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射洪中学高 2025 届高三二模考试
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
第 I 卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．在递增的等比数列 中， ， ，则数列 的公比为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
3．已知复数 ，其中 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知非零向量 ， 满足 ，若 ，则 在 方向上的投影向量坐标为
（ ）
A． B． C． D．
5．已知 ， ， ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，过左焦点 作斜率为 的直
线 ，若直线 与以 为直径的圆相切，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
高三数学 第 1 页 共 4 页7．在平行四边形 中， ， ， ， 是 的中点，沿 将
翻折至 的位置，使得平面 平面 ， 为 的中点，则异面直线 与
所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数 ， 有5个不相等的实数根，从小到大依次为
， ， ， ， ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，错选或不选得0
分）
9．某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销，每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印
有“一等奖”“二等奖”，其余4瓶印有“谢谢惠顾”．甲从新开的一箱中任选2瓶购买，
设事件A表示“甲没有中奖”，事件B表示“甲获得一等奖”，事件C表示“甲中奖”，
则（ ）
A．事件A和事件B是对立事件 B．事件A和事件C是对立事件
C． D．
10．声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动．为了有效地消除噪声，人类研发
了主动降噪的技术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率，振幅完
全相同，但相位恰好相反（即相位差为 的奇数倍）的声音，理论上就可以和噪声完全抵
消．某一目标噪声的数学模型函数是 ，则可以作为降噪模拟声的数学
函数模型有（ ）
A． B．
C． D．
11．已知抛物线 的焦点为F，过x轴下方一点 作抛物线C的两条切线，
切点为A，B，直线PA，PB分别交x轴于M，N两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．当点P的坐标为 时，则直线AB方程为
B．若直线AB过点F，则四边形PMFN为矩形
C．当 时，
D． 时， 面积的最大值为4
高三数学 第 2 页 共 4 页第 II 卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．某班从含有3名男生和2名女生的5名候选人中选出两名同学分别担任正、副班长，则
至少选到1名女生的概率 .
13．在 中，点 分别在边 上， ，且
，则 .
14．若函数 （其中 ），方程 在 上有解，则
的最小值为 .
四、解答题（共5个小题，共77分。解答应写出文字说明、计算或证明过程）
15．（13分）设函数 ．
(1)若 恒成立，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，当 时，函数 的最小值是2？若存在，求出a的值；若
不存在，说明理由．
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16．（15分）已知地物线 ，直线 ．当 时， 与 有且仅有
一个交点．
(1)求 的方程；
(2)若 与 交于两个不同的点 ，设 的中点为 ，过点 平行于 轴的直线与
交于点 ，求 ．
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17．（15分）在三棱锥 中，平面 平面
， 是等腰直角三角形，
.
(1)求证： 平面 ；
(2)求异面直线 与 的夹角的余弦值；
(3)设点 是三棱锥 外接球上一点，求 到平面
距离的最大值.
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高三数学 第 3 页 共 4 页18．（17分） 年 月 日国家市场监督管理总局第 次局务会议审议通过《食品安
全抽样检验管理办法》，自 年 月 日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产
的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含
量不低于 为优级品，固形物含量低于 且不低于 为一级品，固形物含量低于
为二级品或不合格品．
(1)现有 瓶水果罐头，已知其中 瓶为优级品， 瓶为一级品．
（ⅰ）若每次从中随机取出 瓶，取出的罐头不放回，求在第 次抽到优级品的条件
下，第 次抽到一级品的概率；
（ⅱ）对这 瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出 瓶罐头的等级时
终止检验，记检验次数为 ，求随机变量 的分布列与期望；
(2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为 ，且各件产品是否为优级品相
互独立，若在 次独立重复抽检中，至少有 次抽到优级品的概率不小于 （约为
），求 的最小值．
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19．（17分）对于无穷数列 和函数 ，若 ，则称 是数列
的生成函数.
(1)定义在 上的函数 满足：对任意 ，都有 ，且
；又数列 满足 .
（Ⅰ）求证： 是数列 的生成函数；
（Ⅱ）求数列 的前n项和 .
(2) 已知 是数列 的生成函数，且 .若数列 的前n项和
为 ，求证： （ ， ）.
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