文档内容
黑龙江省龙东地区2018年中考数学真题试题
一、填空题（每题3分，满分30分）
1．（3.00分）人民日报2018年2月23日报道，2017年黑龙江粮食总产量达到1203.76亿斤，
成功超越1200亿斤，连续七年居全国首位，将1200亿斤用科学记数法表示为 斤．
2．（3.00分）在函数y= 中，自变量x的取值范围是 ．
3．（3.00分）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件 使平行四边形ABCD是菱形．
4．（3.00分）掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为5的概率是 ．
5．（3.00分）若关于x的一元一次不等式组 有2个负整数解，则a的取值范围是
．
6．（3.00分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为
．
7．（3.00分）用一块半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的高
为 ．
8．（3.00分）如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作
BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为 ．
9．（3.00分）Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，
1使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 ．
10．（3.00分）如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB 为边作等边三角形，得到
1
第一个等边△ABC；再以等边△ABC 的BC 边上的高AB 为边作等边三角形，得到第二个等
1 1 1 1 1 1 2
边△ABC ；再以等边△ABC 的BC 边上的高 AB 为边作等边三角形，得到第三个等边
2 2 2 2 2 2 3
△ABC；…，记△BCB 的面积为S，△BCB 的面积为S，△BCB 的面积为S，如此下去，则
3 3 1 2 1 2 1 3 2 3 2 4 3
S= ．
n
二、选择题（每题3分，满分30分）
11．（3.00分）下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．a12÷a3=a4 B．（3a2）3=9a6
C．（a﹣b）2=a2﹣ab+b2D．2a•3a=6a2
12．（3.00分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
13．（3.00分）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则组成
这个几何体的小正方体的个数不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
14．（3.00分）某学习小组的五名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是94分、98分、90分、94
2分、74分，则下列结论正确的是（ ）
A．平均分是91 B．中位数是90 C．众数是94 D．极差是20
15．（3.00分）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安
排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
16．（3.00分）已知关于x的分式方程 =1的解是负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠2
17．（3.00分）如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC平行于x轴，分别交y=
（x＞0）、y= （x＜0）的图象于B、C两点，若△ABC的面积为2，则k值为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
18．（3.00分）如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积
为（ ）
A．15 B．12.5 C．14.5 D．17
19．（3.00分）为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球，
其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
20．（3.00分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、
3BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB= BC=1，则下列结论：
①∠CAD=30°②BD= ③S =AB•AC④OE= AD⑤S = ，正确的个数是（ ）
平行四边形ABCD △APO
A．2 B．3 C．4 D．5
三、解答题（满分60分）
21．（5.00分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中a=sin30°．
22．（6.00分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐
标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△ABC；
1 1 1
（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△ABC；
2 2 2
（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．
23．（6.00分）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x
轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．
424．（7.00分）为响应党的“文化自信”号召，某校开展了古诗词诵读大赛活动，现随机抽取
部分同学的成绩进行统计，并绘制成如下的两个不完整的统计图，请结合图中提供的信息，
解答下列各题：
（1）直接写出a的值，a= ，并把频数分布直方图补充完整．
（2）求扇形B的圆心角度数．
（3）如果全校有2000名学生参加这次活动，90分以上（含90分）为优秀，那么估计获得优秀
