
MQ
MP
是定值-2，证明如下：
连接
,
OP OM ，由①知：OR
OP
，OM
PQ
，所以RT OMQ
RT PMO
:
，
{#{QQABRQI9wgowkgSACA4KFUWgC0oQkJMjJYoEgQCcKAQDAANAFIA=}#}
高二数学试题参考答案第5页(共6 页)
所以|
|
|
|
|
|
|
|
MQ
OM
OM
MP
，所以
MQ
MP
2
|
||
|
|
|
2
MP MQ
OM
为定值.
………………17 分
解法2：证明：设
)
(
0
0
y
x
P
，
，
)
(
1
1
y
x
Q
，
,
)
(
2
2
y
x
R
，
①当
2
0
x
时，
若
)
2
2
(
，
P
，则
)
2
2
(
，
Q
，
)
2
2
(
，
R
；
若
)
2
2
(
，
P
，则
)
2
2
(
，
Q
，
)
2
2
(
，
R
满足条件
……………4 分
②当
2
0
x
时，
设
)
(
0
1
0
x
x
k
y
y
PQ
：
，
)
(
0
2
0
x
x
k
y
y
PR
：
因为PQ 与圆O 相切，所以O 到直线PQ 的距离为：
2
1
|
|
2
1
0
1
0
k
x
k
y
d
所以
0
2
2
)
2
(
2
0
1
0
0
2
1
2
0
y
k
y
x
k
x
，同理
0
2
2
)
2
(
2
0
2
0
0
2
2
2
0
y
k
y
x
k
x
所以
2
1
k
k ，
时方程
0
2
2
)
2
(
2
0
0
0
2
2
0
y
k
y
x
k
x
的两根
所以
2
2
)
2
(
2
2
)1
(
2
2
2
2
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
1
x
x
x
x
x
y
k
k
（*）
………………………7 分
联立
0
0
1
2
2
)
(
1
2
y
x
x
k
y
y
x
化简得：
0
2
)
(
)
2
2
(
)
2
(
2
0
1
0
0
1
2
1
0
2
2
1
y
k
x
x
y
k
k
x
x
k
所以
2
1
2
1
0
0
1
1
0
2
2
2
k
k
x
y
k
x
x
，
同理
2
1
0
1
0
2
1
2
1
0
0
1
2
2
2
2
0
0
2
2
0
2
)
4
(
2
)
2
(
2
)
2
(
2
2
2
2
2
2
k
y
k
x
k
k
x
y
k
k
k
x
y
k
x
x
，（
2
2
1
k
k
）
所以
0
2
1
2
1
0
0
2
1
0
1
0
2
1
2
1
0
0
1
2
0
1
0
2
2
)
2
2
(
2
2
)
2
(
2
2
2
2
)
(
)
(
x
k
k
x
x
k
y
k
x
k
k
x
y
k
x
x
x
x
所以
0
2
1
0
2
2
x
x
x
x
，所以
0
2
1
x
x
.所以
2
1
x
x
，又因为
R
Q、在双曲线上，所以
2
1
y
y
，
所以
R
Q、关于原点对称.
……………………12 分
②
MQ
MP
为定值-2，理由如下：
由①知
1
0
1
0
y
y
x
x
OQ
OP
，
{#{QQABRQI9wgowkgSACA4KFUWgC0oQkJMjJYoEgQCcKAQDAANAFIA=}#}
高二数学试题参考答案第6页(共6 页)
又
]1
)
(
[4
)1
)(
1
(
4
2
1
2
0
2
1
2
0
2
1
2
0
2
1
2
0
x
x
x
x
x
x
y
y
]1
2
)
(
[4
1
0
2
1
0
2
1
2
0
x
x
x
x
x
x
.
由①得：
2
2
4
2
1
2
1
1
0
k
k
x
x
，
2
2
1
2
1
2
1
2
1
0
)
2
(
)
1(
8
)
(
k
k
k
x
x
，
所以
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
0
)
2
(
)
2
4
]1
2
4
8
)
2
(
)
1
8
)
2
(
)
2
4
[4
k
k
k
k
k
k
k
k
k
y
y
（
（
（
因为
2
2
1
k
，所以
2
)
2
2
2
1
2
1
1
0
k
k
y
y
（
所以
0
2
4
2
2
2
4
2
1
2
1
2
1
2
1
k
k
k
k
OQ
OP
，
所以
2
)
(
)
(
OM
OQ
OM
OM
OP
OQ
OP
OM
OQ
OM
OP
MQ
MP
2
2
0
2
OM
OQ
OP
所以
MQ
MP
为定值
2
.
……………………17 分
（或：设PR 与圆O 切于点N，连结OM，ON，OP,则
PQ
OM
,
PR
ON
,所以
RPO
QPO
,又由①知O 为QR 的中点.所以
OP 为PQR
的高。即OP⊥OQ，下同解法1）
{#{QQABRQI9wgowkgSACA4KFUWgC0oQkJMjJYoEgQCcKAQDAANAFIA=}#}
