文档内容
2024年上海夏季高考数学（网络回忆版）
一、填空题
1．设全集 ，集合 ，则 ．
【答案】
【解析】由题设有 ，
答案：
2．已知 则 ．
【答案】
【解析】因为 故 ，
答案： .
3．已知 则不等式 的解集为 ．
【答案】
【解析】方程 的解为 或 ，
故不等式 的解集为 ，
答案： .
4．已知 ， ，且 是奇函数，则 ．
【答案】
【解析】因为 是奇函数，故 即 ，
故 ，
答案： .
5．已知 ，且 ，则 的值为 ．
【答案】15
【解析】 ， ，解得 ．
答案：15．
6．在 的二项展开式中，若各项系数和为32，则 项的系数为 ．
【答案】10
【分析】令 ，解出 ，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.【解析】令 ， ，即 ，解得 ，
所以 的展开式通项公式为 ，令 ，则 ，
．
答案：10．
7．已知抛物线 上有一点 到准线的距离为9，那么点 到 轴的距离为 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的定义知 ，将其再代入抛物线方程即可.
【解析】由 知抛物线的准线方程为 ，设点 ，由题意得 ，解得 ，
代入抛物线方程 ，得 ，解得 ，
则点 到 轴的距离为 ．
答案： ．
8．某校举办科学竞技比赛，有 3种题库， 题库有5000道题， 题库有4000道题， 题库有3000道题．
小申已完成所有题，他 题库的正确率是0.92， 题库的正确率是0.86， 题库的正确率是0.72．现他从所有的题
中随机选一题，正确率是 ．
【答案】0.85
【解析】根据题意知， 题库的比例为： ，
各占比分别为 ，
则根据全概率公式知所求正确率 ．
答案：0.85．
9．已知虚数 ，其实部为1，且 ，则实数 为 ．
【答案】2
【解析】设 ， 且 .
则 ，
， ，解得 ，
答案：2.
10．设集合 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最
大值 ．
【答案】329
【解析】根据题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．
首先讨论三位数中的偶数，①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有 个；
②当个位不为0时，则个位有 个数字可选，百位有 个数字可选，十位有 个数字可选，
由分步乘法这样的偶数共有 ，
最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为 个．
答案：329．
11．已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向， ,存在点A满足 ，则
(精确到0.1度)
【答案】
【分析】设 ，在 和 中分别利用正弦定理得到 ， 。
【解析】设 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ’
即 ①
在△BCA中，由正弦定理得 ，
即 ，即 ，②
因为 ， 得 ，
利用计算器即可得 ，
答案： .
12．无穷等比数列 满足首项 ，记 ，若对任意正整数 集合 是闭
区间，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】当 时，不妨设 ，则 ，结合 为闭区间可得对任意的 恒成立，故可求 的取值范围.
【解析】由题设有 ，因为 ，故 ，故 ，
当 时， ，故 ，此时 为闭区间，
当 时，不妨设 ，若 ，则 ，
若 ，则 ，
若 ，则 ，
综上， ，
又 为闭区间等价于 为闭区间，
而 ，故 对任意 恒成立，
故 即 ，故 ，
故 对任意的 恒成立，因 ，
故当 时， ，故 即 .
答案： .
二、单选题
13．已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（ ）
A．气候温度高，海水表层温度就高
B．气候温度高，海水表层温度就低
C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势
D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势
【答案】C
【解析】AB。当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，AB错误.
CD.因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，
C正确，D错误.
故选：C.
14．下列函数 的最小正周期是 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】A. ，周期 ，A正确；B. ，周期 ，B错误；
C. ，是常值函数，不存在最小正周期，C错误；
D. ，周期 ，D错误，
故选：A．
15．定义一个集合 ，集合中的元素是空间内的点集，任取 ，存在不全为0的实数 ，使得
．已知 ，则 的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意知这三个向量 共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，
A.由空间直角坐标系易知 三个向量共面，则当 无法推出 ，A错
误；
B.由空间直角坐标系易知 三个向量共面，则当 无法推出 ，B错
误；
C. 由空间直角坐标系易知 三个向量不共面，可构成空间的一个基底，
则由 能推出 ，C正确。
D.由空间直角坐标系易知 三个向量共面，则当 无法推出 ，D
错误.
故选：C．
16．已知函数 的定义域为R，定义集合 ，在使得 的所有
中，下列成立的是（ ）
A．存在 是偶函数 B．存在 在 处取最大值
C．存在 是严格增函数 D．存在 在 处取到极小值
【答案】B
【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数
即可判断.
【解析】A.若存在 是偶函数, 取 ,则对于任意 , 而 , 矛
盾, A 错误；B.可构造函数 满足集合 ，当 时，则 ，当 时， ，
当 时， ，则该函数 的最大值是 ，B正确；
C.假设存在 ，使得 严格递增，则 ，与已知 矛盾，C错误；
D.假设存在 ，使得 在 处取极小值，则在 的左侧附近存在 ，使得 ，这与已知集合
的定义矛盾，D错误；
故选：B.
