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学科网（北京）股份有限公司景德镇市 2025 届高三第二次质检试题
数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．
1 2 3 4 5 6 7 8
C B B C D B A C
1．C 【解析】 ， ，∴ ，故选C．
2．B 【解析】由题意 ，∴ ，则复数 的虚部为 ，故选B．
3．B 【解析】由命题否定的定义可知，故选B．
4．C 【解析】由 ，可得 ，
∴ ，故选C．
5．D 【解析】圆 ，则 ，又 ，∴ ，∴
，故选D．
6．B 【解析】由 可知 ，解得 或 ，由于 为正项等
比数列，故 ，∵ ，∴ ，故选B．
7．A 【解析】∵ ，∴ 的最小周期为 4．令 ，解得
．
∵ 为偶函数，∴ 关于直线 成轴对称．∴ ，∴
，∴ ．又 ，∴ ，
，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，故选A．
8．C 【解析】设 ，根据椭圆的光学性质，点 处切线 与直线 均为
，
故点 到 的距离分别为 ， ，∴
坐标原点 到点 处切线的距离为 ，∴ ，由余
弦 定 理 ， 可 得
，∴ ，即 ，∴ 的离心率为 ，故选
C．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分．
9 10 11
AB ACD AD
9．AB 【解析】对于A， ，当 时，常数项为 ，A
正 确 ； 对 于 B ， ，
，两边相等，B正确；对于C， ，∴ 分位数
即第 5 位数为 8，故 C 错误；对于 D，由已知可得 ，则
，故D错误．故选AB．
10．ACD【解析】 ，∴ ， 的渐近线方程为 ，A正确；
到其渐近线的距离为 ，∴ ， ， ，若 为 的重心，
则直线 垂直与 轴，不妨设 ， ，则由重心坐标可知， ，∴
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学科网（北京）股份有限公司，代入 可得 ，∴ ，B错误；依题意
，又 ，∴ ， ，∴ ，
C正确；设 的外接圆圆心 ，则外接圆方程为 ，直线
与圆 联立可得， ①，直线 与
联立可得
②，依题意可得，①和②为同一个方程，∴ ，解得
，经检验 ，∴外接圆半径为 ，D正确．故选ACD．
11．AD 【解析】对于A，当平面 平面 时，直线 与平面 所成角取得
最大值 ，A 正确；对于 B，设 为 在底面 的投影，若存在点 ，使得
，则 ，此时 三点共线，∴不存在满足题意的点 ，B错误；
对于 C，作 垂直 于 ， 垂直 于 ，则 ， ，∴
， 设 二 面 角 的 大 小 为 则
，解得 ，C 错
误；
对于 D，当平面 平面 时， ，由余弦定理，
，∴ ，
设 为 的中点，易知 为三棱锥 的外接球球心，半径为 1，由等体积法可
知，
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学科网（北京）股份有限公司到平面 的距离为 ，∴截面面积为
，D正确．故选AD．
第Ⅱ卷(非选择题共92分)
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分．
12． 13． 14．
12． 【解析】 ．
13． 【解析】若仅小崔选了黑色，则有 种选法；若仅小汪选了黑色，
同理也有 种选法；若两人都没有选择黑色，则有 种选法．故
共有 种选法．
14． 【解析】依题意 在 上总存在实数解，∴
．∵ ，∴ 在 上单调递增，
∴ ，由于 ，当
时， 达到最小，即 ，
∴ ，解得 ．
四、解答题：本大题共5小题，满分77分．
15．（本小题13分）
解：（1）∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，∴ ．………6分
（2）∵ ，∴ ．由正弦定理可知 ．而 ，
故 ，解得 ，………………………………………………………………9
分
，∴ ，……11分
设 ， ，∵ ，由余弦定理可知 ，
∵ ，解得 ，∴ ．……………………………………………………………13分
16．（本小题15分）
解：（1）连接 交 于 ，连接 ，∵ ，∴ ．又∵
， ∴ ， ∵ 平 面 , 平 面 ， ∴ 平 面
．………………6分
（2）取 中点 ，连接 ， ，∵ ，∴ ， ，
又∵ ， ，∴四边形 为矩形， ．
