数学试卷答案_2025年1月_250112江西五市十校联考暨江西省十校协作体2025届高三第一次联考_江西省十校协作体2024-2025学年高三上学期第一次联考数学

江西省十校协作体 2025 届高三第一次联考数学答案
一、1A 2A 3C 4C 5C 6A 7D 8B
1、A 由题， 得 ，故 ，进而 ，
2、A 因为 ，所以 .
令 ，即 ，解得 或 ，所以 推得出 ，故充分性成立；
由 推不出 ，故必要性不成立；所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
3、C 由题意可得 ，因为 ，所以 ，
解得
4、C 由题意可知， ，且 ，
所以样本平均数 ，
故该校高一学生的平均身高的估计值为 ．
5、C
对于A， ，当且仅当 时取等号，所以其最小值为 ，A不符合题意；
对于B，因为 ， ，当且仅当 时取等号，等号取不到，所以
其最小值不为 ，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为 ，而 ， ，当且仅当 ，即 时
取等号，所以其最小值为 ，C符合题意；
对于D， ，函数定义域为 ，而 且 ，如当 ， ，D
不符合题意．
6、 A
“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”可分为甲最后一个出场或甲在中
间出场，方法数为 ，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出
场”的前提下，“运动员丙第一个出场”，即“运动员丙第一个出场，运动员乙不是最后一个
出场”，方法数为 ，因此所求概率为 ．
7、D圆 的圆心为 ，半径 ，
{#{QQABIYCEggigAhBAABhCQwlwCAAQkgGACSgOQAAMMAIASBNABCA=}#}双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，
因为 ，所以圆心 到双曲线的渐近线的距离 ，
所以 ，即 ，所以 ，即该双曲线的离心率为 .
8、B
二、9 BD 10 AC 11ABD
9、
10、AC
由图象得 ，周期 ，得 ，
{#{QQABIYCEggigAhBAABhCQwlwCAAQkgGACSgOQAAMMAIASBNABCA=}#}所以 ， ．
令 ，解得 ，故单调递增区间为
．A 正确，B错误；令 ，解得 ，
令 得 ，解得 ，可知C选项正确；函数图象关于直
线 对称，向左平移3 个单位长度，图象关于 轴对称，得到的函数为偶函数，故 D 错误．
11 ABD
G
A选项、
取EF的中点G，连接 CG、DG，DC，CG 平行且等于 BE，在三棱台中，易得 DC=DG=2 3，CG=2，
3
易得DCG的余弦值为
6 ，A 正确。
H
G
B选项、
取EF的中点G、取DF的中点H，连接CG、CH、HG，易得 CG 平行且等于BE，易得CH 平行且等
于AD，所得面CHG平行面ABED，面 CHG 与面 FDE相交与HG，HG为三角形 FDE 的中位线，HG=2，
B正确。
{#{QQABIYCEggigAhBAABhCQwlwCAAQkgGACSgOQAAMMAIASBNABCA=}#}J
K
C选项、
过 C 作 CJ 垂直面 DEF 于 J，取 DE 的中点为 K，连接 FK，点 J 在 FK 上，CJ 为定值，在面 DEF
内的动点M到E点时，EJ的距离最长，此时CEJ的正切值最小，CEJ 的余弦值最大。
2 2 2 2 4
CFJ的正弦值为 ，CF=2，所以CJ= ，FJ= ，在三角形DEF中，FK=2 3 ，KJ= ，
3 3 3 3
2 7 7
又因为KE=2，所以JE= ，所以CE=2 3 ，CEJ的余弦值是 ，C错误。
3 3
o
T
J
D选项、
2 2 2
过 C 作 CJ 垂直面 DEF 于 J，由 C 选项可知, CJ= ，FJ= ，此时 M 点运动到点 J 时，
3 3
MCMF。以 CF 为直径的球与面 DEF 的交线，就是 M 点的轨迹。取 O 为 CF 的中点，T 为 JF 的
1
中点，点M在以T 为圆心，TJ为半径的圆弧上运动，这段圆弧对的圆心角为120°，TJ= ，
3
2 3
这段圆弧的长度为 。
9
 2
三、 12、-25 13、0.5 14、 0,   1,2 
 5
{#{QQABIYCEggigAhBAABhCQwlwCAAQkgGACSgOQAAMMAIASBNABCA=}#}12、
当 取1， 取 ， 的系数为 ；当 取 ， 取 时，得
的系数为： .所以 的系数为： .
13、0.5
设等比数列 a 的奇数项的和、偶数项的和分别为 ， .
n
由题意可得 解得 所以 ．故答案为：0. .
5
当 0<a<1 时，外层函数 y log u 为减函数，要使函数有最小值，对于内层函数
a
14．
 5a20 2
u  5a2  x2 4ax2 有最大值，所以  a , 又 0a1, 所以
16a2 8  5a2 0 5
2
0a ;当a1时，外层函数 y log u 为增函数，要使函数有最小值，对于内层函数
5 a
 5a20 1
u  5a2  x2 4ax2有最小值，有 ，解得 a2,又a1，所以
16a2 8  5a2 0 2
 2
1a2,综上所述，实数a的取值范围是 0,   1,2 
 5
四、15.（1）因为b2c2a2 bc，
b2c2a2 bc 1
由余弦定理可得cosA   . 5分
2bc 2bc 2
（2）因为cosA 1 ，A0,π，则A π ，
2 3
b c a
由正弦定理可得   2，
sinB sinC sinA
 π
所以，bc2sinB2sinC 2sinB2sinAB2sinB2sinB 
 3
 π
2sinBsinB 3cosB3sinB 3cosB2 3sinB ， 9分
 6
 π
0B