三、解答题
17．如图为正四棱锥 为底面 的中心．
(1)若 ，求 绕 旋转一周形成的几何体的体积；
(2)若 为 的中点，求直线 与平面 所成角的大小．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）正四棱锥满足且 平面 ，由 平面 ，则 ，
又正四棱锥底面 是正方形，由 可得， ，
故 ，
由圆锥的定义， 绕 旋转一周形成的几何体是以 为轴， 为底面半径的圆锥，
即圆锥的高为 ，底面半径为 ，由圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是
（2）连接 ，根据题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，
由 是 中点，则 ，又 平面 ，
故 平面 ，即 平面 ，又 平面 ，
于是直线 与平面 所成角的大小即为 ，不妨设 ，则 ， ，
又线面角的范围是 ，
故 .
18．若 ．
(1) 过 ，求 的解集；
(2)存在 使得 成等差数列，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出底数 ，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；
（2）存在 使得 成等差数列等价于 在 上有解，利用换元法结
合二次函数的性质可求 的取值范围．
【解析】（1）因为 的图象过 ，故 ，故 即 （负的舍去），
而 在 上为增函数，故 ，故 即 ，
故 的解集为 .
（2）因为存在 使得 成等差数列，
故 有解，故 ，
因为 ，故 ，故 在 上有解，
由 在 上有解，
令 ，而 在 上的值域为 ，
故 即 .
19．为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻
炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
时间范围学业成绩
优秀 5 44 42 3 1
不优秀 134 147 137 40 27
(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？
(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）
(3)是否有 的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附： 其中 ， ．）
【答案】(1)
(2)
(3)有
【解析】（1）由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比 ，
则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为 ．
（2）估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为
．
则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.
（3）由题列联表如下：
其他 合计
优秀 45 50 95
不优秀 177 308 485
合计 222 358 580
提出零假设 ：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关．
其中 ．
．
则零假设不成立，
即有 的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．
20．已知双曲线 左右顶点分别为 ，过点 的直线 交双曲线 于 两点.
(1)若离心率 时，求 的值．
(2)若 为等腰三角形时，且点 在第一象限，求点 的坐标．
(3)连接 并延长，交双曲线 于点 ，若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】设直线 ，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.
【解析】（1）根据题意得 ，则 ， ．（2）当 时，双曲线 ，其中 ， ，因为 为等腰三角形，则
①当以 为底时，显然点 在直线 上，这与点 在第一象限矛盾，故舍去；
②当以 为底时， ，
设 ，则 , 联立解得 或 或 ，
因为点 在第一象限，错误，舍去；（或者由双曲线性质知 ，矛盾，舍去）；
③当以 为底时， ，设 ，其中 ，
则有 ，解得 ，即 ．
答案： .
（3）根据题知 ，
当直线 的斜率为0时，此时 ，不合题意，则 ，则设直线 ，
设点 ，根据 延长线交双曲线 于点 ，
根据双曲线对称性知 ， 联立有 ，
显然二次项系数 ，
其中 ，
①， ②，
，
则 ，因为 在直线 上，
则 ， ，即 ，即 ，
将①②代入有 ，
即
化简得 ，
所以 , 代入到 , 得 , 所以 ,
且 ，解得 ，又因为 ，则 ，
由上知， ， ．
21．对于一个函数 和一个点 ，令 ，若 是 取到最小值的点，
则称 是 在 的“最近点”．
(1)对于 ，求证：对于点 ，存在点 ，使得点 是 在 的“最近点”；
(2)对于 ，请判断是否存在一个点 ，它是 在 的“最近点”，且直线 与 在点
处的切线垂直；
(3)已知 在定义域R上存在导函数 ，且函数 在定义域R上恒正，设点 ，
．若对任意的 ，存在点 同时是 在 的“最近点”，试判断 的单调性．
【答案】(1)见解析
(2)存在，
(3)严格单调递减
【分析】（1）代入 ，利用基本不等式即可；
（2）由题得 ，利用导函数得到其最小值，则得到 ，再证明直线 与切线垂直即可；
（3）根据题意得到 ，对两等式化简得 ，再利用“最近点”的定义得到不等式组，
即可证明 ，最后得到函数单调性.
【解析】（1）当 时， ，
当且仅当 即 时取等号，
故对于点 ，存在点 ，使得该点是 在 的“最近点”．（2）由题设可得 ，
则 ，因为 均为 上单调递增函数，
则 在 上为严格增函数，
而 ，故当 时， ，当 时， ，故 ，此时 ，
而 ，故 在点 处的切线方程为 .
而 ，故 ，故直线 与 在点 处的切线垂直．
（3）设 ，
，
而 ，
，
若对任意的 ，存在点 同时是 在 的“最近点”，
设 ，则 既是 的最小值点，也是 的最小值点，
因为两函数的定义域均为 ，则 也是两函数的极小值点，
则存在 ,使得 ，
即 ①
②
根据①②相等得 ，即 ，
即 ，又因为函数 在定义域R上恒正，
则 恒成立，
接下来证明 ，
因为 既是 的最小值点，也是 的最小值点，则 ，
即 ，③
，④
③ ④得即 ，因为 则 ，解得 ，
则 恒成立，因为 的任意性，则 严格单调递减.