∵ ，∴ ．…………………………………………………8分
∵ ，∴ 平面 ，以 为原点建系如图， ， ，
， ， ，………………………………………………………10分
∴ ， ， ，
设 为平面 的法向量，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ， ，∴ ，……………12分
∴ ，
∴ 与平面 所成角的正弦值为 ．………………………………………………15分
17．（本小题15分）
解：（1）设 的准线方程为 ，∴ ，又 ，
即 ，解得 ，∴ 的方程为 .……………………………6
分
（2）∵ ，∴点 处的切线斜率为 ，∴直线 斜率为 ，∴直线
，……………………………………………………………………8分
与 联立可得， ，解得 ，即 的
横坐标为 ，∴ 的纵坐标为 ，………………………11
分
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， 时取等号．……………15
分
18．（本小题17分）
解：（1） 列联表如下：
关注 不关注 合计
男生
女生
合计
……………………………………………………………………………………………………2分
∴ ，…………………………………………………4分
故能有 的把握认为学生对AI的关注与性别有关．………………………………………5分
（2）（ⅰ）设甲、乙得分分别为 ，∵ 为奇数，故 ， ，
， ， ， ， ， ， 故 或
．……………7分
，
，
，
，
根据贝叶斯公式， ，
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∴ 的 分 布 列 为
……………………………………………………………………………………………………12分
∴ ．……………………………………………………………………………………13分
（ⅱ）假设除去第一题外的剩余 题的答题过程中，甲比乙得分高的概率为 ，乙比甲
得分高的概率为 ，甲乙得分相同的概率为 ，由于甲乙水平相当，根据对称性可知
， 且 ． ∴ ，
．……………………………………15分
如若乙比甲得分高，则第1题无论结果如何都是乙获胜；如若甲比乙得分高，则乙不可能获
胜；如果甲乙得分相同，则第一题乙必须答对才能获胜，故乙获胜得概率
，
∵ ，∴ ，解得 ．………………………………………………………17
分
19．（本小题17分）
解：（1） ， ，令 解得 ， 解
得 ，∴ 在 递减， 递增，
∴ 在 时取最小值 （如图1），…………………………………2
分
当 处时，均有 ，故此时 的值为 ．………4
分
图2
图1 高三数学 第 12 页 共 15 页
学科网（北京）股份有限公司（ 2 ） 令 ， 即 ， 两 边 同 时 取 对 数 并 化 简 整 理 得 ：
，
记 ， 构 造 函 数 ， 发 现 ，
，令 ，即 ，∵ ，∴此
方 程 存 在 两 不 等 根 ， 由 韦 达 定 理 可 知 ， ∴
，不难得出函数 在 上递减， 上递增， 上
递减（如图2），…………………………………………………………………………………6分
且 ，∴ ．∵ ，
，∴ 关于 单调递增，∴
，
故 在 上存在零点 ．又 ，于是 ， ．
……………………………………………………………………………………………………8分
令 ，由对勾函数可知 时 单调递增，且 ，故
，即 ．而
，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
……………………………………………………………………………………………………10分
（3）先证明 在区间 的最佳逼近直线为 ，此时 ．
如图3，显然 在点 与 之间，若 斜向上，则 ，此时 中
至少有一个的值大于 ，同理，若 斜向下，则 中至少有一个的值大于
，∴ 在区间 的最佳逼近直线为 ．……………………………………12
分
图3
，当 时， 的最小值在
处 取 到 ． 而 ， ∴
，由 的任意性可知 也具有任意性，即
的最小值在 处取到，故函数 在区间
的 最 佳 逼 近 直 线 的 方 程 为 ． 同 理 可 得 的 方 程 为
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分
又
．（或∵ ，∴
）
故 ．…………………17分
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