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2021 年大庆市初中升学考试
数学
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请将正确选项的序母填涂在答题卡上）
1. 在 ， ， ， 这四个数中，整数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据整数分为正整数、0、负整数，由此即可求解．
【详解】解：选项A： 是无理数，不符合题意；
选项B： 是分数，不符合题意；
选项C： 是负整数，符合题意；
选项D： 是分数，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的定义，熟练掌握整数分为正整数、0、负整数是解决本题的关键．
2. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】【详解】分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对
称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．
详解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；
B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；
D、此图形不 是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．
故选A．
点睛：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴．
3. 北京故宫的占地面积约为720 000m2，将720 000用科学记数法表示为( ).
A. 72×104 B. 7.2×105 C. 7.2×106 D. 0.72×106
【答案】B
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【详解】解：将720000用科学记数法表示为7.2×105．
故选B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整
数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. B. 若 取最小值，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据绝对值的定义和绝对值的非负性逐一分析判定即可．
【详解】解：A．当 时， ，故该项错误；
B．∵ ，∴当 时 取最小值，故该项错误；
C．∵ ，∴ ， ，∴ ，故该项错误；
D．∵ 且 ，∴ ，∴ ，故该项正确；故选：D．
【点睛】本题考查绝对值，掌握绝对值的定义和绝对值的非负性是解题的关键．
5. 已知 ，则分式 与 的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】将两个式子作差，利用分式的减法法则化简，即可求解．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查分式的大小比较，掌握作差法是解题的关键．
6. 已知反比例函数 ，当 时， 随 的增大而减小，那么一次的数 的图像经过第（
）
A. 一，二，三象限 B. 一，二，四象限
C. 一，三，四象限 D. 二，三，四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数的增减性得到 ，再利用一次函数的图象与性质即可求解．
【详解】解：∵反比例函数 ，当 时， 随 的增大而减小，∴ ，
∴ 的图像经过第一，二，四象限，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的图象与性质，掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题
的关键．
7. 一个儿何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数
字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形的数目为俯视图中该列小正方数字中最大数
字，从而可得出结论．
【详解】由已知条件可知：主视图有3列，每列小正方形的数目分别为4，2，3，根据此可画出图形如下：
故选：B．
【点睛】本题考查了从不同方向观察物体和几何图像，是培养学生观察能力．
的
8. 如图， 是线段 上除端点外 一点，将 绕正方形 的顶点 顺时针旋转 ，得到
．连接 交 于点 ．下列结论正确的是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋转的性质可以得到△EAF是等腰直角三角形，然后根据相似三角形的判定和性质，以及平
行线分线段成比例定理即可作出判断．
【详解】解：根据旋转的性质知：∠EAF=90°，故A选项错误；
根据旋转的性质知：∠EAF=90°，EA=AF，则△EAF是等腰直角三角形，
∴EF= AE，即AE：EF=1： ，故B选项错误；
若C选项正确，则 ，即 ，
∵∠AEF=∠HEA=45°，
∴△EAF △EHA，
∴∠EAH ∠EFA，
而∠EFA=45°，∠EAH 45°，
∴∠EAH ∠EFA，
∴假设不成立，故C选项错误；
