文档内容
执信、金中、深外三校高三（第一学期）联合调研考试
数学（学科）试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号码等信息填写在答题卡上．
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 中的元素个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】应用并运算求 ，即可得元素个数.
【详解】由题设 ，所以 ，故其中元素共有4个.
故选：B
2. 若复数 ，则 （ ）
A. 2 B. C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】先化简复数z，再利用复数的模求解.
【详解】因为复数 ，
所以 ，
所以 ，故选：B
3. 已知直线 ， ， 是三条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ， ， ， ，则
B. 若 ， ，则
C. 若 ， ， ，则
D. 若 ， ， ， ，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间中的线面关系及面面垂直的性质定理，逐项分析判断即可求解.
【详解】若 ， ， ， ，则 或 ，故选项A不正确；
若 ， ，则 或 ，故选项B不正确；
若 ， ， ，则 或 ，故选项C不正确；
由面面垂直的性质定理可知选项D正确.
故选：D.
4. 已知数列 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题知 ，则 ，代入计算即可得到
，继而得到 .
【详解】 数列满足 ，则 ，
，则
，
故选：A.
5. 平行四边形 中， , 点P在边CD上，则 的取值范围是
（ ）
A. [-1,8] B. C. [0,8] D. [-1,0]
【答案】A
【解析】
【详解】∵ , ，∴ ，∴ ，A=60°，
以A为原点，以AB所在的直线为 轴，以AB的垂线为 轴，建立如图所示的坐标系，
∴A(0,0),B(4,0), ，
设 ，∴ ，
∴ ，
设 ，∴ 在 上单调递减,在 上单调递增，
结合二次函数的性质可知：函数的最小值为： ，函数的最大值为 ，
则 的取值范围是[−1,8]，
本题选择A选项.
点睛：在利用平面向量的数量积解决平面几何中的问题时，首先要想到是否能建立平面直角坐标系，利用
坐标运算题目会容易的多．6. 在等差数列 中，公差 是 与 的等比中项．已知数列 成等
比数列，则数列 的通项公式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】计算等差数列 的基本量 ，进而得 ，数列 记为 ，则
为等比数列，即可得 ，由等差数列通项公式即可求解.
【详解】依题意 ，即 ，解得 ，故 ．
新数列 ，记为 ，则 为等比数列，
所以公比 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ．
故选：B
7. 已知函数 的图象是由 的图象向右平移 个
单位得到的．若 在 上仅有一个零点，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A【解析】
【分析】将问题化为函数 在 上仅有一个零点，求出零点，然后讨论由第一
个正零点在区间 上，第二个正零点大于 列不等式组求解可得.
【详解】由题知，函数 在 上仅有一个零点，
所以 ，所以 ，
令 ，得 ，即 .
若第一个正零点 ，则 （矛盾），
因为函数 在 上仅有一个零点，
所以 ，解得 .
故选：A
8. 若正实数a，b满足 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.【答案】D
【解析】
【分析】根据函数单调性及 得到 或 ，分别讨论两种情况下四个选项是否
正确，A选项可以用对数函数单调性得到，B选项可以用作差法，C选项用作差法及指数函数单调性进行
求解，D选项，需要构造函数进行求解.
【详解】因为 ， 为单调递增函数，故 ，由于 ，故 ，
或 ，
当 时， ，此时 ；
，故 ；
， ；
当 时， ，此时 ， ，故
；
， ；
故ABC均错误；
D选项， ，两边取自然对数， ，因为不管 ，还是 ，
均有 ，所以 ，故只需证 即可，
设 （ 且 ），则 ，令 （ 且 ），则，当 时， ，当 时， ，所以
，所以 在 且 上恒成立，故 （ 且 ）单调递减，
因为 ，所以 ，结论得证，D正确
故选：D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分
9. 已知函数 ，则（ ）
A. 曲线 关于 轴对称 B. 曲线 关于原点对称
C. 在 上单调递减 D. 在 上单调递增
【答案】AD
【解析】
【分析】求得函数 的奇偶性判断选项AB；利用导数求得 在 上的单调性判断选项C；求
得 在 上的单调性判断选项D.
