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★
年高考考前适应性测试（冲刺卷）
2025
数学参考答案详解及评分说明
一、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分
8 5 40 .
1.D
【解析】B x x ，x Z ， ，，， ，A B B
={ |-2≤ <3 ∈ }={-2 -1 0 1 2} ∩ = .
2.A
2
【解析】z 1+ i (1+ i) 2i ，所以在复平面内该复数对应点的坐标为（ ，）
= = = = i 0 1 .
1- i (1- i)(1+ i) 2
3.C
【解析】对于选项 ，e e e e ，两向量共线，不符合基底的定义，故选项 错误；
A 1 − 2 = -( 2 − 1) A
对于选项 ，e e （ e 1 e），两向量共线，不符合基底的定义，故选项 错误；
B 2 1 − 2 =-2 - 1 + 2 B
2
对于选项 ，不存在实数 ，使得e e λ e e ，故选项 正确；
C λ 1 + 2 = ( 1 + 4 2) C
对于选项 ， e e （ e e），两向量共线，不符合基底的定义，故选项 错误
D − 6 1 + 4 2 = −2 3 1 − 2 2 D .
4.B
【解析】由S S a a a a ，
8 - 4 = 5 + 6 + 7 + 8 = 40 - 8 = 32
a a
得a a ，则S 12 ×( 1 + 12) a a
6 + 7 = 16 12 = = 6( 6 + 7)= 6 × 16 = 96.
2
5.
A
【解析】恰有 名女生分两类 第一类：甲组选 名女生，名男生，乙组选 名男生，有 = 种选法；第二
1 1 2
1 . 1 1 2 C3C2C3 18
类：甲组选 名男生，乙组选 名女生 名男生，有 种选法，所以，由分类加法计数原理可知共有 种
2 1 1
2 1 1 C2C2C3 = 6 24
选法
.
6.C
【解析】根据中位数的意义，在样本中，有 的个体小于或等于中位数，也有 的个体大于或等于中位数 由
50% 50% .
于（ ） ， ，因此中位数落在区间［ ， ）内 设中位数
0.005+0.005+0.010+0.015 ×10=0.35 0.35+0.02×10=0.55 70 80 .
为x，由 （x ） ，得x 因此，中位数约为
0.35+0.02× -70 =0.5 =77.5. 77.5.
7.B
【解析】设点P（ t，t）（t ），则过P作抛物线的切线为：y tx t，又准线l为：y ，所以可得点Q（t 1， ）又F
2 ² ≠0 = - ² =-1 - t -1 .
（ ，），所以FP （ t，t ），FQ （t 1， ），FP FQ ，所以 PFQ为直角，PQ为 FPQ外接圆的直径 PQ
0 1 = 2 ²-1 = - t -2 · =0 ∠ △ . =
v v
| | 2
（ t 1， t），PQ 2 t 4 t 2 1 令v t 2 ，则可得u（v） v 2 v 1 ，v 由u ( + 1) (2 - 1) ，
- - t -1- ² = +3 + t +3. = = +3 + v +3 >0. ′= v =0
2 2
知当v 1时，u取得最小值，即所求外接圆的面积最小，此时点P（ ，1）
= ± 2 .
2 2
8.B
【解析】因为y x（f x ）是奇函数，所以（f x ）为偶函数，
= +3 +3
所以（f x ） （f x ），即（f x） （f x ），故（f x）关于x 对称，
- +3 = +3 - = +6 =3
由y （x ）（f x）的图象关于直线x 对称，
= +1 =-1
得（x ）（f x） （ x ）（f x），
+1 = -2- +1 -2-
即（x ）（f x） （x ）（f x），
+1 =- +1 -2-
数学试题答案 第 页（共 页）
1 6即（f x） （f x ），所以（f x）关于（ ，）对称，
= - - -2 -1 0
所以（f x） （f x ），
- = - -2
所以（f x ） （f x ），
- -1 = - -1
故（f x ）是奇函数，所以 选项正确；
-1 B
因为（f x） （f x ），又（f x） （f x ），
- =- -2 - = +6
所以（f x ） （f x ），
+6 =- -2
即（f x ） （f x），所以（f x ） （f x ） （f x），故 选项错误；
+8 =- +16 =- +8 = C
不能得到（f x）的奇偶性与（f ）的值，故 、 选项错误
1 A D .
二、选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分
3 6 18 .
9.ABD
【解析】振幅由系数A决定，此处A ，故选项 正确 周期为2π ，故选项 正确 由 x π π k ，解得
= 2 A . =π B . 2 + = + π
2 3 2
k k k
x π π，k Z，故选项 错误 由 x π k ，解得x π π，k Z，所以对称中心为（ π π， ），k Z，
= + ∈ C . 2 + = π =- + ∈ - + -1 ∈
12 2 3 6 2 6 2
故选项 正确
D .