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，即BH∥CF，AD=BC，
∴EB：BC=EH：HF，即EB：AD=EH：HF，故D选项正确；
故选：D
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，
正确运用反证法是解题的关键．9. 小刚家2019年和2020年的家庭支出如下，已知2020年的总支出2019年的总支出增加了2成，则下列
说法正确的是（ ）
A. 2020年教育方面的支出是2019年教育方面的支出的1.4倍；
B. 2020年衣食方面的支出比2019年衣食方面的支出增加了10%；
C. 2020年总支出比2019年总支出增加了2%；
D. 2020年其他方面的支出与2019年娱乐方面的支出相同．
【答案】A
【解析】
【分析】设2019年总支出为a元，则2020年总支出为1.2a元，根据扇形统计图中的信息逐项分析即可．
【详解】解：设2019年总支出为a元，则2020年总支出为1.2a元，
A．2019年教育总支出为0.3a，2020年教育总支出为 ， ，故该项正确；
B．2019年衣食方面总支出为0.3a，2020年衣食方面总支出为 ，
，故该项错误；
C．2020年总支出比2019年总支出增加了20%，故该项错误；
D．2020年其他方面的支出为 ，2019年娱乐方面的支出为0.15a，故该项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查扇形统计图，能够从扇形统计图中获取相关信息是解题的关键．
10. 已知函数 ，则下列说法不正确的个数是（ ）
①若该函数图像与 轴只有一个交点，则
②方程 至少有一个整数根
③若 ，则 的函数值都是负数④不存在实数 ，使得 对任意实数 都成立
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】对于①：分情况讨论一次函数和二次函数即可求解；
对于②：分情况讨论a＝0和a≠0时方程的根即可；
对于③：已知条件中限定a≠0且a＞1或a＜0，分情况讨论a＞1或a＜0时的函数值即可；
对于④：分情况讨论a＝0和a≠0时函数的最大值是否小于等于0即可．
【详解】解：对于①：当a＝0时，函数变为 ，与 只有一个交点，
当a≠0时， ，∴ ，
故图像与 轴只有一个交点时， 或 ，①错误；
对于②：当a＝0时，方程变为 ，有一个整数根为 ，
当a≠0时，方程 因式分解得到： ，其中有一个根为 ，故此
时方程至少有一个整数根，故②正确；
对于③：由已知条件 得到a≠0，且a＞1或a＜0
当a＞1时， 开口向上，对称轴为 ，自变量离对称轴越远，其对应
的函数值越大，
∵ ，
∴ 离对称轴的距离一样，将 代入得到 ，此时函数最大值小于0；
当a＜0时， 开口向下，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，
∴ 时，函数取得最大值为 ，∵a＜0，
∴最大值 ，即有一部分实数 ，其对应的函数值 ，故③错误；
对于④：a＝0时，原不等式变形为： 对任意实数 不一定成立，故a＝0不符合；
a≠0时，对于函数 ，
当a＞0时开口向上，总有对应的函数值 ，此时不存在a对 对任意实数 都成
立；
当a＜0时开口向下，此时函数的最大值为 ，
∵a＜0，
∴最大值 ，即有一部分实数 ，其对应的函数值 ，
此时不存在a对 对任意实数 都成立；故④正确；
综上所述，②④正确，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，二次函数与方程之间的关系，分类讨论的思想，本题难度较大，
熟练掌握二次函数的性质是解决本类题的关键．
二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填
写在答题卡相应位置上）
11. ________
【答案】
【解析】
【分析】先算 ，再开根即可．
【详解】解：故答案是： ．
【点睛】本题考查了求一个数的4次方和对一个实数开根号，解题的关键是：掌握相关的运算法则．
12. 已知 ，则 ________
【答案】
【解析】
【分析】设 ，再将 分别用 的代数式表示，再代入约去 即可求解．
【详解】解：设 ，
则 ，
故 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了比例的性质，正确用同一字母表示各数是解决此类题的关键．
13. 一个圆柱形橡皮泥，底面积是 ．高是 ．如果用这个橡皮泥的一半，把它捏成高为 的圆
锥，则这个圆锥的底面积是______
【答案】18
【解析】
【分析】首先求出圆柱体积，根据题意得出圆柱体积的一半即为圆锥的体积，根据圆锥体积计算公式列出
方程，即可求出圆锥的底面积．
【详解】Ｖ ＝ = ，
圆柱这个橡皮泥的一半体积为： ，
把它捏成高为 的圆锥，则圆锥的高为5cm，
故 ，
即 ，
解得 （cm2），
故填：18．
【点睛】本题考查了圆柱 的体积和圆锥的体积计算公式，解题关键是理解题意，熟练掌握圆柱体积和圆锥
体积计算公式．
14. 如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20
条直线两两相交最多有______个交点
【答案】190
【解析】
【分析】根据题目中的交点个数，找出 条直线相交最多有的交点个数公式： ．
【详解】解：2条直线相交有1个交点；
3条直线相交最多有 个交点；
4条直线相交最多有 个交点；
5条直线相交最多有 个交点；20条直线相交最多有 ．
故答案为：190．
