文档内容
姓名 准考证号
画出频率分布直方图如图所示，则这些数据的中位数约为
秘密 启用前
★ 频率
组距
0.030
数 学
0.025
0.020
数
0.015
0.010
0.005
注意事项：
分数
0 30405060708090100
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
（第 题图）
1.
6
全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
2. A.85 B.80 C.77.5 D.75
回答选择题时，选出每小题答案后，用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 已知抛物线C：x y的焦点为F，准线为l.点P在C上，过P作抛物线的切线交准线l
3. 2B 7. 2 =4
涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用 于点Q 当 FPQ外接圆面积最小时，点P的坐标可以是
. △
黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
0.5mm （ 2，1） （ ，1） （ ，1） （ ，）
考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 A. B. 2 C. 1 D. 2 1
4. 2 8 2 4
已知函数f（x）的定义域为R，f（ ） ，函数y xf（x ）是奇函数，函数y （x ）f（x）
8. -1 =0 = +3 = +1
的图象关于直线x 对称，则
一、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分 在每小题给出的四个选项中，只有一 =-1
8 5 40 .
f（x）是偶函数 f（x ）是奇函数
项是符合题目要求的 A. B. -1
.
f（x ） f（x） f（）
已知集合A x x ，B x x ，x Z ，则A B C. +8 = D. 1 =0
1. ={ |-3< ≤2} ={ |-2≤ <3 ∈ } ∩ = 二、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分 在每小题给出的选项中，有多项符合题
［ ，］ （ ，） 3 6 18 .
A. -2 2 B. -3 3 目要求 全部选对的得 分，部分选对的得部分分，有选错的得 分
， ， ，，， ， ，，， . 6 0 .
C.{-3 -2 -1 1 2 3} D.{-2 -1 0 1 2}
已知函数y （ x π） ，则下列命题正确的是
在复平面内，复数z 1+ i对应点的坐标是 9. = 2sin 2 + -1
2. = 3
1- i 该函数的振幅为
A. 2
（ ，） 2 2 （ ，） （ ， ） 该函数的周期为
A. 0 1 B.( , ) C. 1 1 D. 0 -1
B. π
2 2
k
若 e ，e 是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是 该函数图象的对称轴为x 5π π，k Z
3. { 1 2} C. = + ∈
12 2
e e ,e e e e , e 1 e k
A.{ 1 − 2 2 − 1} B.{2 1 - 2 - 1 + 2} 该函数图象的对称中心为（ π π， ），k Z
2 D. - + -1 ∈
e e ,e e e e e e 6 2
C.{ 1 + 2 1 + 4 2} D.{3 1 − 2 2, -6 1 + 4 2} 若k Z，则函数f x xk x的函数图象可能是
已知等差数列 a 的前n项和为S，且S ，S ，则S 10. ∈ ( ) = e
4. { n} n 4 = 8 8 = 40 12 = y y y y
A.52 B.96 C.106 D.120
甲组有 名男生，名女生；乙组有 名男生，名女生 若从甲、乙两组中各选 名学
5. 2 3 3 2 . 2
生，选出的 人中恰有 名女生的选法种数为
4 1
x x x x
0 0 0 0
A.24 B.25 C.30 D.36
正悄然改变着我们的生活 某在线平台利用 技术为学生提供个性化学习路径，
6.AI . AI
为了解学生对平台的满意程度，随机抽取使用该平台的学生进行打分，将收集到的分
A B C D
关注微信公众号 数数据按照［ ， ），［ ， ），［ ， ），［ ， ），［ ， ），［ ， ），［ ， ］分组， （第 题图）
获得答案详解及更多资讯 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 10
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1 4 2 4姓名 准考证号
画出频率分布直方图如图所示，则这些数据的中位数约为
秘密 启用前
★ 频率
组距
0.030
数 学
0.025
0.020
数
0.015
0.010
0.005
注意事项：
分数
0 30405060708090100
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
（第 题图）
1.