 2 π π
因为ABC为锐角三角形，则 ，解得 B ，
 0C 2π B π 6 2
 3 2
π π 2π  π  3 
所以， B  ，则sinB 

 ,1，
3 6 3  6  2 
{#{QQABIYCEggigAhBAABhCQwlwCAAQkgGACSgOQAAMMAIASBNABCA=}#} π 
故bc2 3sinB  3,2 3

 .
 6

即bc的取值范围是 3,2 3 . 13分

16.（1）取PD的中点N ，连接AN，MN，如图所示：
M 为棱PC的中点，
1 1
MN//CD，MN  CD，Q AB//CD，AB CD，AB//MN ，ABMN，
2 2
四边形ABMN是平行四边形，BM//AN，
又BM  平面PAD，MN 平面PAD，
BM//平面PAD； 6分
（2）PC  5，PD 1，CD2，
PC2 PD2CD2，PD DC，
平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDDC，
PD平面PDC，
PD平面ABCD，
又AD，CD平面ABCD，PDAD，PDCD，由ADDC， 8分
以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：
 1
则P0,0,1，D0,0,0，A1,0,0，C0,2,0，M0,1, ，B1,1,0，
 2
  1 
（i）故DM 0,1, ，DB1,1,0
 2
设平面BDM 的一个法向量为 ，
  =  ,  , 
{#{QQABIYCEggigAhBAABhCQwlwCAAQkgGACSgOQAAMMAIASBNABCA=}#}  1
nDM  y z 0 
则 2 ，令z2，则y1，x1，n1,1,2， 10分
 
nDBxy 0

平面PBM 的一个法向量为ma,b,c ,
  1 
PM 0,1, ,PB 1,1,1
 2
  1
mPM b c 0 
则 2 ，令c2，则b1，a1，故m1,1,2， 12分
 
mPBabc 0
 
  nm 4 2
, cosn,m     ，
n m 6 6 3
2
由于二面角PBM D的平面角为锐角，故二面角PBM D 的余弦值为 ； 15分
3
2a2c42 3,

17.(1）由题意知
c 3
  ,
a 2
解得a2,c 3,b1，
x2
∴椭圆 C 的方程为 y2 1. 5分
4
（2）如图，
设M(x,y ),N(x ,y ), F ( 3,0),A(2,0),B(2,0).
1 1 2 2 2
x2
  y2 1, 6t 5
设l:xty3, 联立 4 得(4t2)y6ty50,y y  ,y y  .6分

1 2 4t2 1 2 4t2
xty30,
1 3  3
①S S S  |QF |||y | |y || |y y |(y y  0),
F2MN QF2N QF2M 2 2 2 1 2 2 1 1 2
16t280
| y y | (y y )2 (y  y )24y y  .
1 2 1 2 1 2 1 2 4t2
3 3
t  6,S  ； 10分
MF2N 5
y y
②设l :y 2 (x2),l :y 1 (x2)，
AN x 2 BM x 2
2 1
{#{QQABIYCEggigAhBAABhCQwlwCAAQkgGACSgOQAAMMAIASBNABCA=}#}y y x2 y x 2 y x 2y
 2 (x2) 1 (x2)  2  1  2 1 2 ， 12分
x 2 x 2 x 2 x 2 y x y 2y
2 1 2 1 2 1 1
y x 2y y (ty 3)2y ty y 5y
 2 1 2  2 1 2  1 2 2 ,
x y 2y y (ty 3)2y ty y y
2 1 1 1 2 1 1 2 1
y y 5 5
由 2 1  ，得ty y  (y y )，
y  y 6t 1 2 6 1 2
2 1
5 25
y  y
x2 6 1 6 2 4
  5, x .
x2 5 1 3
y  y
6 2 6 1
4
故交点的轨迹方程为x . 15分
3
a
（1）由题意得 fx2x ，
x
又 f x的图象在x1处的切线方程为3xyb0，
a
所以 f12 3，解得a1，
1
所以 f x x2lnx1，所以 f 10，所以3b0，解得b3. 5分
a
（2）由题意得 f x的定义域为0,， fx2x ，
x
当a0时， fx0， f x在0,上单调递增，
又 f 10，所以 f x有且仅有一个零点1； 6分
当0a2时，令 fx0，解得x a 1，
2
易知在

