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武汉二中 2025 届高三年级高考模拟试题
数学试卷
考试时间：2025年5月21日 下午 15：00- 17：00 试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数 是纯虚数，则实数 （ ）
A．1 B． C．2 D．
3．将正弦曲线 向左平移 个单位得到曲线 ，再将曲线 上的每一点的横坐标变为
原来的 得到曲线 ，最后将曲线 上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的 ．若
曲线 恰好是函数 的图象，则 在区间 上的值域是（ ）
A． B． C． D．
4．把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，
若分得的卡片超过一张，则必须是连号的，那么不同的分法种数为（ ）
A．60 B．36 C．30 D．12
5．在无穷等差数列 中，公差为d，则“存在 ，使得 ”是“ （
）”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 是边
长为2的正方形， ， ， ， 均为正三角形，且它们所在的平面都与平
面 垂直，则该包装盒的容积为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．20
7．如图，椭圆 与双曲线 有共同的右焦点 ，
这两条曲线在第一、三象限的交点分别为A、B，直线 与双曲线右支
的另一个交点为 ， 形成以 为斜边的等腰直角三角形，则该
椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数 的定义域为 ，函数 是奇函数，函数 的图
象关于直线 对称，则（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．设样本空间 ，且每个样本点是等可能的，已知事件 ，
则下列结论正确的是（ ）
A．事件A与B为互斥事件 B．事件 两两独立
C． D．
10．如图所示，在正方体 中，M是棱 上一点（不包含端点），平面
与棱 交于点N.则下列说法正确的是（ ）
A.四边形 是平行四边形；
学科网（北京）股份有限公司B.四边形 可能是正方形；
C.任意平面 都与平面 垂直；
D.对任意M点，一定存在过M的直线l，使l与直线 和 都相交.
11．设 为坐标原点，对点 （其中 ）进行一次变换，得到点
，记为 ，则（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D． 为 图象上一动点， ，若 的轨迹仍为函数图象，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12． 的展开式的第5项的系数是 ．（用数字作答）
13．近几年，我国新能源汽车产业进入了加速发展的阶段，呈现市场规模、发展质量“双提
升”的良好局面．新能源汽车的核心部件是动力电池，其中的主要成分是碳酸锂．下表是某
地2023年3月1日至2023年3月5日电池级碳酸锂的价格与日期的统计数据：
日期代码 1 2 3 4 5
电池级碳酸锂价格 （十万元／ 3.
4.1 3.9 3.9
吨） 8
根据表中数据，得出 关于 的经验回归方程为 ，根据数据计算出在样本点
处的残差为 ，则 的值为 ．
14.在△ABC中， ， ， 为△ABC所在平面内的动点，且 ，
学科网（北京）股份有限公司则 的最小值为
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知数列 的各项均为正数，前 项和为 ，且 ， 是 与 的等差中项.
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
16．已知在三棱锥 中， ， ， ， ，
(1)证明：平面 平面ABC；
(2)求二面角 的正弦值．
17．已知函数 ，
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)当 时，求函数 的单调区间；
(3)若 在 上存在零点，求实数 的取值范围.
18．如图，已知椭圆 与椭圆 有相同的离心率，点
在椭圆 上．过点 的两条不重合直线 与椭圆 相
交于 两点，与椭圆 相交于 和 四点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)求证： ；
学科网（北京）股份有限公司(3)若 ，设直线 的倾斜角分别为 ，求证： 为定值．
19．阿尔法狗 是谷歌公司开发的人工智能程序，它第一个战胜了围棋世界冠军.它
可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策.工程师分别用人
类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来训练阿尔法狗 ，三
个阶段的阿尔法狗 依次简记为甲、乙、丙.
(1)测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个阿尔法狗 各比赛一局，各局比赛结果
相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 ， ， 记该棋手连胜两局的概
率为p，试判断该棋手在第二局与谁比赛p最大，并写出判断过程.
(2)工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛
进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概
率为 ，乙获胜的概率为 ，且每局比赛结果相互独立.
（ⅰ）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望 的最大值;
（ⅱ）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件M，证明：
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