10.BCD
【解析】当k 时，f x （x x ），其图象为指数函数的一部分；
= 0 ( ) = e ≠0
当k为正的奇数时，定义域为R，f x xk x x k ，可知当x ∞ k 时 f x ，f x 单调递减，
-1
′( ) = e ( + ) ∈(- , - ) , ′( ) < 0 ( )
当x k ∞ 时 f x ，f x 单调递增，函数f x 在x k处取得极小值，此时 k是负数；
∈(- , + ) , ′( ) > 0 ( ) ( ) = - -
个选项中没有与以上两种情况对应的图象
4 .
当k为正的偶数时，定义域为R，f x xk x x k ，可知当x ∞ k 时 f x ，f x 单调递增，
-1
′( ) = e ( + ) ∈(- , - ) , ′( ) > 0 ( )
当x k 时 f x ，f x 单调递减，当x ∞ 时 f x ，f x 单调递增，故 选项正确；
∈(- ,0) , ′( ) < 0 ( ) ∈(0, + ) , ′( ) > 0 ( ) B
当k为负的奇数时，定义域为 ∞ ∞ ，f x xk x x k ，可知当x ∞ 时 f x ，f x 单调
-1
(- ,0) ⋃(0, + ) ′( ) = e ( + ) ∈(- ,0) , ′( ) < 0 ( )
递减，当x k 时 f x ，f x 单调递减，当x k ∞ 时 f x ，f x 单调递增，故 选项正确；
∈(0, - ) , ′( ) < 0 ( ) ∈(- , + ) , ′( ) > 0 ( ) C
当k为负的偶数时，定义域为 ∞ ∞ ，f x xk x x k ，可知当x ∞ 时 f x ，f x 单调
-1
(- ,0) ⋃(0, + ) ′( ) = e ( + ) ∈(- ,0) , ′( ) > 0 ( )
递增，当x k 时 f x ，f x 单调递减，当x k ∞ 时 f x ，f x 单调递增，故 选项正确
∈(0, - ) , ′( ) < 0 ( ) ∈(- , + ) , ′( ) > 0 ( ) D .
11.ABD
【解析】由题可知 选项正确；选项 中，由A Z ，知A 的所有可能为：{ }，{ }，{ }，{ }，{ }，{ }，则
A B 2 ⊆ 3 2 0,1 0,2 0,3 1,2 1,3 2,3
S A 分别为 ，，，，，，所以Q { }，故 选项正确；选项 中，易知Q { }，所以
( 2) 1 2 3 3 4 5 3,2 = 1,2,3,4,5 B C 10,3 = 3,4,5,⋯,26,27
( ) { } ( )
S Q (3+ 27) × 25 ，故 选项错误 ；选项 中，易知 Q p ，所以 S Q
10,3 = = 375 C D p ,2 = 1,2,3,⋯,2 - 1 p ,2 =
2
p p
(1+ 2 - 1) ×(2 - 1) p p ，又当 p 时，p p ，当 p 时，p p ，所以满足
= (2 - 1) = 14 (2 - 1) = 378 = 13 (2 - 1) = 325
2
( )
S Q 的p的最小值为 ，故选项 正确
p ,2 ≥ 365 14 D .
三、填空题：本题共 小题，每小题 分，共 分
3 5 15 .
105
12.
7
c
【解析】因为a ，b ，所以c ，所以a ，c ，所以e 15 105
²=7 ²=8 ²=15 = 7 = 15 = a = = .
7 7
13.30
a
【解析】由题意，当n 时，a 1 ，
=1 2= = 1
2
当n 时，a a ，
=2 3 = 2 + 3= 4
a
当n 时，a 3 ，
=3 4= = 2
2
数学试题答案 第 页（共 页）
2 6a
当n 时，a 4 ，
=4 5 = = 1
2
当n 时，a a ，
=5 6= 5 + 3= 4
a
当n 时，a 6 ，归纳可得数列 a 是以 为周期的数列，
=6 7 = =2 { n} 3
2
故S a a a a a （a a a） a （ ）
13= 1+ 2+ 3+…+ 12+ 13=4 1+ 2+ 3 + 13=4× 2+1+ 4 +2=30.
9 2
14. π
4
【解析】设圆锥PO的底面半径为r，高为h 底面ABC的中心为O，则点P，O，O 三点共线
. 1 1 .
