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2026 届六校联合体⾼三8 ⽉学情调研
⾼三数学
⼀、选择题：本⼤题共8 ⼩题，每⼩题5 分，共40 分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀
项是符合题⽬要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．已知集合A＝{x|x2－4＜0}，且a∈A，则a 可以为（
）
A．－2
B．－1
C．2
D．4
2．已知复数z 满⾜z(1－i)＝2i，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（
）
A．1
B．i
C．－1
D．－i
3．在四边形ABCD 中，若→＝→＋→，则“ →⊥→” 是“ 四边形ABCD 是正⽅形” 的（
）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知sin(α＋β)sin(α－β)＝13，则tanαtanβ＝（
）
A．2
B．12
C．－2
D．－12
5．已知正四棱锥的底⾯边⻓为4，且其侧⾯积是底⾯积的2 倍，则此正四棱锥的体积为（
）
A．6323
B．366
C．323
D．3323
6．将函数
的图象向左平移
个单位⻓度，所得图象的函数（
）
A．在区间
上单调递增
B．在区间
上单调递减
C．在区间
上单调递减
D．在区间
上单调递增
7．在等⽐数列{an}中，a3a4a5＝8，a4＋a8＝20，则a6＝（
）
A．36
B．±6
C．－6
D．6
8．已知定点A(12，0)，圆C 与y 轴相切，直线2x＋y－2＝0 是圆C 的⼀条对称轴．若圆C 上存在两点P，
Q 使得∠PAQ＞
3，则圆C 圆⼼的横坐标的取值范围是（
）
A．(－∞，32 )∪(92，＋∞)
B．(12，112)
C．(0，1 )∪(32，＋∞)
D．(12，172)
⼆、选择题：本⼤题共3 ⼩题，每⼩题6 分，共18 分．在每⼩题给出的四个选项中，有多项
符合题⽬要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6 分，部分选对得部分分，
不选或有错选的得0 分．
9．某校开展“ 强国有我，筑梦前⾏” 主题演讲⽐赛，共有4 位男⽣，6 位⼥⽣进⼊决赛．现通过抽签决定
出场顺序，记事件A 表示“ 第⼀位出场的是⼥⽣” ，事件B 表示“ 第⼆位出场的是⼥⽣” ，则（
）
A．P(AB)＝35
B．P(B|A)＝59
C．P(A)＝P(B)
D．P(A∪B)＝1315
10．已知函数f(x)＝x3＋3x2＋ax－3，则（
）
A．当a＝4 时，f(x)在R 上单调递增
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B．当a＜3 时，f(x)有两个极值
C．过点(0，1)且与曲线y＝f(x)相切的直线恰有两条
D．f(－1＋x)＋f(－1＋x)＋2a＋2＝0 恒成⽴
11．直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如y＝kx＋1(k∈R)表示过点(0，1)的直线族(不包括直线
x＝0)．直线族的包络曲线定义为：直线族中的每⼀条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每⼀
点处的切线都是该直线族中的某条直线．已知直线族ax＋by＝1(a，b∈R)，则下列说法正确的是（
）
A．若a＝cosθ，b＝sinθ(θ∈[0，2π))，则该直线族的包络曲线⽅程为x2＋y2＝2
B．若a＝cosθm，b＝sinθn(m＞n＞0，θ∈[0，2π))，则该直线族的包络曲线为椭圆
C．当a＝32t，b＝－12t3(t＞0)时，点(x0，2x
3
0)(x0＞0)可能在直线族ax＋by＝1 上
D．当a2＋b＝0 时，曲线x2＝4y(x≠0)是直线族ax＋by＝1 的包络曲线
三、填空题：本⼤题共3 ⼩题，每⼩题5 分，共15 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12．(x2－1x)6 的展开式中的常数项为_________．
13．若抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点与双曲线W：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F 重合，
C 的准线交W 于A，B 两点，△ABF 为等边三⻆形，则W 的离⼼率为_________．
14．已知正⽅体ABCD—A1B1C1D1 的棱⻓为2，点P 在正⽅体的内切球表⾯上运动，且满⾜D1P//平⾯A1BC1
，则AP 的最⼩值为_________．
四、解答题：本⼤题共5 ⼩题，共77 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的
⽂字说明，证明过程或演算步骤．
15．在
中，⻆A，B，C 的对边分别为a，b，c，且3csinA＝2acos2 C2．
（1）求⻆C；
（2）若D 为边AC 上⼀点，且BC＝BD＝33AB＝1，求AD 的值．
16．已知数列{an}的前n 项和为Sn ，且满⾜Sn＝n2＋n2，数列{bn}为公⽐⼤于0 的等⽐数列，且b2＝a3 , b4
＝a27．
（1）求an，bn；
（2）若在an 与an+1 之间插⼊bn 个1，由此构成⼀个新的数列{cn}，记{cn}的前n 项和Tn，
求T45 的值．
17．图1 是边⻓为2 的正⽅形ABCD，将
沿AC 折起得到直⼆⾯⻆P－AC－B，如图2 所示．
（1）求证：AC⊥BP；
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（2）棱BC 上存在⼀点M，当PM 与平⾯ABC 所成⻆的正弦值为63 时，求⼆⾯⻆P－AM－C 的正弦值．
