数学_2025年5月_2505262025届安徽省天一大联考高三下学期最后一卷（全科）_2025届安徽省天一大联考高三下学期最后一卷数学

安徽天一大联考 2025 年最后一卷 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上 无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.  2 1.已知复数z  3i ，则 z （ ） A. 3 B.2 C.2 3 D.4 2.已知 p：log x2，q：2x2 4，则 p是q的（ ） 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 uuur uuur r uuur uuur uuur 3.已知在△ABC中，点D满足4DB3DC 0，设ADABAC,R，则2（ ） 7 10 A.1 B. C. D.2 5 7 4.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，其侧面积等于上、下底面积之和，则该圆台的体积为（ ） 4π 28π 28π A. B. C.4π D. 3 9 3 5.函数 f x xex ex 1的零点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 x2 y2 6.已知A，B为椭圆C：  1上两点，O为坐标原点且OAOB，过点O作直线AB的垂线，垂足 3 2 为H，则点H的轨迹方程为（ ） 3 5 6 A.x2  y2 1 B.x2  y2  C.x2  y2  D.x2  y2  2 4 5 7.为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，合肥六中高三（1）班开展了“铭记历史，缅 怀先烈”的主题教育知识竞赛活动.已知该班男生有20人，女生有30人，根据统计分析，男、女生成绩的方 差分别为11，6，且男、女生成绩的平均数之差的绝对值不大于5，若该班成绩的方差为s2，则s2的最大值 为（ ） A.8 B.10 C.12 D.14 学科网（北京）股份有限公司8.在三棱锥P ABC中，△ABC是边长为1的正三角形，PA AB，PA2，PC  7，则点B到平 面PAC 的距离为（ ） 5 6 6 2 6 A. B. C. D. 5 2 3 3 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.  π  π 9.已知函数 f xcos  x  cos  x  sinxa的最大值为1，则（ ）  6  6 A.a1 4π  B. f x f  x   3  π  C. f x在区间 ,π 上单调递减 3   π π  D.不等式 f x0的解集  2kπ, 2kπ kZ    6 2  10.已知抛物线C：y2 2x的焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点， 且OAOB，则（ ） 5 3 A.当 AF  时， AB 4 B.点F到l的距离的最大值为 2 2 uuur uuur uuur C. FAFB 4 OF D.点P的轨迹是一条抛物线 11.已知函数 f xx13 axba,bR的两个极值点分别为x ，x ，且x  x ，则下列说法正确 1 2 1 2 的是（ ） A.若x x 2，则a3 2 1 1 B.若 f x的极大值与极小值之差为 ，则a3 2 a C.若 f x  x ，则关于x的方程f x1 2  有且仅有4个不同的实数根 1 1   3 D.若存在实数x  x ，使得 f x  f x ，则x 2x 3 0 2 0 2 0 2 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共15分 12.已知等差数列a 的前n项和为S ，且a 2，S 126，若a 26，则k ________. n n 1 9 k 1 1 13.已知sinsin ，coscos ，则cos_______，cos_______.（本题 3 2 第一空2分，第二空3分） 学科网（北京）股份有限公司14.甲同学完成一道英语七选五型选择题组练习（即从七个选项中选择五个，分别填入五个空中），已知每个 空有且仅有一个正确答案，若甲同学每个空均作答且每个选项不重复选择，则甲同学此题五个空全部答错 的情况数为______. 四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且acosC 3asinCb2c0. （I）求A； 3 （Ⅱ）若a2，且△ABC的面积为 ，求b，c. 4 16.（15分） 1 已知函数 f x lnxm x （I）若m2，求 f x的单调区间； （Ⅱ）若m0，证明：当x0,时， f x1. 17.（15分）如图，将△BCD沿直线CD旋转至△ACD，再将△ACD沿直线CD旋转至△PCD，且使 得AP∥平面BCD. （I）证明：ABCD； （Ⅱ）若△BCD为正三角形，且ABCD，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值. 18.