【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即 条直线相交最多有
．
15. 三个数3， 在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则 的取值
范围为______
【答案】
【解析】
【分析】根据三个数在数轴上的位置得到 ，再根据三角形的三边关系得到
，求解不等式组即可．
【详解】解：∵3， 在数轴上从左到右依次排列，
∴ ，解得 ，
∵这三个数为边长能构成三角形，
∴ ，解得 ，
综上所述， 的取值范围为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查不等式组的应用、三角形的三边关系，根据题意列出不等式组是解题的关键．
16. 如图，作 的任意一条直经 ，分别以 为圆心，以 的长为半径作弧，与 相交于点
和 ，顺次连接 ，得到六边形 ，则 的面积与阴影区域
的面积的比值为______；【答案】
【解析】
【分析】可将图中阴影部分的面积转化为两个等边三角形的面积之和，设⊙O的半径与等边三角形的边长
为 ，分别表示出圆的面积和两个等边三角形的面积，即可求解
【详解】连接 ， ， ， ，
由题可得：
为边长相等的等边三角形
可将图中阴影部分的面积转化为 和 的面积之和，如图所示：
设⊙O的半径与等边三角形的边长为 ，
⊙O的面积为
等边 与等边 的边长为⊙O的面积与阴影部分的面积比为
故答案为： ．
【点睛】本题考查了图形的面积转换，等边三角形面积以及圆面积的求法，将不规则图形的面积转换成规
则图形的面积是解题关键．
17. 某酒店客房都有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间．
为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个46人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三
人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1310元，则该旅游团住了三
人间普通客房和双人间普通客房共________间；
【答案】18．
【解析】
【分析】根据客房数×相应的收费标准=1310元列出方程并解答．
【详解】解：设住了三人间普通客房x间，则住了两人间普通客房 间，由题意，得：
+ =1310，
解得：x=10，
则： =8，
所以，这个旅游团住了三人间普通客房10间，住了两人间普通客房8间，共18间．
故答案为：18．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，利用已知得出等式方程是解
题关键．
18. 已知，如图1，若 是 中 的内角平分线，通过证明可得 ，同理，若 是
中 的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在 中， 是 的内角平分线，则 的 边上的中线长 的取值范
围是________
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到 ，反向延长中线 至 ，使得 ，连接 ，最后根据三角形
三边关系解题．
【详解】如图，反向延长中线 至 ，使得 ，连接 ，
是 的内角平分线，
由三角形三边关系可知，故答案为： ．
【点睛】本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是
重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
三．解答题（本大题共10小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解有时应写出文字
说明，证明过程或演算步骤）
19. 计算
【答案】
【解析】
【分析】直接利用去绝对值符号、特殊角度的三角函数值、负整数的平方运算计算出结果即可．
【详解】解：
故答案是： ．
【点睛】本题考查了去绝对值符号、特殊角度的三角函数值、负整数的平方运算法则，解题的关键是：掌
握相关的运算法则．20. 先因式分解，再计算求值： ，其中 ．
【答案】 ，30
【解析】
【分析】先利用提公因式法和平方差公式进行因式分解，再代入x的值即可．
【详解】解： ，
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键．
21. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】方程两边乘 ，得： ，
解得： ，
检验：当 时， ．
∴ 是原分式方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
22. 小明在 点测得 点在 点的北偏西 方向，并由 点向南偏西 方向行走到达 点测得 点在
点的北偏西 方向，继续向正西方向行走 后到达 点，测得 点在 点的北偏东 方向，
求 两点之间的距离．（结果保留 ，参数数据 ）【答案】 km
【解析】
【分析】根据题中给出的角度证明△CDB为等腰三角形，得到CB=DB=2，再证明△CBA为30°，60°，
90°直角三角形，最后根据 即可求出AC的长．
【详解】解：如下图所示，
由题意可知：∠EAC=75°，∠FAB=∠NBA=45°，∠CBN=45°，DB=2km，∠MDC=22.5°，
在△BCD中，∠CDB=90°-∠MDC=90°-22.5°=67.5°，
∠CBD=90°-∠CBN=90°-45°=45°，