奖的学生有多少人？
25．（8.00分）某市制米厂接到加工大米任务，要求5天内加工完220吨大米，制米厂安排甲、
乙两车间共同完成加工任务，乙车间加工中途停工一段时间维修设备，然后改变加工效率继
续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工大米数量y（吨）与
甲车间加工时间s（天）之间的关系如图（1）所示；未加工大米w（吨）与甲加工时间x（天）之
间的关系如图（2）所示，请结合图象回答下列问题：
（1）甲车间每天加工大米 吨，a= ．
（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工大米数量y（吨）与x（天）之间函数关系式．
（3）若55吨大米恰好装满一节车厢，那么加工多长时间装满第一节车厢？再加工多长时间
恰好装满第二节车厢？
526．（8.00分）如图，在Rt△BCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E
在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F．
（1）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：BC﹣DE= DF．
（2）当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段BC、DE与DF又有怎样的数量关系？
请直接写出你的猜想，不需证明．
27．（10.00分）为了落实党的“精准扶贫”政策，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持
农村生产，已知A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A城往C、D两乡
运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨
和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨．
（1）A城和B城各有多少吨肥料？
（2）设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元，求出最少总运费．
（3）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，这时怎样调运才能使总
运费最少？
28．（10.00分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B坐标（﹣3，0），
点C在y轴正半轴上，且sin∠CBO= ，点P从原点O出发，以每秒一个单位长度的速度沿x
6轴正方向移动，移动时间为t（0≤t≤5）秒，过点P作平行于y轴的直线l，直线l扫过四边形
OCDA的面积为S．
（1）求点D坐标．
（2）求S关于t的函数关系式．
（3）在直线l移动过程中，l上是否存在一点Q，使以B、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角
形？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
7参考答案与试题解析
一、填空题（每题3分，满分30分）
1．（3.00分）人民日报2018年2月23日报道，2017年黑龙江粮食总产量达到1203.76亿斤，
成功超越1200亿斤，连续七年居全国首位，将1200亿斤用科学记数法表示为 1. 2 × 1 0 1 1
斤．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将1200亿斤用科学记数法表示应为1.2×1011斤．
故答案为：1.2×1011
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（3.00分）在函数y= 中，自变量x的取值范围是 x ≥ ﹣ 2 且 x ≠ 0 ．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+2≥0且x≠0，
解得x≥﹣2且x≠0．
故答案为：x≥﹣2且x≠0．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3．（3.00分）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件 AB=B C 或 A C ⊥ B D 使平行四边形
ABCD是菱形．
【分析】根据菱形的判定方法即可判断．
【解答】解：当AB=BC或AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．
故答案为AB=BC或AC⊥BD．
8【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是记住菱形的判定方法．
4．（3.00分）掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为5的概率是 ．
【分析】利用随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果数进行
计算即可．
【解答】解：掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为5的概率是： ，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了概率公式，关键是掌握概率的计算方法．
5．（3.00分）若关于x的一元一次不等式组 有2个负整数解，则a的取值范围是
﹣ 3 ≤ a ＜ ﹣ 2 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集和已知得出a的范围即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞a，
解不等式②得：x＜2，
又∵关于x的一元一次不等式组 有2个负整数解，
∴﹣3≤a＜﹣2，
故答案为：﹣3≤a＜﹣2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集和已知
得出关于a的不等式是解此题的关键．
6．（3.00分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为 5
．
9【分析】连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE= CD，在直角△OCE中，利用勾股定理