（17分） 为了解一种新药治疗某疾病的效果，在获得有关部门批准后，制药公司在若干医院进行试验，每个医院选 10个病人服用此药，规定：若这10个病人中至少有5人痊愈，则认为这种药有效，否则认为这种药无效. （I）甲医院参加试验的10个病人服用该药后有6人痊愈，乙医院参加试验的10个病人服用该药后有7人 痊愈，现随机从甲、乙两医院中选择一个医院，然后从参加试验的10个病人中随机抽取2人，求恰好抽到 痊愈、未痊愈的病人各1人的概率； （Ⅱ）假设这种新药的治愈率为80%，且每个病人服药后是否痊愈相互独立，求某医院经过试验认定该药无 效的概率 p；（结果精确到0.0001） （Ⅲ）若已知这种病的自然痊愈率为10%，根据（Ⅱ）的结果解释规定是否合理. 参考数据：512×62201≈32000000. 19.（17分） 学科网（北京）股份有限公司x2 y2 已知O为坐标原点，点A 为双曲线C：  1a0,b0的右顶点，过点A作垂直于x轴的直线 1 a2 b2 1 交直线bxay 0于点B ，过点B 作垂直于y轴的直线交C的右支于点A ，再过点A 作垂直于x轴的直 1 1 2 2 线交直线bxay 0于点B ，如此继续下去得到点列A,A ,,B,B ,. 2 1 2 1 2 （I）设点B 的横坐标为x ，求数列x 的通项公式. n n n （Ⅱ）过点A n2作C的切线l，求l的方程及l与C的两条渐近线围成的三角形的面积. n （Ⅲ）某条曲线的包络直线系，是指与该曲线相切的所有直线组成的集合，且该曲线上每一点处的切线都 是该直线系中的某条直线.若点B与B 关于x轴对称，直线MN 与线段OB ，OB分别交于点M，N，且直 1 1 1 1 线MN 平分△OBB的面积，试写出直线系MN 包络形成曲线的轨迹方程. 1 1 学科网（北京）股份有限公司安徽天一大联考 2025 年最后一卷 数学·答案 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共40分. 1.D 2.A 3.C 4.B 5.B 6.D 7.D 8.C 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得 6分，部分选对 的得部分分，有选错的得 0 分. 9.ACD 10.ABD 11.AD 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共15分. 59 5 12.9 13. ； 14.1214 72 13 四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解析（I）根据正弦定理，原条件即sin AcosC 3sin AsinC sinB2sinC， 也即sin AcosC 3sinAsinC sinAC2sinC， 所以 3sin AsinC cosAsinC2sinC ，  π 由于sinC 0，所以 3sin AcosA2，即：sin  A  1，  6 π π 2π 由于0 Aπ，所以A  ，即A . 6 2 3 2π 1 3 （Ⅱ）由A ，S  bcsin A ，得bc1$， 3 2 4 由余弦定理，得a2 b2 c2 2bccosAbc2 2bc2bccosAbc2 bc4， 所以bc 5， 51 51 51 51 又bc1，所以b ，c ，或b ，c . 2 2 2 2 1 16.解析（I）若m2，则 f x lnx2，其定义域为2,0U0,， x x2 x2 fx ， x2x2 令 fx0，解得2 x1，或x2，令 fx0，解得1 x0，或0 x2， 所以 f x的单调递增区间为2,1，2,，单调递减区间为1,0，0,2 . 1 1 （Ⅱ）当m0，x0,时，lnxmlnx，则有 f x lnxm lnx， x x 学科网（北京）股份有限公司故只需证明当m0时， f x1. x1 当m0时， fx  x0, ，令 fx0，解得x1，令 fx0，解得0 x1， x2 所以 f x在区间0,1上单调递减，在区间1,上单调递增，当x1时， f x取得最小值， 所以 f x f 11. 综上，当x0,时， f x1. 17.解析（I）过点B作BH CD，垂足为H ，连接AH . 因为△ACD≌△BCD，所以AH CD， 又AH I BH  H ，故CD平面ABH ， 又AB平面ABH ，所以ABCD. （Ⅱ）方法一：设正三棱锥ABCD的棱长均为2 3，如图，取CD的中点E，连接AE，BE，PE， 易知AE CD，PE CD，BE  AE  PE 3. 作AO平面BCD于点O，连接OP，易知点O为△BCD的中心，且在线段BE上，BO2. 由（I）知ABCD，同理APCD，所以CD平面ABP. 设平面ABPI 平面BCDl，则直线l过点B且l CD，所以直线l即直线BE， 又AP∥平面BCD，所以AP∥BE . OE 1 1 因为cosAEO   ，所以cosPAE cosAEO  ，AP2AEcosPAE 2. AE 3 3 所以AP∥BO，所以四边形ABOP为平行四边形，所以AB∥OP， 所以OPE为直线AB与平面PCD所成的角. 因为OP AB2 3，PE 3，OE 1， OP2 PE2 OE2 1291 5 3 所以cosOPE    ， 2OPPE 22 33 9 6 所以sinOPE  ， 9 学科网（北京）股份有限公司6 所以直线AB与平面PCD所成角的正弦值 . 9 方法二：如图，取CD的中点E，连接AE，BE，PE，作AO平面BCD于点O，易知点O为△BCD 的中心，且在线段BE上，以O为原点，直线OE，OA分别为y，z轴，过点O且与平面AOB垂直的直线 为x轴建立空间直角坐标系. 设正三棱锥ABCD的棱长均为2 3，易知AE CD，PE CD，BE  AE  PE 3， 则OB2，OE 1，OA2 2. 