6
全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
2. A.85 B.80 C.77.5 D.75
回答选择题时，选出每小题答案后，用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 已知抛物线C：x y的焦点为F，准线为l.点P在C上，过P作抛物线的切线交准线l
3. 2B 7. 2 =4
涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用 于点Q 当 FPQ外接圆面积最小时，点P的坐标可以是
. △
黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
0.5mm （ 2，1） （ ，1） （ ，1） （ ，）
考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 A. B. 2 C. 1 D. 2 1
4. 2 8 2 4
已知函数f（x）的定义域为R，f（ ） ，函数y xf（x ）是奇函数，函数y （x ）f（x）
8. -1 =0 = +3 = +1
的图象关于直线x 对称，则
一、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分 在每小题给出的四个选项中，只有一 =-1
8 5 40 .
f（x）是偶函数 f（x ）是奇函数
项是符合题目要求的 A. B. -1
.
f（x ） f（x） f（）
已知集合A x x ，B x x ，x Z ，则A B C. +8 = D. 1 =0
1. ={ |-3< ≤2} ={ |-2≤ <3 ∈ } ∩ = 二、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分 在每小题给出的选项中，有多项符合题
［ ，］ （ ，） 3 6 18 .
A. -2 2 B. -3 3 目要求 全部选对的得 分，部分选对的得部分分，有选错的得 分
， ， ，，， ， ，，， . 6 0 .
C.{-3 -2 -1 1 2 3} D.{-2 -1 0 1 2}
已知函数y （ x π） ，则下列命题正确的是
在复平面内，复数z 1+ i对应点的坐标是 9. = 2sin 2 + -1
2. = 3
1- i 该函数的振幅为
A. 2
（ ，） 2 2 （ ，） （ ， ） 该函数的周期为
A. 0 1 B.( , ) C. 1 1 D. 0 -1
B. π
2 2
k
若 e ，e 是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是 该函数图象的对称轴为x 5π π，k Z
3. { 1 2} C. = + ∈
12 2
e e ,e e e e , e 1 e k
A.{ 1 − 2 2 − 1} B.{2 1 - 2 - 1 + 2} 该函数图象的对称中心为（ π π， ），k Z
2 D. - + -1 ∈
e e ,e e e e e e 6 2
C.{ 1 + 2 1 + 4 2} D.{3 1 − 2 2, -6 1 + 4 2} 若k Z，则函数f x xk x的函数图象可能是
已知等差数列 a 的前n项和为S，且S ，S ，则S 10. ∈ ( ) = e
4. { n} n 4 = 8 8 = 40 12 = y y y y
A.52 B.96 C.106 D.120
甲组有 名男生，名女生；乙组有 名男生，名女生 若从甲、乙两组中各选 名学
5. 2 3 3 2 . 2
生，选出的 人中恰有 名女生的选法种数为
4 1
x x x x
0 0 0 0
A.24 B.25 C.30 D.36
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6.AI . AI
为了解学生对平台的满意程度，随机抽取使用该平台的学生进行打分，将收集到的分
A B C D
关注微信公众号 数数据按照［ ， ），［ ， ），［ ， ），［ ， ），［ ， ），［ ， ），［ ， ］分组， （第 题图）
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数学试题 第 页（共 页） 数学试题 第 页（共 页）
1 4 2 4记Z p p N，A 表示m个元素的有限集合，S（K）表示非空数集K （ 分）
11. p ={0,1,2,3,⋯, }, ∈ m 17. 15
{ | } 如图，已知 ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c 动点D在边AB上且不与点
中所有元素的和 若集合Q S A A Z ，则 △ .
. p , m = ( m) m ⊆ p DE
A，B重合，动点E在边AC上，ADE θ 向量BC a，CA b，AB c，m
Z Q { } ∠ = . = = = =| DE |.
A. 3 ={0,1,2,3} B. 3,2 = 1,2,3,4,5
( ) ( )
S Q 若S Q ，则p的最小值为 （）试用A，B，C，a，b，c及θ表示下列各式：
C. 10,3 = 376 D. p ,2 ≥ 365 14 1 A 数
（ ）当θ 时，m a；
三、填空题：本题共 小题，每小题 分，共 分 ⅰ =0 ·
E
3 5 15 . （ ）m·（a b c） ；
θ
x y ⅱ + + =0 D
2 2
已知双曲线的方程为 ，则其离心率e
12. - =1 = ▲ . （）当θ π 时依据（ ）求解，若已知a ，b ，
7 8 2 = ⅱ = 3 = 2 B C
{ 2
a （第 题图）
n ,a 为偶数 A π，求B 17
数列 a 的前n项和为S，若a ，a n , 则S = .