即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．
【解答】解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE=DE= CD= ×6=3，
设⊙O的半径为xcm，
则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，
在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，
∴x2=32+（x﹣1）2，
解得：x=5，
∴⊙O的半径为5，
故答案为：5．
【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键．
7．（3.00分）用一块半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的高
为 ．
【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于
圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr= ，然后求出r后利用勾股定理计算圆锥的
高．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
10根据题意得2πr= ，解得r=1，
所以此圆锥的高= = ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面
的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
8．（3.00分）如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作
BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为 2 ．
【分析】作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半
圆O于P、G．将PD+PG转化为D′G找到最小值．
【解答】解：如图：
取点D关于直线AB的对称点D′．以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆．
连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG．连CG并延长交AB于点E．
由以上作图可知，BG⊥EC于G．
PD+PG=PD′+PG=D′G
由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小．
∵D′C=4，OC′=6
∴D′O=
11∴D′G=2
∴PD+PG的最小值为2
故答案为：2
【点评】本题考查线段和的最小值问题，通常思想是将线段之和转化为固定两点之间的线段
和最短．
9．（3.00分）Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，
使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 3. 6 或 4.3 2 或 4. 8 ．
【分析】在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AC=5、S =6，找出所有可能的剪法，并求出
△ABC
剪出的等腰三角形的面积即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3，BC=4，
∴AB= =5，S = AB•BC=6．
△ABC
沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：
①当AB=AP=3时，如图1所示，
S = S = ×6=3.6；
等腰△ABP △ABC
②当AB=BP=3，且P在AC上时，如图2所示，
作△ABC的高BD，则BD= = =2.4，
∴AD=DP= =1.8，
∴AP=2AD=3.6，
∴S = S = ×6=4.32；
等腰△ABP △ABC
④当CB=CP=4时，如图3所示，
S = S = ×6=4.8．
等腰△BCP △ABC
综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8．
故答案为3.6或4.32或4.8．
12【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的剪法，
并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键．
10．（3.00分）如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB 为边作等边三角形，得到
1
第一个等边△ABC；再以等边△ABC 的BC 边上的高AB 为边作等边三角形，得到第二个等
1 1 1 1 1 1 2
边△ABC ；再以等边△ABC 的BC 边上的高 AB 为边作等边三角形，得到第三个等边
2 2 2 2 2 2 3
△ABC；…，记△BCB 的面积为S，△BCB 的面积为S，△BCB 的面积为S，如此下去，则
3 3 1 2 1 2 1 3 2 3 2 4 3
S= （ ） n ．
n
【分析】由AB 为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B 为BC的中点，求出
1 1
BB 的长，利用勾股定理求出AB 的长，进而求出第一个等边三角形ABC 的面积，同理求出第
1 1 1 1
二个等边三角形ABC 的面积，依此类推，得到第n个等边三角形ABC 的面积．
2 2 n n
【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB⊥BC，
1
∴BB=1，AB=2，
1
根据勾股定理得：AB= ，
1
∴第一个等边三角形ABC 的面积为 ×（ ）2= （ ）1；
1 1
∵等边三角形ABC 的边长为 ，AB⊥BC，
1 1 2 1 1
∴BB= ，AB= ，
1 2 1
13根据勾股定理得：AB= ，
2
∴第二个等边三角形ABC 的面积为 ×（ ）2= （ ）2；
2 2
依此类推，第n个等边三角形ABC 的面积为 （ ）n．
n n
故答案为： （ ）n．
【点评】此题考查了等边三角形的性质，属于规律型试题，熟练掌握等边三角形的性质是解本
题的关键．
二、选择题（每题3分，满分30分）
11．（3.00分）下列各运算中，计算正确的是（ ）
A．a12÷a3=a4 B．（3a2）3=9a6