设正四面体O-ABC棱长为a，则高为 6 a，所以V O - ABC = 1 S △ ABC ⋅ 6 a = 1 ⋅ 3 a 2 ⋅ 6 a = 2 a 3 = 6，解
3 3 3 3 4 3 12 4
得a
= 3.
故O A 3 a ，OO 6 a ，
1 = = 1 1 = = 2 P
3 3
h r
由 - 2 1 得h 2
h = r , = r . B
- 1 O A
r r
该圆锥的体积V = 1 r 2 h 1 r 2 2 2π 3 C 1
π = π r = ⋅ r .
3 3 - 1 3 - 1
r r r r r r
3 2 3 2
令f r r 则f r 3 ( - 1) - (2 - 3)，
( ) = r ( > 1), ′( ) = r = r O
2 2
- 1 ( - 1) ( - 1)
当r 3时，f r ；当 r 3时，f r （第 题答图）
> ′( ) > 0 1< < ′( ) < 0. 14
2 2
所以当r = 3时，f r 有最小值27，这时圆锥的体积有最小值9 2
( ) π.
2 4 4
四、解答题：本题共 小题，共 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
5 77 . .
解：（）f x 1 x 2 x a x定义域为 ∞ ，……………………………………………………………… 分
15. 1 ( ) = + 3 + ln (0, + ) 1
2
a x x a
2
f x x + 3 + ………………………………………………………………………………… 分
′( ) = + 3+ x = x . 2
f x f x
若若选选 ：：因为 (2 + Δ ) - (2 - Δ ) ，所以由导数定义可知f ，……………………………… 分
①① lxim x = 3 ′(2) = 3 4
Δ →0 2Δ
a
即10 + ，解得a ……………………………………………………………………………………… 分
= 3 = -4. 5
2
x x x x
2
所以f x 1 x 2 x x，f x + 3 - 4 ( + 4)( - 1)，………………………………………… 分
( ) = + 3 - 4ln ′( ) = x = x 6
2
可知，当x 时，f x ，f x 单调递减；
∈(0,1) ′( ) < 0 ( )
当x ∞ 时，f x ，f x 单调递增，所以函数f x 在x 处取得极值，符合题意，
∈(1, + ) ′( ) > 0 ( ) ( ) = 1
所以f x 1 x 2 x x …………………………………………………………………………………… 分
( ) = + 3 - 4ln . 8
2
若若选选 ：：由曲线y （f x）在x 处的切线方程为y 7，可知f ，……………………………………… 分
②② = =1 = ′(1) = 0 4
2
a
所以f ，解得a ， ……………………………………………………………………… 分
′(1) = 1+ 3+ = 0 = -4 5
1
x x x x
2
所以f x 1 x 2 x x，f x + 3 - 4 ( + 4)( - 1)，………………………………………… 分
( ) = + 3 - 4ln ′( ) = x = x 6
2
可知，当x 时，f x ，f x 单调递减；
∈(0,1) ′( ) < 0 ( )
当x ∞ 时，f x ，f x 单调递增，所以函数f x 在x 处取得极值，符合题意，
∈(1, + ) ′( ) > 0 ( ) ( ) = 1
所以f x 1 x 2 x x …………………………………………………………………………………… 分
( ) = + 3 - 4ln . 8
2
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3 6（）由（）知，当x 时，f x ，f x 单调递减；
2 1 ∈(0,1) ′( ) < 0 ( )
当x ∞ 时，f x ，f x 单调递增
∈(1, + ) ′( ) > 0 ( ) .
又f 1 13 ，…………………………………………………………………………………………… 分
( ) = + 4ln2 9
2 8
f 7，………………………………………………………………………………………………………… 分
(1) = 10
2
f ， ……………………………………………………………………………………………… 分
(4) = 20 - 8ln2 11
且（f ） （f 1）， ………………………………………………………………………………………………… 分
4 > 12
2
é ù
（f x）在区间ê1 , ú上的最大值为 ，最小值为7 ………………………………………………… 分
∴ ë 4û 20 - 8ln2 . 13
2 2
解：（）证明：因为底面ABCD是正方形，所以AB DC
16. 1 ∥ .