0,
a
上， fx0，则 f x在

0,
a
上单调递减，
   
 2  2
在   a ,  上， fx0，则 f x在  a ,  上单调递增，
   
 2   2 
又 f



a


 f 10， f

e  a
1
e  a
2
0，
 2  
所以 f x在  0, a 上有一个零点， f x在  a ,  上有一个零点1，
   
 2  2 
所以 f x在  0, a ，   a ,  上各有一个零点； 8分
   
 2  2 
当a2时，令 fx0，解得x1，
{#{QQABIYCEggigAhBAABhCQwlwCAAQkgGACSgOQAAMMAIASBNABCA=}#}易知在0,1上， fx0，则 f x在0,1上单调递减，
在1,上， fx0，则 f x在1,上单调递增，
故 f x的最小值为 f 10，故 f x仅有一个零点； 9分
当a2时，令 fx0，解得x a 1，
2
易知在

0,
a
上， fx0，则 f x在

0,
a
上单调递减，且 f 10，
   
 2  2
所以 f x在

0,
a
上有一个零点1，
 
 2
在   a ,  上， fx0，则 f x在  a ,  上单调递增，
   
 2   2 
 a
又 f      f 10， f  ea   ea2 1a2 a121a2 2a0，
 2
所以 f x在   a ,  上有一个零点，
 
 2 
故 f x在  0, a   ，  a ,  上各有一个零点.
   
 2  2 
综上，当a0或a2时， f x仅有一个零点；
当0a2或a2时， f x有两个零点. 12分
（2）证明：若a2，则 f xx22lnx1，
2
2x1x1
所以 fx2x  ，
x x
令 fx0，解得x1，令 fx0，解得0x1，
所以 f x在0,1上单调递减，在1,上单调递增，
所以 f x  f 10，所以 f x0， 14分
min
当且仅当x1时，等号成立；
令gx x1  1 ，x0，所以gx exx1ex  2x ，
ex e2  ex2 ex
{#{QQABIYCEggigAhBAABhCQwlwCAAQkgGACSgOQAAMMAIASBNABCA=}#}令gx0，解得0x2，令gx0，解得x2，
所以gx在0,2上单调递增，在2,上单调递减，
所以gx g20，所以gx0，当且仅当x2时，等号成立，
max
1 x1
所以 f x gx，即 f x  0. 17分
e2 ex
19.(1)
1 1
n2时，P(X 0) ,P(X 1)
2! 2!
1 4 1
n3时P(X 0) ,P(X 1) ,P(X 2) ;
3! 3! 3!
1 11 11 1
n4时P(X 0) ，P(X 1) ，P(X 2) ,P(X 3)
4! 4！ 4! 4!
1 26 66 26 1
n5时P(X 0) ,P(X 1) ,P(X 2) ,P(X 3) ,P(X 4)
5! 5! 5! 5! 5!
(8分)
规律从n=1开始每一类情况下所有概率的分子以“三角形”的形式列出来，刚好得到了一个“欧拉三角”（与
杨辉三角形类似)
(欧拉三角不影响得分, 仅供找规律参考)
当 n≥2 时 , a 1,a 4,a 11,a 26,a 57,a 120,a 247,a 502 猜 想
2 3 4 5 6 7 8 9
a 2a n(n2,nN*) 13分
n1 n
1
当n≥2时P(X=n-1)= ;递推关系a =2a +n
n+1 n
n！
变形为a +n+2=2(a +n+1),于是数列{a +n+1}从第二项起成等比数列,所以a +n+1=2n,a =2n-n-1(n≥2，n∈N*)，
n+1 n n n n
{#{QQABIYCEggigAhBAABhCQwlwCAAQkgGACSgOQAAMMAIASBNABCA=}#}2n n1 2n n
因此P(X=n-2)= ，于是P(X≥n-2)= (n≥2，n∈N*) 17分
n! n!
{#{QQABIYCEggigAhBAABhCQwlwCAAQkgGACSgOQAAMMAIASBNABCA=}#}