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树德中学高2023级高三上学期10月阶段性测试数学试题
9．已知函数 ，则（ ）
A．
本卷满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
B．若 ，则
题目要求的．
1．已知集合 ，集合 ，则 （ ） C． 在 上单调递增
A． B． C． D．
2．若复数 满足 ，则z的虚部为（ ） D． 的图象可由曲线 向右平移 个单位得到
A． B． C． D． 10．抛掷一枚质地均匀的骰子1次（骰子的六个面分别标注的点数为1，2，3，4，5，6），记试验
3．已知圆柱的底面半径和球的半径相等，圆柱的高与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为（
的样本空间 ，事件 ，事件 ，则（ ）
）
A．事件A与B是互斥事件 B．事件 与 是相互独立事件
A． B． C． D．
4．设直线l的方程为 ，圆C的方程为 ，则直线l与圆C的位置 ． D．
关系为（ ） C
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
5．函数 的图象如图所示，则 的解析式可能为（ ） 11．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． A． 的最大值为
B．曲线 关于 对称
C． D．
C．方程 在 上有3个不相等的实数解
6．在 的展开式中， 的系数是（ ）
A． B． C． D．
D．存在 ，使得不等式 成立
7．已知 ， ，则下列说法正确的是（ ）
三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．
A． B． C． D． 12．双曲线 的渐近线与抛物线 的准线围成的封闭图形面积为________．
8．某校的教学楼每层楼有13级台阶，一名教师从一楼到二楼，每次可以选择跨1级、2级、3级台 13．在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，D为BC的中点， ，AD与BE相交于点F，
阶，但固定最后一步不能跨3级台阶（避免台阶过高摔倒），那么该教师一共有（ ）种不同的 则 ________．
走法．
14．已知 ，且 ，若不等式 恒成立．则当实数m取得最大
A．1049 B．1144 C．1431 D．1705
值时，a的值为________．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．
15．（本小题满分13分）等比数列 中， ，且数列 单调递增.
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学科网（北京）股份有限公司（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和 .
16．（本小题满分15分）如图，四棱锥 中， 平面 ，底面 为直角梯形，
， ， ， ，点 在棱 上．
（1）若 为 的中点，证明： ；
18．（本小题满分17分）如图所示，由半椭圆
（2）若直线 与平面PCD所成角的正弦值为 ，求 的值． 和两个半圆 、 组成曲线C： ，其中点
依次为 的左、右顶点，点B为 的下顶点，点 依次为 的左、右焦点.若点 分别
为曲线 的圆心.
（1）求 的方程；
（2）点 和点D分别在曲线 和曲线 上，求出线段 的最大值；
（3）若过点 ， 作两条平行线 ， ，分别与 ， 和 ， 交于点M，N和点P，Q，求
的最小值.
17．（本小题满分15分）2025年10月1日，某商场为了迎接促销，决定在商场内举办抽奖活动，盒
子内有编号1—5的大小相同、质地均匀的5个小球．小球上的编号对应着获奖等级：一等奖、二等
奖、三等奖、四等奖、五等奖（安慰奖）．规则如下：某顾客可以连续抽奖2次，每次抽奖完成后将
小球放回盒子，且每次抽奖的结果互不影响． 19．（本小题满分17分）已知函数 ．
（1）若某顾客第1次未抽到一等奖，求该顾客在第2次抽到一等奖的概率；
（1）当 时，判断函数 的单调性；
（2）记某顾客第k次抽到的奖品等级为 ，若用 表示“2次抽到奖品的等级
差”，求Y的分布列与数学期望． （2）已知函数 有两个正零点 ，且 ．
（i）求证： ；
（ii）当 时，不等式 恒成立，求证： ．
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