C．（a﹣b）2=a2﹣ab+b2D．2a•3a=6a2
【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式=a9，不符合题意；
B、原式=27a6，不符合题意；
C、原式=a2﹣2ab+b2，不符合题意；
D、原式=6a2，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（3.00分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
14【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图
形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重
合．
13．（3.00分）如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则组成
这个几何体的小正方体的个数不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】左视图底面有2个小正方体，主视图与左视图相同，则可以判断出该几何体底面最少
有2个小正方体，最多有4个．根据这个思路可判断出该几何体有多少个小立方块．
【解答】解：左视图与主视图相同，可判断出底面最少有2个，最多有4个小正方体．而第二层
则只有1个小正方体．
则这个几何体的小立方块可能有3或4或5个．
故选：D．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体，难度不大，主要考查了考生的空间想象能力以及三
视图的相关知识．
14．（3.00分）某学习小组的五名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是94分、98分、90分、94
分、74分，则下列结论正确的是（ ）
A．平均分是91 B．中位数是90 C．众数是94 D．极差是20
【分析】直接利用平均数、中位数、众数以及极差的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、平均分为： （94+98+90+94+74）=90（分），故此选项错误；
B、五名同学成绩按大小顺序排序为：74，90，94，94，98，
故中位数是94分，故此选项错误；
C、94分、98分、90分、94分、74分中，众数是94分．故此选项正确；
D、极差是98﹣74=24，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平均数、中位数、众数以及极差的定义，正确把握相关定义是解题关
15键．
15．（3.00分）某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安
排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】设共有x个班级参赛，根据第一个球队和其他球队打（x﹣1）场球，第二个球队和其他
球队打（x﹣2）场，以此类推可以知道共打（1+2+3+…+x﹣1）场球，然后根据计划安排15场比
赛即可列出方程求解．
【解答】解：设共有x个班级参赛，根据题意得：
=15，
解得：x=6，x=﹣5（不合题意，舍去），
1 2
则共有6个班级参赛．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，关键是准确找到描述语，根据等量关系准确的列出
方程．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
16．（3.00分）已知关于x的分式方程 =1的解是负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠2
【分析】直接解方程得出分式的分母为零，再利用x≠﹣1求出答案．
【解答】解： =1
解得：x=m﹣3，
∵关于x的分式方程 =1的解是负数，
∴m﹣3＜0，
解得：m＜3，
当x=m﹣3=﹣1时，方程无解，
则m≠2，
故m的取值范围是：m＜3且m≠2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确得出分母不为零是解题关键．
1617．（3.00分）如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC平行于x轴，分别交y=
（x＞0）、y= （x＜0）的图象于B、C两点，若△ABC的面积为2，则k值为（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
【分析】连接OC、OB，如图，由于BC∥x轴，根据三角形面积公式得到S =S ，再利用反比
△ACB △OCB
例函数系数k的几何意义得到 •|3|+ •|k|=2，然后解关于k的绝对值方程可得到满足条
件的k的值．
【解答】解：连接OC、OB，如图，
∵BC∥x轴，
∴S =S ，
△ACB △OCB
而S = •|3|+ •|k|，
△OCB
∴ •|3|+ •|k|=2，
而k＜0，
∴k=﹣1．
故选：A．
17【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y= 图象中任取一点，过这
一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图
象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |
k|，且保持不变．
18．（3.00分）如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积
为（ ）
A．15 B．12.5 C．14.5 D．17
【分析】过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，判定△ACD≌△AEB，即可得到△ACE是等腰直角
三角形，四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，根据S = ×5×5=12.5，即可得出结论．
△ACE
【解答】解：如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，
∵∠DAB=∠DCB=90°，
∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，
∴∠D=∠ABE，
又∵∠DAB=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠EAB，
