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2024 高考数学
点睛密卷
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绝密★启用前
2024 年高考数学点睛密卷(全国甲卷理)
数 学
本试卷共6页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡
右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答
案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在
试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目
指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；
不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合
2
U = { 1 , 2 , 4 , 6 , 8 } ，集合M ={x|x2 −3x+2=0}，N ={x|x=4a,aM}，则
(M N)=(
U
)
A． { 6 } B． { 4 , 6 , 8 } C． { 1 , 2 , 4 , 8 } D． { 1 , 2 , 4 , 6 , 8 }
2．已知复数z=a+bi(a,bR)的共轭复数为 z ，且z−(2+i)z =−3+5i，则a+b=( )
A．−1 B．1 C．2 D．33
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3．采购经理指数(PMI)是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预
测、预警作用．PMI高于
3
5 0 % 时，反映经济总体较上月扩张；PMI低于50%时，则反映经
济总体较上月收缩．根据 2022年 6月至 2023年 9月PMI，绘制出如下折线图．根据该折
线图，下列结论正确的是 ( )
A．2022年6月至2023年9月各月的 P M I 的中位数大于50
B．2022年第四季度各月的 P M I 的方差小于2023年第一季度各月的 P M I 的方差
C．2023年第1季度各月经济总体较上月扩张
D．2023年第3季度各月经济总体较上月扩张
4．设向量 a ， b 的夹角的余弦值为 −
1
4
， | a |= 4 ， | b |= 1 ，则 ( 2 a + 3 b ) b = ( )
A． − 1 B．1 C． − 5 D．5
5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何
体的体积为 ( )
A．18 B．24 C．27 D．35
6．已知数列 { a
n
} 是各项均为正数的等比数列， S
n
是它的前 n 项和，若 a
3
a
5
= 6 4 ，且
a +2a =8，则S =( )
5 6 6
A．128 B．127 C．126 D．125
7．设 x ， y
y+2 0,
满足约束条件x− y m,其中
x−4 0,
m 0 ．若z= x+ y的最大值为10，则m的值为
( )
A．−2 B．−3 C．−4 D．−54
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8．有5名同学参加跑步、跳远、跳高三个项目，每人限报1项，每个项目至少1人报名，
报名方法共有
4
( )
A．240种 B．150种 C．90种 D．25种
9．已知函数 f ( x ) 4 c o s x
π
4
( 0 ) =
−
的图象与直线 y = 2 2 的两个相邻交点是 A ， B ，
若 | A B |=
π
4
，则 ( = )
A．1 B．1或7 C．2 D．2或6
10．已知 P 是抛物线 C : x 2 = 4 y + 2 0 上任意一点，若过点 P 作圆 O : x 2 + y 2 = 4 的两条切线，
切点分别记为A，B，则劣弧AB长度的最小值为 ( )
A．
π
3
B．
2 π
3
C．π D．
4 π
3
11．已知三棱锥 O − A B C 的体积是
6
6
，A，B， C 是球 O 的球面上的三个点，且 A C B = 1 2 0 ，
A B = 3 ，AC+BC =2，则球 O 的表面积为 ( )
A． 3 6 π B． 2 4 π C． 1 2 π D． 8 π
12．设 a = ln 1 .1 ， b = s in 0 .1 ， c =
2
2 1
，则下列大小关系正确的是 ( )
A． a b c B． a c b C． c a b D． c b a
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数 f ( x ) = e x c o s x + x 在点 ( 0 ,1 ) 处的切线方程为 ．
1 6
14．已知(1+x)ax+ 的展开式中
x
x 3 的系数为240，则实数 a = ．
y2
15．已知双曲线x2 − =1的左焦点为F ，点P在双曲线的右支上且在x轴的上方，若线段
3
PF 的中点在以原点O为圆心，|OF|半径的圆上，则直线PF 的斜率为 ．
16．平面四边形 A B C D 中， B C = C D = 2 ，
A
B
B
D
=
3
4
，ABD=90，则AC 的最大值为 ．5
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三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答；22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17．等差数列
5
{ a
n
} 的前n项和为S ，同时满足a N*，a ，S ，a 成等差数列，S 是a −1
n n 3 3 7 2 2
和 S
3
− 1 的等比中项．
(1)求数列 { a
n
} 的通项公式；
(2)当 b
n
= a
n
+
a
n
1
a
n + 1
时，求数列 { b
n
} 的前n项和T ．
n
18．某校为了丰富学生课余生活，体育节组织定点投篮比赛．为了解学生喜欢篮球是否与性
别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢篮球 不喜欢篮球 合计
男生 40
女生 30
合计
(1)根据所给数据完成上表，依据小概率值 0 .0 0 1 = 的 2 独立性检验，能否据此推断该校学
生喜欢篮球与性别有关？
(2)篮球指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了 2 名男生和 1 名女生进行投篮示范．已知这两
名男生投进的概率均为
3
4
，这名女生投进的概率为
2
3
，每人投篮一次，假设各人投篮相互独
立，求3人投进总次数 X 的分布列和数学期望．
附： 2
( a b ) (
n
c
( a d
d ) (
b
a
c 2 )
c ) ( b d )
=
+ +
−
+ +
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．如图，在三棱柱 A B C − A
1
B C1
1
中， C A A
1
= 6 0 ， A B = B C ， A C = C C
1
．
(1)求证： A C ⊥ A
1
B ；
(2)若底面 A B C 是正三角形，且平面 A C C
1
A
1
⊥ 平面 A B C ，求直线 A
1
B 与平面 B C C
1
B
1
所成角
的正弦值．6
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20．已知椭圆
6
C :
x
a
2
2
+
y
b
2
2
= 1 ( a b 0 ) 经过点
3 ,
1
2
，其右顶点为 A ( 2 , 0 ) ．
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)若点P， Q 在椭圆 C 上，且满足直线 A P 与 A Q
1
的斜率之积为 ．求
20
△ A P Q 面积的最大
值．
21．设 f ( x ) = e x − k x ( k R ) ．
(1)讨论 f ( x ) 的单调性；
(2)若对任意的k 0，关于x的方程 f ( x ) = t 有两个不相等的实数解，求t的取值范围．
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
分。
22．已知在平面直角坐标系 x O y 中，曲线 C
1
的参数方程为
x
y
m
3 s in
3 c o s ,
(
=
=
+
为参数)，以
坐标原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；曲线 C
2
的极坐标方程为
=2sin，点 A 的极坐标为
6 ,
π
4
，且点 A 在曲线C 上．
1
(1)求曲线C 的极坐标方程以及曲线C 的参数方程；
1 2
(2)已知直线 l : x − 3 y = 0 与曲线C ，
1
C
2
分别交于P， Q 两点，其中 P ， Q 异于原点O，求
△ A P Q 的面积．
23．已知 a ， b ， c 是正实数，且 a + b + 2 c = 1 ．
2 2 1
(1)求 + + 的最小值；
a b c