又CDÌ平面PCD，AB 平面PCD，
⊄ z
P
所以AB 平面PCD ……………………………………………………………… 分
∥ . 2
又因为平面ABEI 平面PCD=EF，………………………………………………… 分 N F
3 E
所以AB EF ……………………………………………………………………… 分
O
∥ . 4
D C y
又ABÌ平面ABCD，EF 平面ABCD，
⊄
所以EF 平面ABCD. ……………………………………………………………… 分 A M B
∥ 5 x
（）设CD的中点为O，则PO CD， （第 题答图）
16
2 ⊥
平面PCD 平面ABCD，又平面ABCDI 平面PCD=CD，
∵ ⊥
PO 平面ABCD. ……………………………………………………………………………………………… 分
∴ ⊥ 6
过点O在平面ABCD内作OM CD交AB于点M，则OM，OC，OP两两垂直 ………………………………… 分
⊥ . 7
以O为原点，OM，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（ ， ，），B（ ，，）
2 -1 0 2 1 0 .
a
设P（ ，，a）（a ），则F 1 ……………………………………………………………………………… 分
0 0 >0 (0, , ). 8
2 2
设 EF 的 中 点 为 N，则 点 N 在 PO 上 ，连 接 MN，因 为 NO 平面ABCD，所 以 NO AB，又 OM AB
⊥ ⊥ ⊥ .
AB 平面OMN， AB MN，所以 NMO为二面角F-AB-C的平面角 ………………………………… 分
∴ ⊥ ∴ ⊥ ∠ . 9
因为平面ABE与平面ABCD夹角的余弦值为2 5，
5
所以 NMO 2 5，………………………………………………………………………………………… 分
cos∠ = 10
5
MO
即 2 2 5， …………………………………………………………………………………… 分
MN = a = 11
2 5
+ 4
4
解得a ……………………………………………………………………………………………………… 分
=2. 12
则AF 3 BP …………………………………………………………………………… 分
=(-2, ,1), =(-2, -1,2), 13
2
AF BP 9
cos AF , BP = | A F | ⋅ | B P | = 2 = 3 29 . …………………………………………………………… 14 分
⋅ 29 29
× 3
4
所以直线AF与直线PB所成角的余弦值为3 29 …………………………………………………………… 分
. 15
29
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4 6解：（）（ ）当θ 时，m与c反向，即m与a的夹角为B ……………………………………………………… 分
17. 1 ⅰ =0 . 2
| |
|m| | || D E | || ………………………………………………………………………………………………… 分
= | || DE | | |=1. 3
所以m a |m||a| B a B ………………………………………………………………………………… 分
· = cos = cos . 4
（ ）m a a （B θ） ………………………………………………………………………………………… 分
ⅱ · = cos - . 6
m b b （θ A） ……………………………………………………………………………………………… 分
· = cos + . 8
m c c （ θ） c θ …………………………………………………………………………………… 分
· = cos π- =- cos . 10
代入m·（a b c） 中，得到：a （B θ） b （θ A） c θ ………………………………… 分
+ + =0 cos - + cos + - cos =0.① 11
（）当θ π时， 式化简为a B - b A …………………………………………………………… 分
2 = ① sin sin =0 ②. 13
2
将a ，b ，A π代入 ，得 B 2 ……………………………………………………………… 分
= 3 = 2 = ② sin = . 14
3 2
又因为a b，所以A B，所以B π ………………………………………………………………………… 分
> > = . 15
4
说明：第（）问，没有依据 式得到 式，直接求角B的，不给分
2 ① ② .
x y
2 2
解：（）因为e 1，a ，所以c ，所以椭圆C的方程为： ，点F（ ，） ………………………… 分
18. 1 = =2 =1 + =1 -1 0 . 1
2 4 3
由已知B，D在x轴上方，所以直线l的斜率存在且不为 ，
0
设直线l：x my （m ），代入椭圆方程得（ m ）y my …………………………………… 分
= -1 ≠0 3 ²+4 ²-6 -9=0. 2
m
设点M（x，y），则x -4 ，y 3 ，……………………………………………………………………… 分
= m = m 3
2 2
4 + 3 4 + 3
消去m得 x x y （y ），即为所求 …………………………………………………………………… 分
3 ²+3 +4 ²=0 ≠0 . 5
m m
2
（）接（）可设垂线DE方程为x 1y ，代入椭圆方程得中点N（ 4 ，-3 ） ………………… 分
2 1 =-m -1 - m m . 6
2 2
3+ 4 3+ 4
m
所以直线MN的斜率为k 7 （m ） ……………………………………………………………… 分
1= m
2
≠ ±1 . 7
4( - 1)
m
方程为：（ m）y m 7 ［（ m）x ］ …………………………………………………… 分
4+3 ² -3 = m 4+3 ² +4 .① 8
2
4( - 1)
令m 得：x y ； …………………………………………………………………………………… 分
=2 7 -6 +4=0 ② 9
令m 得：x y ………………………………………………………………………………… 分
=-2 7 +6 +4=0.③ 10
联立 得交点P（ 4，），代入 式，该式恒成立，当m 时，直线MN方程为x 4，也过点（ 4，）所以
②③ - 0 ① = ±1 = - - 0 .
