文档内容
深圳市高级中学高中园 2025 届高三下学期第一次模拟考试
（数学）
注意事项：
1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干
净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上.
3、考试结束，监考人员将答题卡收回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出集合 ，利用交集的定义可求得集合 .
【详解】不等式 ，可解得： 或 ，
而 ，因此， .
故选：A.
2. 若 ，则 （ ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据 求出 ，再根据公式求其模长.
【详解】 ;
;
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学科网（北京）股份有限公司.
故选：C.
3. 已知向量 满足 ，则 （ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据模长公式即可求解.
【详解】由 可得 ，
故 ，
故选：D
4. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式及两角差的正切公式计算可得；
【详解】解：
故选：C
5. 已知直线 分别在两个不同的平面 内，则“直线 和直线 平行”是“平面 和平面 平行”
的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
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学科网（北京）股份有限公司C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】结合图形利用线面的位置关系和充分条件，必要条件的定义即可判断.
【详解】当“直线 和直线 平行”时，平面 和平面 可能平行也可能相交，故不充分；
当“平面 和平面 平行”时，直线 和直线 可能平行也可能异面，故不必要；
因此“直线 和直线 平行”是“平面 和平面 平行”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
6. 在等差数列 中， ， ．记 ，则数列 （ ）
A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项
【答案】B
【解析】
【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大
项和最小项.
【详解】由题意可知，等差数列的公差 ，
则其通项公式为： ，
注意到 ，
且由 可知 ，
由 ，得 ，
所以数列 在 上为递减数列，
所以数列 不存在最小项，
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学科网（北京）股份有限公司由于 ，
故数列 中的正项只有 ，
故数列 中存在最大项，且最大项为 .
故选：B.
7. 椭圆 的左顶点为 ，点 均在 上，且关于原点对称，若直线 的
斜率之积为 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设 ，根据题设得到 ，再结合 ，得到 ，即可求解.
【详解】设 ，则 ， ，
由题有 ，即 ，又 ，则 ，
所以 ，得到 ，所以 的离心率为 ，
故选：A.
8. 已知直线 与圆 ，点 ，则下列说法错误的是（ ）
A. 若点 在圆 上，则直线 与圆 相切
B. 若点 在圆 内，则直线 与圆 相离
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学科网（北京）股份有限公司C. 若点 在圆 外，则直线 与圆 相离
D. 若点 在直线 上，则直线 与圆 相切
【答案】C
【解析】
【分析】求出圆心 到直线 的距离，根据点与圆的位置列关系式，求出圆心 到直线 的距
离求解.
【详解】圆心 到直线 的距离 ,
若点 在圆 上，则 ，
所以 ，则直线 与圆 相切，故A正确；
若点 在圆 内，则 ，
所以 ，则直线 与圆 相离，故B正确；
若点 在圆 外，则 ，
所以 ，则直线 与圆 相交，故C错误；
若点 在直线 上，则 ，
即 ，所以 ，
直线 与圆 相切，故D正确．
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
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学科网（北京）股份有限公司9. 某物理量的测量结果服从正态分布 ，则下列结论中正确的是（ ）
A. 越小，该物理量在一次测量中落在 内的概率越大
B. 该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C. 该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D. 该物理量在一次测量中结果落在 与落在 的概率相等
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据正态分布密度曲线的特征逐项判断即可.
【详解】选项A： 为数据的方差，所以 越小，数据在 附近越集中，正态曲线越瘦高，
所以该物理量在一次测量中落在 内的概率越大，A说法正确；
选项B：由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5，B说法正确；
选项C：由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等，C
说法正确；
选项D：由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中结果落在 与落在 的
概率不相等，
所以落在 与落在 的概率也不相等，D说法错误；
故选：ABC
10. 已知 ，下列说法中正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 在 上单调递增
C. 当 时， 的取值范围为
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学科网（北京）股份有限公司D. 的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到
【答案】BD
【解析】
【分析】根据三角函数的图象与性质，以及函数图象变换法则计算可判断每个选项的正误.
【详解】因为 ，所以函数 的最小正周期为 ，故A错误，
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，故B正确；
因为 ， ，所以 ， 的取值范围为 ，故C错
误；
由于 ，将其向右平移得到 ，得到 ，故D正
确.
故选：BD.
11. 已知正方体 ，则（ ）
A. 直线 与 所成的角为 B. 直线 与 所成的角为
C. 直线 与平面 所成的角为 D. 直线 与平面ABCD所成的角为
【答案】ABD
【解析】
【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.
【详解】如图，连接 、 ，因为 ，所以直线 与 所成的角即为直线 与 所
成的角，
因为四边形 为正方形，则 ，故直线 与 所成的角为 ，A正确；
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学科网（北京）股份有限公司连接 ，因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，故B正确；
连接 ，设 ，连接 ，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
因为 ， ，所以 平面 ，
所以 为直线 与平面 所成的角，
设正方体棱长为 ，则 ， ， ，
所以，直线 与平面 所成的角为 ，故C错误；
因为 平面 ，所以 为直线 与平面 所成的角，易得 ，故D正
确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 二项式 的展开式中的常数项是______.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】利用二项式 的通项公式 ，即可求出结果.