又∵AD=AB，
∴△ACD≌△AEB，
∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，
∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，
∵S = ×5×5=12.5，
△ACE
∴四边形ABCD的面积为12.5，
故选：B．
18【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的
性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在
应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造
三角形．
19．（3.00分）为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球，
其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【分析】设购买篮球x个，排球y个，根据“购买篮球的总钱数+购买排球的总钱数=1200”列
出关于x、y的方程，由x、y均为非负整数即可得．
【解答】解：设购买篮球x个，排球y个，
根据题意可得120x+90y=1200，
则y= ，
∵x、y均为非负整数，
∴x=1、y=12；x=4、y=8；x=7、y=4；x=10、y=0；
所以购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有4种，
故选：A．
【点评】本题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，依据相等关系列出方程．
20．（3.00分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、
BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB= BC=1，则下列结论：
①∠CAD=30°②BD= ③S =AB•AC④OE= AD⑤S = ，正确的个数是（ ）
平行四边形ABCD △APO
19A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】①先根据角平分线和平行得：∠BAE=∠BEA，则AB=BE=1，由有一个角是60度的等腰三
角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：
∠ACE=30°，最后由平行线的性质可作判断；
②先根据三角形中位线定理得：OE= AB= ，OE∥AB，根据勾股定理计算OC= =
和OD的长，可得BD的长；
③因为∠BAC=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；
④根据三角形中位线定理可作判断；
⑤根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得：S =S = OE•OC= ， = ，
△AOE △EOC
代入可得结论．
【解答】解：①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=1，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=BE=1，
∵BC=2，
∴EC=1，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，
∴∠ACE=30°，
20∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACE=30°，
故①正确；
②∵BE=EC，OA=OC，
∴OE= AB= ，OE∥AB，
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，
Rt△EOC中，OC= = ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=90°，
Rt△OCD中，OD= = ，
∴BD=2OD= ，
故②正确；
③由②知：∠BAC=90°，
∴S ABCD=AB•AC，
▱
故③正确；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
∴OE= AB，
故④不正确；
⑤∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC= ，
∴S =S = OE•OC= = ，
△AOE △EOC
∵OE∥AB，
∴ ，
∴ = ，
21∴S = = = ；
△AOP
故⑤正确；
本题正确的有：①②③⑤，4个，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角
形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是
解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．
三、解答题（满分60分）
21．（5.00分）先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中a=sin30°．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，
【解答】解：当a=sin30°时，
所以a=
原式= •
= •
=
=﹣1
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
22．（6.00分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐
标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△ABC；
1 1 1
（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△ABC；
2 2 2
（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．
22【分析】（1）利用轴对称的性质画出图形即可；
（2）利用旋转变换的性质画出图形即可；
（3）BC扫过的面积= ﹣ ，由此计算即可；
【解答】解：（1）△ABC关于x轴对称的△ABC 如图所示；
1 1 1
（2）△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△ABC 如图所示；
