数学_2025年5月_2505262025届安徽省天一大联考高三下学期最后一卷（全科）_2025届安徽省天一大联考高三下学期最后一卷数学

安徽天一大联考 2025 年最后一卷
数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
 2
1.已知复数z  3i ，则 z （ ）
A. 3 B.2 C.2 3 D.4
2.已知 p：log x2，q：2x2 4，则 p是q的（ ）
2
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
uuur uuur r uuur uuur uuur
3.已知在△ABC中，点D满足4DB3DC 0，设ADABAC,R，则2（ ）
7 10
A.1 B. C. D.2
5 7
4.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，其侧面积等于上、下底面积之和，则该圆台的体积为（ ）
4π 28π 28π
A. B. C.4π D.
3 9 3
5.函数 f x xex ex 1的零点个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
x2 y2
6.已知A，B为椭圆C：  1上两点，O为坐标原点且OAOB，过点O作直线AB的垂线，垂足
3 2
为H，则点H的轨迹方程为（ ）
3 5 6
A.x2  y2 1 B.x2  y2  C.x2  y2  D.x2  y2 
2 4 5
7.为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，合肥六中高三（1）班开展了“铭记历史，缅
怀先烈”的主题教育知识竞赛活动.已知该班男生有20人，女生有30人，根据统计分析，男、女生成绩的方
差分别为11，6，且男、女生成绩的平均数之差的绝对值不大于5，若该班成绩的方差为s2，则s2的最大值
为（ ）
A.8 B.10 C.12 D.14
学科网（北京）股份有限公司8.在三棱锥P ABC中，△ABC是边长为1的正三角形，PA AB，PA2，PC  7，则点B到平
面PAC 的距离为（ ）
5 6 6 2 6
A. B. C. D.
5 2 3 3
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
 π  π
9.已知函数 f xcos  x  cos  x  sinxa的最大值为1，则（ ）
 6  6
A.a1
4π 
B. f x f  x 
 3 
π 
C. f x在区间 ,π 上单调递减
3 
 π π 
D.不等式 f x0的解集  2kπ, 2kπ kZ
 
 6 2 
10.已知抛物线C：y2 2x的焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，
且OAOB，则（ ）
5 3
A.当 AF  时， AB 4 B.点F到l的距离的最大值为
2 2
uuur uuur uuur
C. FAFB 4 OF D.点P的轨迹是一条抛物线
11.已知函数 f xx13 axba,bR的两个极值点分别为x ，x ，且x  x ，则下列说法正确
1 2 1 2
的是（ ）
A.若x x 2，则a3
2 1
1
B.若 f x的极大值与极小值之差为 ，则a3
2
a
C.若 f x  x ，则关于x的方程f x1 2  有且仅有4个不同的实数根
1 1   3
D.若存在实数x  x ，使得 f x  f x ，则x 2x 3
0 2 0 2 0 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共15分
12.已知等差数列a 的前n项和为S ，且a 2，S 126，若a 26，则k ________.
n n 1 9 k
1 1
13.已知sinsin ，coscos ，则cos_______，cos_______.（本题
3 2
第一空2分，第二空3分）
学科网（北京）股份有限公司14.甲同学完成一道英语七选五型选择题组练习（即从七个选项中选择五个，分别填入五个空中），已知每个
空有且仅有一个正确答案，若甲同学每个空均作答且每个选项不重复选择，则甲同学此题五个空全部答错
的情况数为______.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且acosC 3asinCb2c0.
（I）求A；
3
（Ⅱ）若a2，且△ABC的面积为 ，求b，c.
4
16.（15分）
1
已知函数 f x lnxm
x
（I）若m2，求 f x的单调区间；
（Ⅱ）若m0，证明：当x0,时， f x1.
17.（15分）如图，将△BCD沿直线CD旋转至△ACD，再将△ACD沿直线CD旋转至△PCD，且使
得AP∥平面BCD.
（I）证明：ABCD；
（Ⅱ）若△BCD为正三角形，且ABCD，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值.
18.（17分）
为了解一种新药治疗某疾病的效果，在获得有关部门批准后，制药公司在若干医院进行试验，每个医院选
10个病人服用此药，规定：若这10个病人中至少有5人痊愈，则认为这种药有效，否则认为这种药无效.
（I）甲医院参加试验的10个病人服用该药后有6人痊愈，乙医院参加试验的10个病人服用该药后有7人
痊愈，现随机从甲、乙两医院中选择一个医院，然后从参加试验的10个病人中随机抽取2人，求恰好抽到
痊愈、未痊愈的病人各1人的概率；
（Ⅱ）假设这种新药的治愈率为80%，且每个病人服药后是否痊愈相互独立，求某医院经过试验认定该药无
效的概率 p；（结果精确到0.0001）
（Ⅲ）若已知这种病的自然痊愈率为10%，根据（Ⅱ）的结果解释规定是否合理.
参考数据：512×62201≈32000000.
19.（17分）
学科网（北京）股份有限公司x2 y2
已知O为坐标原点，点A 为双曲线C：  1a0,b0的右顶点，过点A作垂直于x轴的直线
1 a2 b2 1
交直线bxay 0于点B ，过点B 作垂直于y轴的直线交C的右支于点A ，再过点A 作垂直于x轴的直
1 1 2 2
线交直线bxay 0于点B ，如此继续下去得到点列A,A ,,B,B ,.
2 1 2 1 2
（I）设点B 的横坐标为x ，求数列x 的通项公式.
n n n
（Ⅱ）过点A n2作C的切线l，求l的方程及l与C的两条渐近线围成的三角形的面积.
n
（Ⅲ）某条曲线的包络直线系，是指与该曲线相切的所有直线组成的集合，且该曲线上每一点处的切线都
是该直线系中的某条直线.若点B与B 关于x轴对称，直线MN 与线段OB ，OB分别交于点M，N，且直
1 1 1 1
线MN 平分△OBB的面积，试写出直线系MN 包络形成曲线的轨迹方程.
1 1
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数学·答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共40分.
1.D 2.A 3.C 4.B 5.B 6.D 7.D 8.C
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得 6分，部分选对
的得部分分，有选错的得 0 分.
9.ACD 10.ABD 11.AD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共15分.
59 5
12.9 13. ； 14.1214
72 13
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.解析（I）根据正弦定理，原条件即sin AcosC 3sin AsinC sinB2sinC，
也即sin AcosC 3sinAsinC sinAC2sinC，
所以 3sin AsinC cosAsinC2sinC ，
 π
由于sinC 0，所以 3sin AcosA2，即：sin

