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2024 年上海高考押题预测卷 01【上海卷】
数学·参考答案
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，
1. 或 ． 2. ． 3.5． 4.240
5. ． 6.1． 7. ． 8. ．
9. ． 10. ． 11. ． 12.4．
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5
分。
13 14 15 16
C B B D
三、解答题（本大题78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
17（14分）解：（1） ，
可得 ，或 ，即 ，或 ， ，
则在 ， 上的解为 ， ；（7分）
（2）
，
关于 的方程 ，即 在 ， 时有解．
由 ， ，可得 ， ， ， ，
所以， 的取值范围是 ， ．（14分）
1
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学科网（北京）股份有限公司18（14分）解：（1）证明：连接 ，交 于 ，连接 ，取 中点，连接 ， ，
因为 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
所以 ，因为四边形 是正方形，所以 是 中点，
所以 是 中点，又 是 中点，
所以 ，且 ，
因为 是 中点，所以 ，且 ，
所以 ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；（7分）
（2）因为 ， ， ，所以 ，所以 ，
因为底面 是正方形，所以 ， ，
所以 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
取 中点 ，取 中点 ，因为 ，所以 ，
平面 平面 ，所以 平面 ，
所以在点 处有 、 、 两两互相垂直，
则以 为原点， ， ， 所在直线分别为 、 、 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则依题意有 ，0， ， ，2， ， ，1， ， ，2， ，
因为 ，所以 ，0， ， 是 中点，所以 ，1， ，
所以 ， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 ，则 ， ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
2
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学科网（北京）股份有限公司则 ，令 ，则 ， ，所以 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则
．
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．（14分）
19 （ 14 分 ） 解 ： （ 1 ） 由 频 率 分 布 直 方 图 可 得 ， 红 包 金 额 的 平 均 值 为 ：
，
众数为最高矩形的中点坐标，即为2.5；（4分）
（2）由题可知，每个红包抢到10元以上金额的概率为 ，且3次红包相互独
立，
由独立重复试验概率公式，至少两次抢到10元以上金额的概率为 ；
（8分）
（3）由题意， ， ，
3
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学科网（北京）股份有限公司由 ，
又 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，
设 为第 轮发红包时群主抢到“手气最佳”的次数，
故 服从两点分布： ， ， ，2， ，
所以 ，
由已知 ，
则
．（14分）
20（18分）．解：（1）因为椭圆 的焦距为2，
所以 ，
解得 ，
则 ，
解得 ，
则椭圆 ，
因为 ， 在第一象限， ，
所以 ，
4
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
将点 的坐标代入 中，
解得 ，
则 的准线方程为 ；（6分）
（2）因为点 是 和 的一个共同焦点，
所以 ，
解得 ， ，
则 ， ，
此时直线 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
设 ， ， ， ，
由韦达定理得 ， ，
所以 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
设 ， ， ， ，
由韦达定理得 ， ，
5
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
若 方向相同，
此时 ，
若 方向相反，
此时 ，
故 ；（12分）
（3）因为 ， ， ， 三点共线，
所以 ，
解得 ，
同理，由 ， ， ， 三点共线，
可得 ，
6
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学科网（北京）股份有限公司此时
，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
则 ，
因为 ，
令 ，
此时 ，
所以 ，
其中 ，
因为 ，
所以 的开口向下，对称轴为 ，
其中 ，
故当 时， 取得最大值，
7
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学科网（北京）股份有限公司最大值为 ，
则 的最小值为 ，
令 ，
解得 ，负值舍去，
所以 ，
解得 ，
此时 ，
又 ，
所以 ，
故点 的坐标为 ．（18分）
21（18分）．证明：（1） ，故 不是等比数列．（6分）
解：（2） 在 处的切线方程为 ，
令 得 ，因此，欲使 满足条件，只需使 ，
8
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，满足条件，
故存在指数函数 满足条件．（12分）
（3）取 ，1，4，则1， ，4成等比数列，故 满足条件．
考虑 ，
首先， 不可能所有项均为正数或均为负数，
否则，对应的等比数列 的公比为正，等比数列严格增或严格减，
从而 即为等比数列，不可能．
其次，因为 是等比数列，所以 也是等比数列，不妨设 严格增，
则 的前三项即为 中最小的三项，
则一定对应于 中的连续三项 ， ， ， ，
不妨设 ，则 ．
①若 ，则 ，则 ， ， 成等比数列，不可能；
②若 ，则 ，则 ， ， 成等比数列，
，即 ，得 ， ， ，
而除了这三项外， 最小值为 或 ，
但 和 均无法与 ， ， 构成等比数列，因此不符合条件．
综上所述：所有可能的 的值是3．（18分）
9
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