18．已知椭圆C:x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0) 过点A(1,32 )，且C 的右焦点为F(1,0)．
（1）求C 的⽅程；
（2）设过点(4，0)的⼀条直线与C 交于P、Q 两点，且与线段AF 交于点S．
（i）求
⾯积的最⼤值；
（ii)证明：S 到直线FP 和FQ 的距离相等．
19．f(x)＝ax－lnx．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若f(x)在(0，e2]有两个零点，求a 的取值范围；
（3）若2sinx－xcosx－lnx≥f(x)在x∈(0，
2]上恒成⽴，求a 的取值范围．
2026 届六校联合体⾼三8 ⽉学情调研
⾼三数学参考答案
⼀、单选题
1
2
3
4
5
6
7
8
B
A
A
C
D
C
D
D
⼆、多选题
9
10
11
BCD
ABD
BD
三、填空题
12
13
14
15
四、解答题
15．（1）依题意，
，由正弦定理可得
，
因为
，所以
，所以
，
法⼀：即
，
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因为
，所以
，
，所以
，所以
，
所以
，即
．
法⼆：即
，所以
，即
，
因为
，所以
，所以
，即
．
（2）因为
，⼜因为
，
所以
为等边三⻆形，则
，
由余弦定理得
，
所以
，解得
或
（舍去），故
．
16．由题意：
，
时，
，也符合上式；综上：
．
设数列
的公⽐为
，则
，
即
，解得
，所以
；
（2）根据题意，在
与
之间插⼊
个1，
即在1 和2 之间插⼊
个1；
在2 和3 之间插⼊
个1；
在3 和4 之间插⼊
个1；
在4 和5 之间插⼊
个1；
据分析：
．
17．
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（1）如图，在图1 中，连接
，交
于点
，
因为四边形
为边⻓是
的正⽅形，则
，
在图2 中，则有
，⼜
平⾯
，
所以
平⾯
，⼜
平⾯
，所以
．
（2）因为
是直⼆⾯⻆，且
是⼆⾯⻆
的平⾯⻆，所以
，
⼜
，分别以
、
、
所在直线为
、
、
轴建⽴空间直⻆坐标系，如图：
由题意，
、
、
、
．
设
，则
，
平⾯
的法向量为
，所以
，
此时，
，设平⾯
的法向量为
，
则
，
，
则
，
，
所以⼆⾯⻆
的正弦值为
．
18．（1）根据盒有
，所以
，
所以
的⽅程为
，
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（2）法⼀：由题意，
的斜率显然不为0，设
的⽅程为
，代⼊
的⽅程有：
，其中
，解得
，
设
，则
，
，
令
（当且仅当
时，等号成⽴）
法⼆：由题意，直线
的斜率⼀定存在，设
的⽅程为
，
则
设
，
则
，
，
到直线
的距离为
，
，
令
，令
，
在
上递增，在
上递减，所以
时，等号成⽴，
．
（3）若
到直线
和
的距离相等，则直线
平分
，
易知
轴，故只需满⾜直线
与
的斜率之和为0．
设
A 的斜率分别为
，则：
，
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有
，故命题得证．
19．（1）
，
时
恒成⽴，
在
上递减，
时，
在
上递减，在
上递增．
（2）由（1）可知
时，不合题意；
时，
在
上递减，在
上递增，
若
在
有两个零点，则需
，解得
，
此时
，所以
在
上⼀定有⼀个零点，
当
时，
在
上⼀定有⼀个零点，
综上：
．
（3）依题意，由
，
得
，即
，
设
，
则
，
设
，则
，
当
时，
单调递增；
所以在
上，
，且
，
当
，即
时，
在
上单调递减，
则
，不符合题意，舍去，
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当
，即
时，
（i）若
，即
，
，使得
，当
时，
在
内单调递减，
，不符合题意，舍去，
（ii）若
，即
恒成⽴，
在
上单调递增，则
，符合题意，
综上，实数
的取值范围为
．
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请在各题⽬的答题区域内作答，超出⿊⾊矩形边框限定区域的答案⽆效！
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答题卡
请在各题⽬的答题区域内作答，超出⿊⾊矩形边框限定区域的答案⽆效！
15.（13 分）
16.（15 分）
⼀、单项选择题（共40 分）
⼆、多项选择题（共18
分）
1
5
9
2
6
10
3
7
11
4
8
三、填空题（每⼩题5 分，共15 分）
12.
13.
14.
禁
⽌
答
题
区
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姓
名：__________________________
准考证号：
贴条形码区
考⽣禁填：缺考标记
以上标志由监考⼈员⽤2B 铅笔
填涂
选择题填涂样例：
正确填涂
错误填涂
[× ]
[√]
[／]
1．答题前，考⽣先将⾃⼰的姓名，准考证号填写
清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，
在规定位置贴好条形码。
2．选择题必须⽤2B 铅笔填涂；⾮选择题必须⽤
0.5 mm ⿊⾊签字笔答题，不得⽤铅笔或圆珠笔
答题；字体⼯整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题⽬的答题区域内作答，超
出区域书写的答案⽆效；在草稿纸、试题卷上
答题⽆效。
4．保持卡⾯清洁，不要折叠、不要弄破。
注意事项
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17.（15 分）
18.（17 分）
19.（17 分）
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