∠DCB=180°-∠CDB-∠CBD=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠DCB=∠CDB，△CDB为等腰三角形，
∴CB=DB=2，
在△CBA中，∠CBA=∠CBN+∠NBA=45°+45°=90°，
∴△CBA为直角三角形，
又∠CAB=∠CAG+∠GAB=(90°-∠EAC)+∠GAB=(90°-75°)+45°=60°，∴△CBA为30°，60°，90°直角三角形，
∴ ，代入 ，
∴ (km)，
故 两点之间的距离为 km．
【点睛】本题考查了三角函数解直角三角形，读懂题意，将题中信息转化成已知条件，本题中得出△CDB
为等腰三角形是解题的关键．
23. 如图①是甲，乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形实心
铁块的下底面完全落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的深度
与注水时间 之间的关系如图②所示，根据图象解答下列问题：
（1）图②中折线 表示_____________槽中水的深度与注入时间之间的关系；线段 表示
_____________槽中水的深度与注入时间之间的关系；铁块的高度为_____________ ．
（2）注入多长时间，甲､乙两个水槽中水的深度相同？（请写出必要的计算过程）
【答案】（1）乙，甲，16；（2）2分钟
【解析】
【分析】（1）根据图象分析可知水深减少的图象为甲槽的，水深增加的为乙槽的，并水深16cm之后增加
的变慢，即可得到铁块的高度；（2）利用待定系数法求出两个水槽中水深与时间的解析式，即可求解．
的
【详解】解：（1）图②中折线 表示乙槽中水 深度与注入时间之间的关系；
线段 表示甲槽中水的深度与放出时间之间的关系；
铁块的高度为16 ．
（2）设甲槽中水的深度为 ，把 ， 代入，可得
，解得 ，
∴甲槽中水的深度为 ，
根据图象可知乙槽和甲槽水深相同时，在DE段，
设乙槽DE段水的深度为 ，把 ， 代入，可得
，解得 ，
∴甲槽中水的深度为 ，
∴甲､乙两个水槽中水的深度相同时， ，解得 ，
故注入2分钟时，甲､乙两个水槽中水的深度相同．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，根据题意理解每段函数对应的实际情况是解题的关键．
24. 如图，在平行四边形 中， ，点 为线段 的三等分点（靠近点 ），点 为线段
的三等分点（靠近点 ，且 ．将 沿 对折， 边与 边交于点 ，且
．（1）证明：四边形 为矩形；
（2）求四边形 的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 ， ，根据题意三等分点可得 ，根
据对边平行且相等得到四边形 为平行四边形，再根据一个角为90°的平行四边形是矩形即可得证；
（2）根据角度关系可得 是等边三角形， 是等边三角形，利用割补法即可求出面积．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，
∵点 为线段 的三等分点（靠近点 ），点 为线段 的三等分点（靠近点 ），
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴四边形 为矩形；
（2）∵ ，点 为线段 的三等分点（靠近点 ），∴ ， ，
∵将 沿 对折， 边与 边交于点 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形， 是等边三角形，
作B'H⊥AG于H，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查矩形的判定、割补法求面积、解直角三角形，掌握上述性质定理是解题的关键．
25. 某校要从甲，乙两名学生中挑选一名学生参加数学竞赛，在最近的8次选拔赛中，他们的成绩（成绩均
为整数，单位：分）如下：
甲：92，95，96，88，92，98，99，100
乙：100，87，92，93，9▆，95，97，98
由于保存不当，学生乙有一次成绩的个位数字模糊不清，
（1）求甲成绩的平均数和中位数；
（2）求事件“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率；
（3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，请用方差大小说明应选哪个学生参加数学竞赛．【答案】（1）平均数为95分，中位数为95.5分；（2） ；（3）甲
【解析】
【分析】（1）根据平均数和中位数的定义求解即可；
（2）设乙成绩模糊不清的分数个位数为a，求出乙成绩的平均数，解不等式得到a的范围，利用概率公式
即可求解；
（3）利用方差公式求出甲和乙的方差，选方差较小的即可．
【详解】解：（1）甲成绩的平均数为： ；
甲成绩从小到大排列为：88，92，92，95，96，98，99，100 ，
∴甲成绩的中位数为： ；
（2）设乙成绩模糊不清的分数个位数为a，（a为0-9的整数）
则乙成绩的平均数为： ，
当甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数时，即 ，
解得 ，
∴a的值可以为 这8个整数
∴P(甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数) ；
（3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时， ，解得 ，