【详解】函数 定义域为 ，
，
则函数 为偶函数，曲线 关于 轴对称.
则选项A判断正确；选项B判断错误；
当 时， ， ，
则当 时， ， 单调递增，则选项C判断错误；当 时， ， ，
则当 时， ， 单调递增，则选项D判断正确.
故选：AD
10. 函数 的所有极值点从小到大排列成数列 ，设 是 的前 项和，则
下列结论中正确的是（ ）
A. 数列 为等差数列 B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】先对函数求导，结合导数确定极值点，然后结合三角函数的性质分别检验各选项即可判断.
【详解】由 ，令 ，得 或 ， ，
由正弦函数的图象和性质可得函数 的极值点为 或 ， ，
又 ，则 ， ， ， ，…，
对于A，数列 的奇数项成首项为 ，公差为 的等差数列，偶数项成首项为 ，公差为 的等差
数列，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于C，，
，故C正确；
对于D，由 ，则 ，故
D错误.
故选：BC.
11. 已知正方体 棱长为2，如图， 为棱 上的动点， 平面 ．下面说法正
确的是（ ）
A. 直线 与平面 所成角的正弦值范围为
B. 点 与点 重合时，平面 截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
C. 点 为 的中点时，若平面 经过点 ，则平面 截正方体所得截面图形是等腰梯形
D. 已知 为 中点，当 的和最小时， 的长度为
【答案】AC
【解析】
【分析】以点D为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系 ，利用
空间向量法可判断A选项的正误；证明出 平面 ，分别取棱 , , , , , 的中点 ，比较 和六边形 的周长和面积的大小，可判断B选项的正误；
利用空间向量法找出平面 与棱 、 的交点 ，判断四边形 的形状可判断C选项的正
误；将矩形 与矩形 摊平为一个平面，利用 三点共线得知 最短，利用
平行线分线段成比例定理求得 ,可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，以点D为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系
，
则点 、 、设点 ，
平面 ，则 为平面 的一个法向量，且 ， ，
，
所以，直线 与平面 所成角的正弦值范围为 ，A选项正确；
对于B选项，当 与 重合时，连接 ，
在正方体 中， 平面 ， 平面 ， ，
∵四边形 是正方形，则 ， ， 平面 ，平面 ，
平面 ， ，同理可证 ，
， 平面 ， 平面 ，
易知 是边长为 的等边三角形，其面积为 ，周长为
.
分别取棱 , , , , , 的中点 ，
易知六边形 是边长为 的正六边形，且平面 平面 ，
正六边形 的周长为 ，面积为 ，
则 的面积小于正六边形 的面积，它们的周长相等，B选项错误；
对于C选项，设平面 交棱 于点 ，点 ， ，
平面 ， 平面 ， ，即 ，得 ， ，所以，点 为棱 的中点，同理可知，点 为棱 的中点，则 ， ，
而 ， ， 且 ，
由空间中两点间的距离公式可得 ， ，
，所以，四边形 为等腰梯形，C选项正确；
对于D选项，将矩形 与矩形 沿 摊平为一个平面，如下图所示：
若 最短，则 三点共线，
， ，又 ，
，D选项错误.
故选：AC.
三、填空题：本大题共3小题，共15分
12. 已知平面向量 ， ，若 ，则 ___________.
【答案】
【解析】
【分析】由向量平行可得 ，再由向量线性运算的坐标表示可得 ，最后应用向量模长
的坐标运算求 .
【详解】由题设， ，即 ，则 ，
所以 ，故 .
故答案为： .13. 在△ABC中， ，面积为12，则 =______．
【答案】
【解析】
【分析】利用面积公式即可求出sinC．使用二倍角公式求出cos2C．
【详解】由题意，在 中， ， ，面积为12，
则 ，解得 ．
∴ ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了三角形的面积公式，二倍角公式在解三角形中的应用，其中解答中应用三角形的面积
公式和余弦的倍角公式，合理余运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
14. 当 时，函数 的图象在直线 的下方，则实数 的取值范围是
___________．
【答案】
【解析】
【分析】分离参数，构造函数，求导分析出单调性，求出该函数的最小值，即可得到 的取值范围.