A

1，
 6
π π 2π
由于0 Aπ，所以A  ，即A .
6 2 3
2π 1 3
（Ⅱ）由A ，S  bcsin A ，得bc1$，
3 2 4
由余弦定理，得a2 b2 c2 2bccosAbc2 2bc2bccosAbc2 bc4，
所以bc 5，
51 51 51 51
又bc1，所以b ，c ，或b ，c .
2 2 2 2
1
16.解析（I）若m2，则 f x lnx2，其定义域为2,0U0,，
x
x2 x2
fx ，
x2x2
令 fx0，解得2 x1，或x2，令 fx0，解得1 x0，或0 x2，
所以 f x的单调递增区间为2,1，2,，单调递减区间为1,0，0,2 .
1 1
（Ⅱ）当m0，x0,时，lnxmlnx，则有 f x lnxm lnx，
x x
学科网（北京）股份有限公司故只需证明当m0时， f x1.
x1
当m0时， fx  x0, ，令 fx0，解得x1，令 fx0，解得0 x1，
x2
所以 f x在区间0,1上单调递减，在区间1,上单调递增，当x1时， f x取得最小值，
所以 f x f 11.
综上，当x0,时， f x1.
17.解析（I）过点B作BH CD，垂足为H ，连接AH .
因为△ACD≌△BCD，所以AH CD，
又AH I BH  H ，故CD平面ABH ，
又AB平面ABH ，所以ABCD.
（Ⅱ）方法一：设正三棱锥ABCD的棱长均为2 3，如图，取CD的中点E，连接AE，BE，PE，
易知AE CD，PE CD，BE  AE  PE 3.
作AO平面BCD于点O，连接OP，易知点O为△BCD的中心，且在线段BE上，BO2.
由（I）知ABCD，同理APCD，所以CD平面ABP.
设平面ABPI 平面BCDl，则直线l过点B且l CD，所以直线l即直线BE，
又AP∥平面BCD，所以AP∥BE .
OE 1 1
因为cosAEO   ，所以cosPAE cosAEO  ，AP2AEcosPAE 2.
AE 3 3
所以AP∥BO，所以四边形ABOP为平行四边形，所以AB∥OP，
所以OPE为直线AB与平面PCD所成的角.
因为OP AB2 3，PE 3，OE 1，
OP2 PE2 OE2 1291 5 3
所以cosOPE    ，
2OPPE 22 33 9
6
所以sinOPE  ，
9
学科网（北京）股份有限公司6
所以直线AB与平面PCD所成角的正弦值 .
9
方法二：如图，取CD的中点E，连接AE，BE，PE，作AO平面BCD于点O，易知点O为△BCD
的中心，且在线段BE上，以O为原点，直线OE，OA分别为y，z轴，过点O且与平面AOB垂直的直线
为x轴建立空间直角坐标系.
设正三棱锥ABCD的棱长均为2 3，易知AE CD，PE CD，BE  AE  PE 3，
则OB2，OE 1，OA2 2.
由（I）知ABCD，同理APCD，所以CD平面ABP，
设平面ABPI 平面BCDl，则直线l过点B且l CD，所以直线l即直线BE，
又AP∥平面BCD，所以AP∥BE .
OE 1 1
因为cosAEO   ，所以cosPAE cosAEO  ，AP2AEcosPAE 2.
AE 3 3
       
