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深圳市高级中学高中园 2025 届高三下学期第一次模拟考试
（数学）
注意事项：
1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干
净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上.
3、考试结束，监考人员将答题卡收回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 若 ，则 （ ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
3. 已知向量 满足 ，则 （ ）
A. B. C. 0 D. 1
4. （ ）
A. B. C. D.
5. 已知直线 分别在两个不同的平面 内，则“直线 和直线 平行”是“平面 和平面 平行”
的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 在等差数列 中， ， ．记 ，则数列 （ ）
A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
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学科网（北京）股份有限公司C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项
7. 椭圆 的左顶点为 ，点 均在 上，且关于原点对称，若直线 的
斜率之积为 ，则 的离心率为（ ）
.
A B. C. D.
8. 已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法错误的是（ ）
A. 若点 在圆 上，则直线 与圆 相切
B. 若点 在圆 内，则直线 与圆 相离
C. 若点 在圆 外，则直线 与圆 相离
D. 若点 在直线 上，则直线 与圆 相切
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某物理量的测量结果服从正态分布 ，则下列结论中正确的是（ ）
A. 越小，该物理量在一次测量中落在 内的概率越大
B. 该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C. 该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D. 该物理量在一次测量中结果落在 与落在 的概率相等
10. 已知 ，下列说法中正确的是（ ）
的
A. 最小正周期为
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学科网（北京）股份有限公司B. 在 上单调递增
C. 当 时， 的取值范围为
D. 的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到
11. 已知正方体 ，则（ ）
A. 直线 与 所成的角为 B. 直线 与 所成的角为
C. 直线 与平面 所成的角为 D. 直线 与平面ABCD所成的角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 二项式 的展开式中的常数项是______.
13. 已知双曲线 ，左、右焦点分别为 、 ，过 作倾斜角为 的直线与双曲线 交于
两点，则 的周长为______．
的
14. 学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选 4名不同 裁判员（一名主裁判，两名
不同的助理裁判，一名第四裁判），其中高一共 13个班，每个班各一名体育委员，共4个女生，9个男生，
要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概
率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在 中，角 所对的边分别为 ,其中
（1）求 ;
（2）求 边上的高，
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学科网（北京）股份有限公司16. 已知抛物线 ，斜率为 的直线 交抛物线于 两点，且 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）试探究：抛物线 上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出 点坐标；若不存在，请说明理
由.
17. 如图，在三棱锥 中，已知 ．
（1）若 ，求证： ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
18. 已知函数 ，其中 ．
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）当 时，证明：曲线 是轴对称图形；
（3）若 在R上恒成立，求 的取值范围.
19. 若数列 满足 .定义广义规范数列如下： 中共有
项 ，其中 项为 项为1，且对任意 项， 中的－1的个数不少于1
的个数．当 时，满足上述定义的数列称为规范数列．记 表示“广义规范数列”的个数.
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学科网（北京）股份有限公司（1）若 既为等比数列，又为规范数列，求符合条件的所有 的通项公式；
（2）求 ；进一步证明：当 时， ；
（3）当 且 时，记 表示 项数列中符合广义规范数列 概的率，求证： ．
（提示： ）
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