由（I）知ABCD，同理APCD，所以CD平面ABP， 设平面ABPI 平面BCDl，则直线l过点B且l CD，所以直线l即直线BE， 又AP∥平面BCD，所以AP∥BE . OE 1 1 因为cosAEO   ，所以cosPAE cosAEO  ，AP2AEcosPAE 2. AE 3 3         所以A 0,0,2 2 ，B0,2,0，P 0,2,2 2 ，C 3,1,0 ，D  3,1,0 ， uuur uuur uuur       则BA 0,2,2 2 ，CP   3,1,2 2 ，DC  2 3,0,0 . ur 设平面PCD的法向量为ma,b,c， ur uuur  mCP  3ab2 2c0, ur   则ur uuur 可取m 0,2 2,1 . mDC 2 3a0, 设直线AB与平面PCD所成的角为， uuur ur BAm 2 2 6 则sin uuur ur   ， BA m 2 33 9 6 即直线AB与平面PCD所成角的正弦值为 . 9 18.解析（I）设A “抽到甲医院”，A “抽到乙医院”，B “随机抽取2人，恰好抽到痊愈、未痊愈的病 1 2 人各1人”， 学科网（北京）股份有限公司1 C1C1 8 C1C1 7 则PA  PA  ，P  B A   6 4  ，P  B A   7 3  ， 1 2 2 1 C2 15 2 C2 15 10 10 1 8 7  1 由全概率公式得PB PA P  B A  PA P  B A       . 1 1 2 2 215 15 2 （Ⅱ）将10个病人服用新药视为10重伯努利试验，在每次试验中，每个病人痊愈的概率均为0.8，且每个 病人是否痊愈是相互独立的. 设X 表示这10个病人中痊愈的人数，则X ~ B10,0.8 .设C “经过试验认定该药无效”，事件C发生等 价于X 4， 4 所以 p  PX 4Ck 0.8k 0.210k 10 k0 0.210 C1 0.80.29 C2 0.820.28 C3 0.830.27 C4 0.840.26 10 10 10 10 0.210 1C1 4C2 42 C3 43 C4 44 10 10 10 10  1098 10987  0.210 140720 43  44    32 432  0.210 14072010344 103744 0.210 14072060210 0.21014072061440 0.110210622010.0064. （Ⅲ）由题意，实际上新药提高了治愈率，是有效的.当痊愈的病人数不超过4时，认定新药无效，此时作 出了错误的判断.因为作出错误判断的概率很小，所以规定是合理的.  b  19.解析（I）设A s ,t ，因为点B 在直线bxay 0上，所以B  x , x . n n n n n  n a n  b 因为B A 与y轴垂直，所以 x t ， n n1 a n n1 因为B A 与x轴垂直，所以x  s ， n n n n b2 x2 s2 t2 x2 a2 n 又点A 在C上，所以 n1  n1 1，即 n1  1， n1 a2 b2 a2 b2 所以x2 x2 a2，又x2 a2，所以x2 na2， n1 n 1 n 又x 0，a0，所以x a n. n n （Ⅱ）设点Px ,y 为C的右支上位于第一象限的任一点， 0 0 学科网（北京）股份有限公司b 当x0，y 0时，C的方程化为 y  x2 a2 ， a b x b x b2x 求导得y   0   0  0 ， xx 0 a x2 a2 a a a2y 0 y 0 b 0 b2x 则C在点Px ,y 处的切线方程为y y  0 xx ，整理得b2x xa2y y a2b2（*） 0 0 0 a2y 0 0 0 0  b    当n2时，点A  x , x 即A a n,b n1 ， n  n a n1  n 代入（*）式，得l的方程为b nxa n1y ab. b2x xa2y y a2b2, a2b 由 0 0 可得交点Q的横坐标x  ， bxay 0, Q bx ay 0 0 b2x xa2y y a2b2, a2b 由 0 0 可得交点T 的横坐标x  ， bxay 0, T bx ay 0 0 所以l与两条渐近线围成的△OQT 的面积为 b 2 1 1 c2 a 1 c2 a4b2 2ab S  OQ OT sinQOT   x x      ab， △OQT 2 2 a2 Q T b2 2 a2 b2x2 a2y2 a2 b2 1 0 0 a2 即l与两条渐近线围成的三角形的面积为ab. （Ⅲ）由（Ⅱ）及对称性知，直线系 MN 包络形成的曲线是以直线bxay 0为渐近线的双曲线 x2 y2  1a0,b0的一部分， a2 b2 2 2 由直线MN 平分△OBB的面积知，a a，b b. 1 1 2 2 a2b a2b  x x bx ay bx ay 2a2b2x 由（Ⅱ）知 Q T  0 0 0 0  0  x ，即线段QT 的中点为切点P. 2 2 2  b2x2 a2y2 0 0 0 由直线MN 与线段OB 相交且平分△OBB的面积，可知包络形成的双曲线最上方的点为点B 与线段OB 1 1 1 1  a b  a b  2 2  3a b 中点连成线段的中点，其坐标为 , ，即为 , ， 2 2  4 4     学科网（北京）股份有限公司3a b 同理包络形成的双曲线最下方的点的坐标为 , .  4 4 2x2 2y2  2a 3a 故所求轨迹方程为  1  x . a2 b2  2 4    学科网（北京）股份有限公司