此时乙的平均数也为95，
∴甲的方差为：
；乙的方差为：
，
∵ ，
∴甲的成绩更稳定，故应选甲参加数学竞赛．
【点睛】本题考查求平均数、中位数和方差，以及概率公式，掌握求平均数、中位数和方差的公式是解题
的关键．
26. 如图，一次函数 的图象与 轴的正半轴交于点 ，与反比例函数 的图像交于 两点．
以 为边作正方形 ，点 落在 轴的负半轴上，已知 的面积与 的面积之比为 ．
（1）求一次函数 的表达式：
（2）求点 的坐标及 外接圆半径的长．【答案】(1) ；(2)点 的坐标为 ； 外接圆半径的长为
【解析】
【分析】(1)过D点作DE∥y轴交x轴于H点，过A点作EF∥x轴交DE于E点，过B作BF∥y轴交EF于
F点，证明 ABF≌ DAE， ， 的面积与 的面积之比为 得到 ，
△ △
进而得到 ，求出A、D两点坐标即可求解；
(2)联立一次函数与反比例函数解析式即可求出P点坐标；再求出C点坐标，进而求出CP长度，Rt△CPD
外接圆的半径即为CP的一半．
【详解】解：(1)过D点作DE∥y轴交x轴于H点，过A点作EF∥x轴交DE于E点，过B作BF∥y轴交
EF于F点，如下图所示：
∵ 与 有公共的底边BO，其面积之比为1:4，
∴DH:OA=1:4，
设 ，则 ，∵ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠EAD=90°，
∵∠BAF+∠FBA=90°，
∴∠FBA=∠EAD，
在△ABF和△DAE中： ,
∴△ABF≌△DAE(AAS)，
∴
又 ，
∴ ，解得 (负值舍去)，
∴ ，代入 中，
∴ ，解得 ，
∴一次函数的表达式为 ；
(2)联立一次函数与反比例函数解析式： ，
整理得到： ，
解得 ， ，
∴点 的坐标为 ；D点的坐标为（4,1）∵四边形ABCD为正方形，
∴ ，
且 ，
在 中，由勾股定理： ，
∴ ，
又△CPD为直角三角形，其外接圆的圆心位于斜边PC的中点处，
∴△CPD外接圆的半径为 ．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，三角形全等的判定与性质，勾股定理求线段长，
本题属于综合题，解题的关键是正确求出点A、D两点坐标．
27. 如图，已知 是 的直径． 是 的弦，弦 垂直 于点 ，交 于点 ．过点 作
的切线交 的延长线于点
（1）求证： ；
（2）判断 是否成立？若成立，请证明该结论；（3）若 为 中点， ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）结论成立，见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）连接 ，可得 为等腰三角形，则 ，结合垂经定理和切线的性质可得
，从而可得 ，即可得到结论；
（2）连接EC，CD， 并延长 交⊙O于点 ，连接 ，证明 ，在结合（1）中的
结论即可求解；
（3）连接OD，OG，根据垂经定理的推论得出 ， ，在 中利用三角函
数求出⊙O的半径，在 中利用三角函数即可求得 长，在利用勾股定理求出 ，从而可求
DE
【详解】（1）如图：连接
为等腰三角形
， 切⊙O于点（2）结论成立；理由如下；
如图：连接EC，CD， 并延长 交⊙O于点 ，连接
为⊙O的直径
切⊙O于点（3）如图：连接OD，OG，
为
中点
与点F
在 中有【点睛】本题考查了垂经定理及推论，相似三角形的判定和性质，切线的性质，以及解直角三角形等知识，
综合性较强，解答本题需要我们熟练掌握各部分内容，将所学知识贯穿起来．
28. 如图，抛物线 与 轴交于除原点 和点 ，且其顶点 关于 轴的对称点坐标为
．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴上存在定点 ，使得抛物线 上的任意一点 到定点 的距离与点
到直线 的距离总相等．
①证明上述结论并求出点 的坐标；
②过点 的直线 与抛物线 交于 两点．证明：当直线 绕点 旋转时，
是定值，并求出该定值；
（3）点 是该抛物线上的一点，在 轴， 轴上分别找点 ，使四边形 周长最小，直接
写出 的坐标．【答案】（1） ；（2） ； ，证明见解析（3） ，
【解析】
【分析】（1）先求出顶点 的坐标为 ，在设抛物线的解析式为 ，根据抛物线过
原点，即可求出其解析式；
（2） 设点 坐标为 ，点 坐标为 ，利用两点间距离公式，结合题目已知列出等量
关系； 设直线 的解析式为 ，直线 与抛物线交于点 ，直线方程与抛物线联立得出
，在结合 的结论，分别表示出 的值，即可求解；
（3）先求出点 的坐标，分别作点 关于 轴的对称点 ，点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交
轴于点 ，交 轴于点 ，则点 即为所求
【详解】解：（1） 点B关于 轴对称点的坐标为
点 的坐标为
设抛物线的解析式为
抛物点过原点
解得
抛物线解析式为： 即
（2） 设点 坐标为 ，点 坐标为由题意可得：
整理得：
点 的坐标为
设直线 的解析式为 ，直线 与抛物线交于点
整理得：
由 得
整理得：
（3） 点 在抛物线 上，如图：作点 关于 轴的对称点 ，点 关于 轴的对称点
则点 ，点 ，连接 ，交 轴于点 ，交 轴于点 ，则此时四边形PQBC周长最
小
设直线 的解析式为
解得
直线 的解析式为
点 坐标为 ，点 坐标为
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，点到直线的距离，两点间距离公式，以及线段最值问题，
以及点的对称问题，综合性较强