2 2 2
（3）BC扫过的面积= ﹣ = ﹣ =2π．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准
确找出对应点的位置是解题的关键．
23．（6.00分）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x
轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．
23【分析】（1）由对称轴直线x=2，以及A点坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线解析式；
（2）由抛物线的对称轴及BC的长，确定出B与C的横坐标，代入抛物线解析式求出纵坐标，
确定出B与C坐标，利用待定系数法求出直线AB解析式，作出直线CP，与AB交于点Q，过Q
作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，由已知面积之比求出QH的长，确定出Q横
坐标，代入直线AB解析式求出纵坐标，确定出Q坐标，再利用待定系数法求出直线CQ解析式，
即可确定出P的坐标．
【解答】解：（1）由题意得：x=﹣ =﹣ =﹣2，c=2，
解得：b=4，c=2，
则此抛物线的解析式为y=x2+4x+2；
（2）∵抛物线对称轴为直线x=﹣2，BC=6，
∴B横坐标为﹣5，C横坐标为1，
把x=1代入抛物线解析式得：y=7，
∴B（﹣5，7），C（1，7），
设直线AB解析式为y=kx+2，
把B坐标代入得：k=﹣1，即y=﹣x+2，
作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，
可得△AQH∽△ABM，
∴ = ，
∵点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，
∴AQ：QB=2：3或AQ：QB=3：2，即AQ：AB=2：5或AQ：QB=3：5，
∵BM=5，
∴QH=2或QH=3，
当QH=2时，把x=﹣2代入直线AB解析式得：y=4，
此时Q（﹣2，4），直线CQ解析式为y=x+6，令y=0，得到x=﹣6，即P（﹣6，0）；
24当QH=3时，把x=﹣3代入直线AB解析式得：y=5，
此时Q（﹣3，5），直线CQ解析式为y= x+ ，令y=0，得到x=﹣13，此时P（﹣13，0），
综上，P的坐标为（﹣6，0）或（﹣13，0）．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数性质，以及二次函数图象上点的
坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
24．（7.00分）为响应党的“文化自信”号召，某校开展了古诗词诵读大赛活动，现随机抽取
部分同学的成绩进行统计，并绘制成如下的两个不完整的统计图，请结合图中提供的信息，
解答下列各题：
（1）直接写出a的值，a= 3 0 ，并把频数分布直方图补充完整．
（2）求扇形B的圆心角度数．
（3）如果全校有2000名学生参加这次活动，90分以上（含90分）为优秀，那么估计获得优秀
奖的学生有多少人？
【分析】（1）先根据E等级人数及其占总人数的比例可得总人数，再用D等级人数除以总人数
可得a的值，用总人数减去其他各等级人数求得C等级人数可补全图形；
（2）用360°乘以A等级人数所占比例可得；
（3）用总人数乘以样本中E等级人数所占比例．
25【解答】解：（1）∵被调查的总人数为10÷ =50（人），
∴D等级人数所占百分比a%= ×100%=30%，即a=30，
C等级人数为50﹣（5+7+15+10）=13人，
补全图形如下：
故答案为：30；
（2）扇形B的圆心角度数为360°× =50.4°；
（3）估计获得优秀奖的学生有2000× =400人．
【点评】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图
中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统
计图直接反映部分占总体的百分比大小．
25．（8.00分）某市制米厂接到加工大米任务，要求5天内加工完220吨大米，制米厂安排甲、
乙两车间共同完成加工任务，乙车间加工中途停工一段时间维修设备，然后改变加工效率继
续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工大米数量y（吨）与
甲车间加工时间s（天）之间的关系如图（1）所示；未加工大米w（吨）与甲加工时间x（天）之
间的关系如图（2）所示，请结合图象回答下列问题：
（1）甲车间每天加工大米 2 0 吨，a= 1 5 ．
（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工大米数量y（吨）与x（天）之间函数关系式．
（3）若55吨大米恰好装满一节车厢，那么加工多长时间装满第一节车厢？再加工多长时间
26恰好装满第二节车厢？
【分析】（1）根据题意，由图2得出两个车间同时加工和甲单独加工的速度；
（2）用待定系数法解决问题；
（3）求出两个车间每天加工速度分别计算两个55吨完成的时间．
【解答】解：（1）由图象可知，第一天甲乙共加工220﹣185=35吨，第二天，乙停止工作，甲单
独加工185﹣165=20吨，
则乙一天加工35﹣20=15吨．a=15
故答案为：20，15
（2）设y=kx+b
把（2，15），（5，120）代入
解得
∴y=35x﹣55
（3）由图2可知
当w=220﹣55=165时，恰好是第二天加工结束．
当2≤x≤5时，两个车间每天加工速度为 =55吨
∴再过1天装满第二节车厢
【点评】本题为一次函数实际应用问题，应用了待定系数法．解答要注意通过对边两个函数图
象实际意义对比分析得到问题答案．
26．（8.00分）如图，在Rt△BCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E
在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F．
27（1）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：BC﹣DE= DF．
（2）当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段BC、DE与DF又有怎样的数量关系？
请直接写出你的猜想，不需证明．
【分析】（1）如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．构造全等三角形即可解决问题；