13. { n} n 1=2 n +1 = 2 13= ▲ . 3
a ,a 为奇数 （ 分）
n + 3 n , 18. 17
x y
2 2
已知椭圆C： （a b ）的左焦点为F，a ，离心率e 1 过点F的直线l
圆锥顶点为P，底面中心为O，体积为 6 的正四面体O-ABC的底面ABC与该圆锥 a + b =1 > >0 =2 = .
14. 2 2
2
4
交椭圆于A，B两点，过F且与l垂直的直线交椭圆于D，E两点，其中B，D在x轴上方，
的底面平行，且点A，B，C都在圆锥的侧面上，则该圆锥体积的最小值是
▲ . M，N分别为AB，DE的中点
四、解答题：本题共 小题，共 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
5 77 . . （）求点M的轨迹方程；
1
（ 分）
（）证明：直线MN过定点；
15. 13
2
从以下两个条件中选择一个合适的条件将题目补充完整（只填序号），并求解本题： （）求 FMN面积的最大值
3 △ .
f x f x （ 分）
(2 + Δ ) - (2 - Δ ) ； 19. 17
①lxim x = 3 某企业采用智能检测器对生产的产品进行检测 若产品为次品，该智能检测器能正
Δ →0 2Δ .
确识别的概率为 ；若产品为正品，该检测器将它识别为次品的概率为p 该企业
曲线y f（x）在x 处的切线方程为y 7 0.95 .
② = =1 = .
生产出的产品次品率为 现用两台型号相同的检测器组成一个检测系统，每台检
2
0.1.
题目：已知函数f x 1 x 2 x a x a R 存在极值，并且 测器独立识别，若任意一台识别某件产品为次品，则认定该产品为次品 .
( ) = + 3 + ln ( ∈ ) ▲ .
2 （）若p ，求一件产品被该检测系统识别为次品的概率；
1 =0.02
（）求f（x）的解析式；
1 （ 2 ）设该系统第i次检测结果为随机变量X（ i i ∈ N * ），X i=1 表示检测结果为次品，X i=
é ù n
（）当x ê1 , ú时，求函数f（x）的最值 表示检测结果为正品，每一次检测结果相互独立 设随机变量X = 1 X 一
2 ∈ ë
2
4û . 0 . n ∑i i.
=1
注：如果选择多个条件，按第一个解答记分. 次调查中抽取 件产品，检测出 件次品，若以此次检测结果的均值作为X的数
20 3
学期望，由此求p的估计值p；
（ 分） ̂
16. 15
（）若在检测过程中，需同时满足以下两个条件： 检测结果识别为次品，该产品确
已知四棱锥P ABCD，底面ABCD是边长为 的正方形，E是线 P 3 ①
- 2 实是次品的概率至少为 ； 检测结果识别为正品，该产品确实是正品的概率
段PD的中点，平面ABE交PC于点F F 0.9 ②
. E 至少为 求p的最大值
0.9. .
（）求证：EF 平面ABCD；
n n
1 ∥ 附：若随机变量X（i ，，…，n）相互独立，且E（X）存在，则E X E X ；
（）若PC PD，平面PCD 平面ABCD，平面ABE与平面ABCD夹 D C i =1 2 i (∑i i)=∑i ( i)
2 = ⊥ =1 =1
A B
参考数据： 0.84975 ， 0.8
角的余弦值为2 5，求直线AF与直线PB所成角的余弦值 （第 题图） ≈ 0.9717 ≈ 0.9938.
. 16 0.9 0.81
5
数学试题 第 页（共 页） 数学试题 第 页（共 页）
3 4 4 4记Z p p N，A 表示m个元素的有限集合，S（K）表示非空数集K （ 分）
11. p ={0,1,2,3,⋯, }, ∈ m 17. 15
{ | } 如图，已知 ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c 动点D在边AB上且不与点
中所有元素的和 若集合Q S A A Z ，则 △ .
. p , m = ( m) m ⊆ p DE
A，B重合，动点E在边AC上，ADE θ 向量BC a，CA b，AB c，m
Z Q { } ∠ = . = = = =| DE |.