7 7 7
直线MN过定点P（ 4，） ……………………………………………………………………………………… 分
- 0 . 11
7
m m
（）由（）（）得直线MN过定点P（ 4，），且y 3 ，y 3 ………………………………… 分
3 1 2 - 0 M = m N = - m 12
2 2
7 4 + 3 3+ 4
所以S S S 1|FP| | y y |
△ FMN = △ FPM + △ FPN = ⋅ M - N
2
|m| 1
|m| m ( + |m|)
2
9 (1+ ) 9 ，……………………………………………… 分
= ⋅ m m = ⋅ 14
2 2
2 (3+ 4 )(4 + 3 ) 2 m 2 1
12( + m ) + 25
2
令t |m| 1 ，则t ，
= + |m| ≥ 2
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5 6|m| 1
+ |m| t
则 1 …………………………………………………………………… 分
= t = 15
2
m 2 1 12 + 1 t 1
12( + m ) + 25 12 + t
2
t
2
令y t 1（t ），则y 1 12 - 1
= 12 + t ≥ 2 ′= 12 - t = t > 0
2 2
y t 1在［ ， ）上单调递增，
∴ = 12 + t 2 +∞
当t 时，y有最小值49，……………………………………………………………………………………… 分
= 2 16
2
即|m| 时，S 有最大值 9
= 1 △ FMN .
49
FMN面积的最大值为 9 ………………………………………………………………………………… 分
∴ △ . 17
49
解：设事件A为“检测系统识别为次品”，事件B为“该产品实际为次品” …………………………………… 分
19. . 1
由已知得：
P A|B P A|B
( ) = 1-(1- 0.95) 2 = 0.9975, ( ˉ ) = 0.0025,
P A|B p ,P A|B p , …………………………………………………………… 分
( ˉ) = 1-(1- ) 2 ( ˉ ˉ) =(1- ) 2 3
P B
( ) = 0.1.
（）若p ，则P A|B ，
1 =0.02 ( ˉ) = 1-(1- 0.02) 2 = 0.0396
P A P AB AB P B P A|B P B P A|B …………………………………………………………… 分
( ) = ( ⋃ ˉ) = ( ) ( ) + ( ˉ) ( ˉ) 4
= 0.1× 0.9975+ 0.9 × 0.0396 = 0.13539.
所以一件产品被检测系统识别为次品的概率为 ……………………………………………………… 分
0.13539. 5
（）P X p p ， ………………………………… 分
2 ( i = 1) = 0.1× 0.9975+ 0.9 ×[1-(1- ) 2 ]= 0.99975- 0.9(1- ) 2 6
所以E X P X P X p ………………………………………… 分
( i)= 1× ( i = 1) + 0 × ( i = 0) = 0.99975- 0.9(1- ) 2 . 7
n n n
又E X E 1 X 1 E X 1 E X E X ，…………………………………………………… 分
( ) = ( n ∑i i) = n (∑i i) = n ∑i ( i)= ( i) 8
=1 =1 =1
由抽查结果得x 3 ，所以 p 2 = 3 ，……………………………………………………… 分
ˉ= 0.99975- 0.9(1- ̂) 9
20 20
解得 p
2
= 0.84975，根据参考数据可知 p 则p
(1- ̂) 1- ̂ ≈ 0.9717, ̂ = 0.0283.
0.9
所以p的估计值为 ……………………………………………………………………………………… 分
0.0283. 11
（）P A P AB AB P B P A|B P B P A|B
3 ( ˉ) = ( ˉ ⋃ ˉˉ) = ( ) ( ˉ ) + ( ˉ) ( ˉ ˉ)
p
2
= 0.1× 0.0025+ 0.9 ×(1- ) .
P A P A p ……………………………………………………………………… 分
( ) = 1- ( ˉ) = 0.99975- 0.9(1- ) 2 . 13
P AB
所以P B|A ( ) 0.9975× 0.1 ，………………………………………………………… 分
( ) = P A = p ≥ 0.9 14
2
( ) 0.99975- 0.9(1- )
即 p
2
80，解得 p ，p …………………………………………………………… 分
(1- ) ≥ 1- ≥ 0.9938 ≤0.0062. 15
81
P AB p
由P B|A ( ˉˉ) 0.9(1- ) 2 ，解得p …………………………………………… 分
( ˉ ˉ) = P ( A ˉ) = 0.00025+ 0.9(1- p ) 2 ≥ 0.9 ≤0.95. 16
综上，p的最大值为 ……………………………………………………………………………………… 分
0.0062. 17
数学试题答案 第 页（共 页）
6 6