【详解】由题意知， ，即
构造函数 ，则
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，故 ，故当 时 单调递减；
当 时 单调递增，
所以 ，所以 .
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
（1）求A；
（2）若∠BAC的角平分线交BC于点D，且 ，求 面积的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助降幂公式及正弦定理与辅助角公式计算即可得解.
（2）借助等面积法及基本不等式即可得解.
【小问1详解】
，
由正弦定理可知： ，
又 ，化简得 ，
即 ，
所以， ，即 ，因为 ，所以 ，从而 ；
【小问2详解】
由题意可得： ，
且 ，即 ，
化简得 ，
而 ，解得 ，等号成立当且仅当 ，
的面积 ，等号成立当且仅当 ，
综上所述， 的面积的最小值为 .
16. 已知 的周长为12，顶点 的坐标分别为 为动点．
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）过原点作两条关于 轴对称的直线（不与坐标轴重合），使它们分别与曲线 交于两点，求这四点
所对应的四边形的面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆定义求出 ，求得曲线 的方程；
（2）设两直线的方程为 与 ，求出 与曲线 在第一象限内的交点坐标，表示
其面积并利用基本不等式求解.
【小问1详解】
由题意知 ，所以 的轨迹 为椭圆的一部分，且 ，所以 .
故曲线 的方程为
【小问2详解】
设两直线的方程为 与 ，
记 与曲线 在第一象限内的交点为 ，
由 ，可得 ，
结合图形的对称性可知：四交点对应的四边形为矩形，且其面积 ，
因为 ，所以 （当且仅当 时取等号），
故四边形面积的最大值为 .
17. 如图，在五面体ABCDE中， 平面ABC， ， ， .（1）求证：平面 平面ACD；
（2）若 ， ，五面体ABCDE的体积为 ，求直线CE与平面ABED所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）若 是 中点，连接 ，作 ，根据题设可得 两两垂直，构建空
间直角坐标系，令 ， 并确定点坐标，求面 、面 的法向
量，应用空间向量夹角的坐标表示即可证结论.
（2）根据已知体积，结合棱锥的体积公式求出 ，进而求面ABED的法向量、直线CE的方向向量，
应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值.
【小问1详解】
若 是 中点，连接 ，作 ，由 知： ，
因为 面ABC，则 面ABC，又 面ABC，
所以 ， ，
综上， 两两垂直，故可构建如下图示的空间直角坐标系 ，令 ， ， ，则 ， ， ，
所以 ， ，
若 是面 的一个法向量，即 ，令 ，则 ，
又 是面 的一个法向量，则 ，
所以面 面 .
【
小问2详解】
由 面ABC， 面ABED，则面ABED 面ABC，故 到面ABED的距离，即为△ 中
上的高，
因为 ， ，则 ，故 ，
所以 上的高 .
又 面ABC，则 ，而 ，有 ， ，
所以 为直角梯形，令 ，则 ，
综上， ，故 .
由（1）知： ， ， ， ，
所以 ， ，
若 是面ABED的一个法向量，即 ，令 ，则 ，而 ，则 ，
所以直线CE与平面ABED所成角的正弦值为 .
.
18 已知 且 ，函数 ．
的
（1）当 时，求 单调区间；
（2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a的取值范围．
【答案】（1） 上单调递增； 上单调递减；（2） .