【详解】二项式 的通项公式为 ，
由 ，得到 ，所以二项式 的展开式中的常数项是
，
故答案为： .
13. 已知双曲线 ，左、右焦点分别为 、 ，过 作倾斜角为 的直线与双曲线 交于
两点，则 的周长为______．
【答案】12
【解析】
【分析】由 ， ，可得 为 ，代入双曲线方程中，
利用弦长公式求出 ，再由双曲线的定义即可求解周长.
【详解】因为 ， ，
所以直线 为 ，
设 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 ，得 ，
则 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以
故答案为：12
14. 学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选4名不同的裁判员（一名主裁判，两名
不同的助理裁判，一名第四裁判），其中高一共 13个班，每个班各一名体育委员，共4个女生，9个男生，
要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概
率为______．
【答案】
【解析】
【分析】先确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数，再确定四名裁判中既有
男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数，最后根据条件概率公式得结果.
【详解】第一步确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数：
先从 名女生中选出一名担任主裁判，有 种选法，再从剩下 人中选出 人分别担任不同的助理裁判以
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学科网（北京）股份有限公司及第四裁判，注意到四名裁判中既有男生也有女生，所以有 种选法，故四名裁判中既有男生也
有女生，且女裁判员担任主裁判的事件数为 ，
第二步确定四名裁判中既有男生也有女生，且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数：
先从 名女生中选出一名担任主裁判，有 种选法；再从 名男生中选出一名担任第四裁判，有 种选法；
最后从剩下 人中选出 人分别担任不同的助理裁判，有 种选法，故四名裁判中既有男生也有女生，
且女裁判员担任主裁判，第四裁判是男生的事件数为 ，
因此，四名裁判中既要有男生，也要有女生，且在女裁判员担任主裁判 的条件下，第四裁判员是男生的概
率为 ，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在 中，角 所对 的边分别为 ,其中
（1）求 ;
（2）求 边上的高，
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求出 ，再由正弦定理求出 ，即可得解；
（2）首先由两角和的正弦公式求出 ，过 作 交 于点 ，在 中， ，
即可求出 ；
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：（1）
因为 且 ， ， ，
由正弦定理可得 ，即 解得 ，
因为 ，
（2）如图，过 作 交 于点 ，
在 中
如图所示，在 中，
故 边上 的高为
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理解三角形以及三角恒等变换的应用，属于中档题.
16. 已知抛物线 ，斜率为 的直线 交抛物线于 两点，且 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）试探究：抛物线 上是否存在点 ，使得 ？若存在，求出 点坐标；若不存在，请说明理
由.
【答案】（1）
（2）存在， 和
【解析】
【分析】（1）由 在抛物线上，代入求出 ，即可求出抛物线 的方程；
（2）设 ，求出直线 并与抛物线 的方程联立，求出 点坐标，将 转化为
，求出 并检查是否符合题意即可.
【小问1详解】
由 在抛物线上，则 ，解得 ，
因此可得抛物线 的方程为 .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司存在点 在抛物线 上，
设点 ，
由直线 的斜率为 ，且过 ，
则直线 的方程为： ，即 ，
联立 ，可得 ，解得 ，或 ，
即可得 点的纵坐标为 ，代入 ，得 ，即 ，
若 ，则 ，即 ，
又 ，
则可得 ，
整理得， ，解得 ，或 ，或 ，或 ，
当 时， 与 重合，舍去，
当 时， 与 重合，舍去，
当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，
综上知，抛物线 上存在点 ，为 和 时， .
17. 如图， 在三棱锥 中，已知 ．
（1）若 ，求证： ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，易证 ，再通过空间位置的关系的向量表示即证
即可；
（2）通过等体积法，求得 到平面 的距离为，即可求解；
【小问1详解】
取 的中点 ，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以 ，又 为平面 内两条相交直线，
所以 平面 ，又 在平面 内，
所以 ，
由
因为 ，所以 ,
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ；
【小问2详解】
过点 作 的垂线，交 于点 ，连接 ，
因为 ，又 为平面 内两条相交直线，
所以 平面 ，又 在平面 内，
所以 ，
又 ，
，
所以 为 中点，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，
由勾股定理可得： ,
所以 ，所以 ，
所以 ，
，
设 到平面 的距离为 ，
则 ，
，
解得： ，
设直线 与平面 所成角为 ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18. 已知函数 ，其中 ．
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）当 时，证明：曲线 是轴对称图形；
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学科网（北京）股份有限公司（3）若 在R上恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1） 在 上单调递增.
（2）证明过程见解析.
（3） .