所以A 0,0,2 2 ，B0,2,0，P 0,2,2 2 ，C 3,1,0 ，D  3,1,0 ，
uuur uuur uuur
     
则BA 0,2,2 2 ，CP   3,1,2 2 ，DC  2 3,0,0 .
ur
设平面PCD的法向量为ma,b,c，
ur uuur
 mCP  3ab2 2c0, ur
 
则ur uuur 可取m 0,2 2,1 .
mDC 2 3a0,
设直线AB与平面PCD所成的角为，
uuur ur
BAm
2 2 6
则sin uuur ur   ，
BA m 2 33 9
6
即直线AB与平面PCD所成角的正弦值为 .
9
18.解析（I）设A “抽到甲医院”，A “抽到乙医院”，B “随机抽取2人，恰好抽到痊愈、未痊愈的病
1 2
人各1人”，
学科网（北京）股份有限公司1 C1C1 8 C1C1 7
则PA  PA  ，P  B A   6 4  ，P  B A   7 3  ，
1 2 2 1 C2 15 2 C2 15
10 10
1 8 7  1
由全概率公式得PB PA P  B A  PA P  B A       .
1 1 2 2 215 15 2
（Ⅱ）将10个病人服用新药视为10重伯努利试验，在每次试验中，每个病人痊愈的概率均为0.8，且每个
病人是否痊愈是相互独立的.
设X 表示这10个病人中痊愈的人数，则X ~ B10,0.8 .设C “经过试验认定该药无效”，事件C发生等
价于X 4，
4
所以 p  PX 4Ck 0.8k 0.210k
10
k0
0.210 C1 0.80.29 C2 0.820.28 C3 0.830.27 C4 0.840.26
10 10 10 10
0.210 1C1 4C2 42 C3 43 C4 44
10 10 10 10
 1098 10987 
0.210 140720 43  44
 
 32 432 
0.210 14072010344 103744
0.210 14072060210 0.21014072061440
0.110210622010.0064.
（Ⅲ）由题意，实际上新药提高了治愈率，是有效的.当痊愈的病人数不超过4时，认定新药无效，此时作
出了错误的判断.因为作出错误判断的概率很小，所以规定是合理的.
 b 
19.解析（I）设A s ,t ，因为点B 在直线bxay 0上，所以B  x , x .
n n n n n  n a n 
b
因为B A 与y轴垂直，所以 x t ，
n n1 a n n1
因为B A 与x轴垂直，所以x  s ，
n n n n
b2
x2
s2 t2 x2 a2 n
又点A 在C上，所以 n1  n1 1，即 n1  1，
n1 a2 b2 a2 b2
所以x2 x2 a2，又x2 a2，所以x2 na2，
n1 n 1 n
又x 0，a0，所以x a n.
n n
（Ⅱ）设点Px ,y 为C的右支上位于第一象限的任一点，
0 0
学科网（北京）股份有限公司b
当x0，y 0时，C的方程化为 y  x2 a2 ，
a
b x b x b2x
求导得y   0   0  0 ，
xx 0 a x2 a2 a a a2y
0 y 0
b 0
b2x
则C在点Px ,y 处的切线方程为y y  0 xx ，整理得b2x xa2y y a2b2（*）
0 0 0 a2y 0 0 0
0
 b   
当n2时，点A  x , x 即A a n,b n1 ，
n  n a n1  n
代入（*）式，得l的方程为b nxa n1y ab.
b2x xa2y y a2b2, a2b
由 0 0 可得交点Q的横坐标x  ，
bxay 0, Q bx ay
0 0
b2x xa2y y a2b2, a2b
由 0 0 可得交点T 的横坐标x  ，
bxay 0, T bx ay
0 0
所以l与两条渐近线围成的△OQT 的面积为
b
2
1 1 c2 a 1 c2 a4b2 2ab
S  OQ OT sinQOT   x x      ab，
△OQT 2 2 a2 Q T b2 2 a2 b2x2 a2y2 a2 b2
1 0 0
a2
即l与两条渐近线围成的三角形的面积为ab.
（Ⅲ）由（Ⅱ）及对称性知，直线系 MN 包络形成的曲线是以直线bxay 0为渐近线的双曲线
x2 y2
 1a0,b0的一部分，
a2 b2
2 2
由直线MN 平分△OBB的面积知，a a，b b.
1 1 2 2
a2b a2b

x x bx ay bx ay 2a2b2x
由（Ⅱ）知 Q T  0 0 0 0  0  x ，即线段QT 的中点为切点P.
2 2 2  b2x2 a2y2 0
0 0
由直线MN 与线段OB 相交且平分△OBB的面积，可知包络形成的双曲线最上方的点为点B 与线段OB
1 1 1 1
 a b 
a b
 2 2  3a b
中点连成线段的中点，其坐标为 , ，即为 , ，
2 2  4 4
 
 
学科网（北京）股份有限公司3a b
同理包络形成的双曲线最下方的点的坐标为 , .
 4 4
2x2 2y2  2a 3a
故所求轨迹方程为  1  x .
a2 b2  2 4 
 
学科网（北京）股份有限公司