（2）如图2中，在BC上截取BH=BE，同法可证：DF=EH．可得：DE﹣BC= DF．如图3中，在BA
上截取BH，使得BH=BE．同法可证：DF=HE，可得BC+DE= DF．
【解答】（1）证明：如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．
∵BC=AB=BD，BE=BH，
∴AH=ED，
∵∠AEF=∠ABE=90°，
∴∠AEB+∠FED=90°，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠FED=∠HAE，
∵∠BHE=∠CDB=45°，
∴∠AHE=∠EDF=135°，
∴△AHE≌△EDF，
∴HE=DF，
28∴BC﹣DE=BD﹣DE=BE= EH= DF．
∴BC﹣DE= DF．
（2）解：如图2中，在BC上截取BH=BE，同法可证：DF=EH．
可得：DE﹣BC= DF．
如图3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．同法可证：DF=HE，
可得BC+DE= DF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学
会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
27．（10.00分）为了落实党的“精准扶贫”政策，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持
农村生产，已知A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A城往C、D两乡
运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨
和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨．
29（1）A城和B城各有多少吨肥料？
（2）设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元，求出最少总运费．
（3）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，这时怎样调运才能使总
运费最少？
【分析】（1）根据A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，列方程或方程组
得答案；
（2）设从A城运往C乡肥料x吨，用含x的代数式分别表示出从A运往运往D乡的肥料吨数，
从B城运往C乡肥料吨数，及从B城运往D乡肥料吨数，根据：运费=运输吨数×运输费用，得
一次函数解析式，利用一次函数的性质得结论；
（3）列出当A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元时的一次函数解析式，利用一次函数
的性质讨论，得结论．
【解答】解：（1）设A城有化肥a吨，B城有化肥b吨
根据题意，得
解得
答：A城和B城分别有200吨和300吨肥料；
（2）设从A城运往C乡肥料x吨，则运往D乡（200﹣x）吨
从B城运往C乡肥料（240﹣x）吨，则运往D乡（60+x）吨
如总运费为y元，根据题意，
则：y=20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）
=4x+10040
由于函数是一次函数，k=4＞0
所以当x=0时，运费最少，最少运费是10040元．
（3）从A城运往C乡肥料x吨，由于A城运往C乡的运费每吨减少a（0＜a＜6）元，
所以y=y=（20﹣a）x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）
=（4﹣a）x+10040
当0＜a≤4时，∵4﹣a≥0
∴当x=0时，运费最少；
当4＜a＜6时，∵4﹣a＜0
∴当x=240时，运费最少．
所以：当0＜a≤4时，A城化肥全部运往D乡，B城运往C城240吨，运往D乡60吨，运费最少；
30当4＜a＜6时，A城化肥全部运往C乡，B城运往C城40吨，运往D乡260吨，运费最少．
【点评】本题考查了二元一次方程组及一次函数的应用．根据题意列出一次函数解析式是关
键．注意到（3）需分类讨论．
28．（10.00分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B坐标（﹣3，0），
点C在y轴正半轴上，且sin∠CBO= ，点P从原点O出发，以每秒一个单位长度的速度沿x
轴正方向移动，移动时间为t（0≤t≤5）秒，过点P作平行于y轴的直线l，直线l扫过四边形
OCDA的面积为S．
（1）求点D坐标．
（2）求S关于t的函数关系式．
（3）在直线l移动过程中，l上是否存在一点Q，使以B、C、Q为顶点的三角形是等腰直角三角
形？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）在Rt△BOC中，OB=3，sin∠CBO= = ，设CO=4k，BC=5k，根据BC2=CO2+OB2，可得
25k2=16k2+9，推出k=1或﹣1（舍弃），求出菱形的边长即可解决问题；
（2）①如图1中，当0≤t≤2时，直线l扫过的图象是四边形CCQP，S=4t．②如图2中，当2＜
t≤5时，直线l扫过的图形是五边形OCQTA．分别求解即可解决问题；
（3）分三种情形分解求解即可解决问题；
【解答】解：（1）在Rt△BOC中，OB=3，sin∠CBO= = ，设CO=4k，BC=5k，
∵BC2=CO2+OB2，
∴25k2=16k2+9，
∴k=1或﹣1（舍弃），
31BC=5，OC=4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=BC=5，
∴D（5，4）．
（2）①如图1中，当0≤t≤2时，直线l扫过的图象是四边形CCQP，S=4t．
②如图2中，当2＜t≤5时，直线l扫过的图形是五边形OCQTA．
S=S ﹣S = ×（2+5）×4﹣ ×（5﹣t）× （5﹣t）=﹣ t2+ t﹣ ．
梯形OCDA △DQT
（3）如图3中，①当QB=QC，∠BQC=90°，Q（ ， ）．
②当BC=CQ′，∠BCQ′=90°时，Q′（4，1）；
③当BC=BQ″，∠CBQ″=90°时，Q″（1，﹣3）；
32综上所述，满足条件的点Q坐标为（ ， ）或（4，1）或（1，﹣3）．
【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的
关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．
33