【解析】
【分析】（1）去绝对值求导函数，根据导函数正负判断原函数增减；
（2）去绝对值判断函数为偶函数，从而确定其关于 轴对称；
（3）先讨论 时不等式恒成立，此时可就 分类讨论后得 ，在此条件下再讨论 不
等式恒成立，从而可求参数的范围.
【小问1详解】
当 时，函数 ，求导得： ；
当 时， ，
， ， ，
当 时， .
当 时，函数 在 上单调递增.
【小问2详解】
当 时，函数
，
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学科网（北京）股份有限公司为偶函数，关于 轴对称；
所以当 时，曲线 是轴对称图形.
【小问3详解】
在 上恒成立， ，
当 时，有 ，
又 ，
当 时， 在 上恒成立，
故 在 上为减函数，故 ，此时不等式恒成立，
若 ， ，
此时当 时， ，
故 不成立，
故当 时，若不等式 恒成立，则 .
若 ，则 ，
又 ，
当 时， ，故
若 ，此时 在 上恒成立，故 在 上 为减函数，
故 在 上恒成立，与题设矛盾；
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学科网（北京）股份有限公司若 ，当 时，有 ，
这与题设矛盾，
若 ，则 ，故 在 上为增函数，
故 恒成立，
综上所述： 的取值范围 .
【点睛】方法点睛：导数背景下的含参不等式恒成立问题，可将导函数的值域求出，从而得到导函数符号
讨论的分类点，再结合函数的单调性及零点处理不等式成立.
19. 若数列 满足 .定义广义规范数列如下： 中共有
项 ，其中 项为 项为1，且对任意 项， 中的－1的个数不少于1
的个数．当 时，满足上述定义的数列称为规范数列．记 表示“广义规范数列”的个数.
（1）若 既为等比数列，又为规范数列，求符合条件的所有 的通项公式；
（2）求 ；进一步证明：当 时， ；
（3）当 且 时，记 表示 项数列中符合广义规范数列的概率，求证： ．
（提示： ）
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出公比，求出首项，分 为奇数和偶数即可求解；
（2）对递推关系进行分析，求解 ，递推计算 ，证明递推式
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学科网（北京）股份有限公司（当 ）即可求解；
（3）求出 ，求出 ，根据单调性和数值计算即可求解.
【小问1详解】
规范数列要求 ，即数列中-1和1的数量相等，均为 项，
等比数列的公比 必须使得所有项 ，
因此公比 只能是-1或1，
若公比 ，则所有项均为首项 的值，
但若 ，则数列全为1，
此时-1的数量为0，与 1矛盾，
同理，若 ，则数列全为-1，
此时1的数量为0，亦矛盾，因此公比 不满足条件，
若公比 ，则数列为交替数列 ，
由于规范数列要求-1和1的数量相等，总项数为 ，
故 ，即 ，
这与规范数列定义一致，接下来需验证前缀条件：对任意 ，前 项中-1的个数不少于1的个数，
若首项 ，则数列为 ，
此时前1项中1的个数为 ， 的个数为0，
不满足前缀条件，因此首项必须为-1，
即 ，数列为 ，
当 为奇数时，前 项中有 个-1和 个1，
显然-1的个数多于1，当 为偶数时，
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学科网（北京）股份有限公司前 项中有 个-1和 个1，满足-1的个数不少于1的个数，
因此，唯一满足条件的等比数列为 ，
进一步验证总项数 时 和 的数量均为 ，
符合规范数列定义；
【小问2详解】
当 时，若第一个位置为-1，
则剩余 个-1和2个1，此时广义规范数列的数目为 ，
若第一个位置为1，则剩余 个-1和1个1，且从第二个位置开始的所有前缀必须满足-1的个数不少于1的
个数，
这种情况等价于 的广义规范数列，其数目为 ，
因此，递推关系为 ，
当 时，数列中有 个-1和1个1，
且每个前缀中-1的个数不少于1的个数，
此时1必须放在第2到第 位中的任意一个位置，
共有 种选择，因此 ，
初始条件为 （规范数列情况），
因为 ，
所以 ，
若第一个位置为-1，则剩余 个-1和 个1，
对应数目为 ，若第一个位置为1，
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学科网（北京）股份有限公司则剩余 个-1和 个1，且从第二个位置开始的所有前缀必须满足-1的个数不少于1的个数，
这种情况等价于 的广义规范数列，
对应数目为 ，由于 ，
上述两种情况互斥且穷尽所有可能，故递推式成立，
综上，当 时，广义规范数列的个数为 ，
且递推关系 （当 ）得证；
【小问3详解】
当 时，广义规范数列的个数 满足递推式，
，
其中 ，
， ，
， ，
，
因此概率为 ，
广义规范数列的数目可表示为 ，
，
，因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以
此不等式恒不成立，说明 随 增大而递增，
因此，最大概率出现在最小 时，
，
当 时， ，
当 时，通过数值验证 严格递减，
故命题成立.
【点睛】关键点点睛：本题（2）关键在于求解 ，递推计算 ，证明递推式
（当 ）.
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学科网（北京）股份有限公司