【解析】
【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；
（2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线 与直线 有且仅有两个交点等价转化
为方程 有两个不同的实数根，即曲线 与直线 有两个交点，利用导函数研究
的单调性，并结合 的正负，零点和极限值分析 的图象，进而得到 ，发现这
正好是 ，然后根据 的图象和单调性得到 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ,
令 得 ,当 时， ,当 时， ,
∴函数 在 上单调递增； 上单调递减；（2）[方法一]【最优解】：分离参数
,设函数 ,
则 ,令 ，得 ,
在 内 , 单调递增；
在 上 , 单调递减；
,
又 ，当 趋近于 时， 趋近于0，
所以曲线 与直线 有且仅有两个交点，即曲线 与直线 有两个交点的充分
必要条件是 ,这即是 ,
所以 的取值范围是 .
[方法二]：构造差函数
由 与直线 有且仅有两个交点知 ，即 在区间 内有两个解，取对数得
方程 在区间 内有两个解．
构造函数 ，求导数得 ．
当 时， 在区间 内单调递增，所以，
在 内最多只有一个零点，不符合题意；当 时， ，令 得 ，当 时， ；当 时，
；所以，函数 的递增区间为 ，递减区间为 ．
由于 ，
当 时，有 ，即 ，由函数 在 内有两个零点知
，所以 ，即 ．
构造函数 ，则 ，所以 的递减区间为 ，递增区间为 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，故 的解为 且 ．
所以，实数a的取值范围为 ．
[方法三]分离法：一曲一直
曲线 与 有且仅有两个交点等价为 在区间 内有两个不相同的解．
因为 ，所以两边取对数得 ，即 ，问题等价为 与
有且仅有两个交点．
①当 时， 与 只有一个交点，不符合题意．
②当 时，取 上一点 在点 的切线方程为
，即 ．当 与 为同一直线时有 得
直线 的斜率满足： 时， 与 有且仅有两个交点．
记 ，令 ，有 ． 在区间 内单调递增；
在区间 内单调递减； 时， 最大值为 ，所以当
且 时有 ．
综上所述，实数a的取值范围为 ．
[方法四]：直接法
．
因为 ，由 得 ．
当 时， 在区间 内单调递增，不满足题意；
当 时， ，由 得 在区间 内单调递增，由 得
在区间 内单调递减．
因为 ，且 ，所以 ，即 ，即，两边取对数，得 ，即 ．
令 ，则 ，令 ，则 ，所以 在区间 内单调递增，
在区间 内单调递减，所以 ，所以 ，则 的解为 ，所以
，即 ．
故实数a的范围为 ．]
【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，
属较难试题，
方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数
形结合思想求解.
方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值.
方法三：将问题取对，分成 与 两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切
线斜率与一次函数的斜率比较得到结论．
方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.
19. 已知数列 满足： ， ，其中 为数列 的前n项和．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设m为正整数，若存在首项为1且公比为正数的等比数列 （ ），对任意正整数k，当
时，都有 成立，求m的最大值．
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）由题意利用递推关系式讨论可得数列 是等差数列，据此即可确定其通项公式；（2）求出 ，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得 的最大值．
【小问1详解】
因为 ，所以 ，
由 ， 得 ，则 ， ，
由 ，得 ，
当 时，由 ，得 ，
故
整理得 ，
所以数列 是等差数列，且首项为 ，公差为 ，
所以 ；
【小问2详解】
由（1）知 ， ,
因为数列 为首项为1且公比为正数的等比数列，设公比为q，所以 ， ，
因为 ，所以 ，其中 ，2，3，…，m．
当 时，有 ；
当 ，3， ，m时，有 ．
设 （ ），则 ，令 ，得 ，列表如下：
x
单调递增 极大值 单调递减
因 为 ，所以 ．
所以 ，故 ，故 ，
令 （ ），则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，即 ，
∴ 在 上单调递减，
即 时， ，则 ，
下面求解不等式 ，
化简得 ，
令 ，则 ，
由 得 ， ，∴ 在 上单调递减，
又由于 ， ，∴存在 使得 ，所以 ，
∴m的最大值为5．
【点睛】方法点睛：等差数列的三种判定方法：
（1）定义法： （常数） 数列 为等差数列；
（2）等差中项法： 数列 为等差数列；
（3）通项公式法： （ 、 为常数， ） 数列 为等差数列.
但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.