A. 3 ={0,1,2,3} B. 3,2 = 1,2,3,4,5
( ) ( )
S Q 若S Q ，则p的最小值为 （）试用A，B，C，a，b，c及θ表示下列各式：
C. 10,3 = 376 D. p ,2 ≥ 365 14 1 A 数
（ ）当θ 时，m a；
三、填空题：本题共 小题，每小题 分，共 分 ⅰ =0 ·
E
3 5 15 . （ ）m·（a b c） ；
θ
x y ⅱ + + =0 D
2 2
已知双曲线的方程为 ，则其离心率e
12. - =1 = ▲ . （）当θ π 时依据（ ）求解，若已知a ，b ，
7 8 2 = ⅱ = 3 = 2 B C
{ 2
a （第 题图）
n ,a 为偶数 A π，求B 17
数列 a 的前n项和为S，若a ，a n , 则S = .
13. { n} n 1=2 n +1 = 2 13= ▲ . 3
a ,a 为奇数 （ 分）
n + 3 n , 18. 17
x y
2 2
已知椭圆C： （a b ）的左焦点为F，a ，离心率e 1 过点F的直线l
圆锥顶点为P，底面中心为O，体积为 6 的正四面体O-ABC的底面ABC与该圆锥 a + b =1 > >0 =2 = .
14. 2 2
2
4
交椭圆于A，B两点，过F且与l垂直的直线交椭圆于D，E两点，其中B，D在x轴上方，
的底面平行，且点A，B，C都在圆锥的侧面上，则该圆锥体积的最小值是
▲ . M，N分别为AB，DE的中点
四、解答题：本题共 小题，共 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
5 77 . . （）求点M的轨迹方程；
1
（ 分）
（）证明：直线MN过定点；
15. 13
2
从以下两个条件中选择一个合适的条件将题目补充完整（只填序号），并求解本题： （）求 FMN面积的最大值
3 △ .
f x f x （ 分）
(2 + Δ ) - (2 - Δ ) ； 19. 17
①lxim x = 3 某企业采用智能检测器对生产的产品进行检测 若产品为次品，该智能检测器能正
Δ →0 2Δ .
确识别的概率为 ；若产品为正品，该检测器将它识别为次品的概率为p 该企业
曲线y f（x）在x 处的切线方程为y 7 0.95 .
② = =1 = .
生产出的产品次品率为 现用两台型号相同的检测器组成一个检测系统，每台检
2
0.1.
题目：已知函数f x 1 x 2 x a x a R 存在极值，并且 测器独立识别，若任意一台识别某件产品为次品，则认定该产品为次品 .
( ) = + 3 + ln ( ∈ ) ▲ .
2 （）若p ，求一件产品被该检测系统识别为次品的概率；
1 =0.02
（）求f（x）的解析式；
1 （ 2 ）设该系统第i次检测结果为随机变量X（ i i ∈ N * ），X i=1 表示检测结果为次品，X i=
é ù n
（）当x ê1 , ú时，求函数f（x）的最值 表示检测结果为正品，每一次检测结果相互独立 设随机变量X = 1 X 一
2 ∈ ë
2
4û . 0 . n ∑i i.
=1
注：如果选择多个条件，按第一个解答记分. 次调查中抽取 件产品，检测出 件次品，若以此次检测结果的均值作为X的数
20 3
学期望，由此求p的估计值p；
（ 分） ̂
16. 15
（）若在检测过程中，需同时满足以下两个条件： 检测结果识别为次品，该产品确
已知四棱锥P ABCD，底面ABCD是边长为 的正方形，E是线 P 3 ①
- 2 实是次品的概率至少为 ； 检测结果识别为正品，该产品确实是正品的概率
段PD的中点，平面ABE交PC于点F F 0.9 ②
. E 至少为 求p的最大值
0.9. .
（）求证：EF 平面ABCD；
n n
1 ∥ 附：若随机变量X（i ，，…，n）相互独立，且E（X）存在，则E X E X ；
（）若PC PD，平面PCD 平面ABCD，平面ABE与平面ABCD夹 D C i =1 2 i (∑i i)=∑i ( i)
2 = ⊥ =1 =1
A B
参考数据： 0.84975 ， 0.8
角的余弦值为2 5，求直线AF与直线PB所成角的余弦值 （第 题图） ≈ 0.9717 ≈ 0.9938.
. 16 0.9 0.81
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