文档内容
2025－2026 学年度高三年级第一学期教学质量调研（一）
数 学 试 题
一、单项选择题(本大题共8小题， 每小题5分， 共计40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一个是符合题目要求的， 请把答案填涂在答题卡相应位置上)
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】∵ ，
，
∴ .
故选：A.
2. 设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】 ，
所以 .
故选：B
3. “双曲线 的两渐近线夹角为 ”是“ ”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C【详解】双曲线 的两渐近线夹角为 ，
所以 或 ，所以 或 .
“ 或 ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：C
4. 已知随机事件 互相独立，满足 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因为随机事件 互相独立，所以 ，
则 ，
,
解得 ， ， ，
．
故选：A．
5. 三棱锥 中，平面 平面 ， 和 均为等边三角形，则二面角
的余弦值是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【详解】如图，作出符合题意的图形，取 的中点 ，连接 ，
因为 和 均为等边三角形，所以 ， ，
因为平面 平面 ，且 面 ，所以 面 ，
则以 为原点建立空间直角坐标系，设 和 的边长为 ，
可得 ， ， ，
得到 ， ，
设面 的法向量为 ，可得 ，
令 ，解得 ，故 ，
的
易得面 法向量为 ，
设二面角 为 ，由图可知 为锐角，
则 ，故C正确
故选：C
6. 函数 在区间 上存在单调增区间，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【详解】函数 定义域为 ， ，
因为函数 在区间 上存在单调增区间，
所以 在区间 有解，
即 在区间 有解，
所以 在区间 上能成立，故 ，
又 ，当且仅当 时取等，所以 ．
故选：B．
7. 已知圆 及 两点， ，若圆 上任一点 ，都满足
，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】设点 ，则 ， .
若满足 ，则 ，即 ，即 ，所以 .
令 ，则 表示点 到坐标原点 的距离 .如图，当线段 过圆心 时， 最大，最大值为 .
所以 的取值范围是 .
故选：D.
8. 已知定义在 上的函数 满足： ，都有 ，且 ，
当 时，有 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】定义在 上的函数 满足： ，都有 ，且 ，
所以 ，故 ，
在等式 中，令 可得 ，所以 ，
所以 ， ， ，
， ，在等式 中，令 可得 ，所以 ，
所以 ， ， ，
，
当 时，有 ，
又因为 ，且 ，故 .
故选：B.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. B. 为偶函数
C. 当 时， D. 若 ，则
【答案】BC
【详解】因为 ，
对于A选项， ，A错；
对于B选项，当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
所以，对任意的 ， ，故函数 为偶函数，B对；
对于C选项，当 时， ，所以 ，故 ，C对；
对于D选项，若 ，则 ，此时 ，D错.
故选：BC.
10. 已知二项展开式 ，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【详解】令 ，
对于A选项， 的展开式通项为 ，
其中 ， ，所以 ，A对；
对于B选项， ，
所以 ，B错；
对于C选项， ，
所以 ，C对；
对于D选项， ，
故 ，D对.
故选：ACD.
11. 一个封闭的直三棱柱容器 内装有高度为3的水(如图所示，底面处于水平状态)．记水面为 ， ， ，现以 所在直线为旋转轴，将容器逆时针旋转 的过程
中，下列说法正确的是（ ）
A. 水面形状的变化依次为三角形，等腰梯形，矩形
B. 水面可能是正三角形
C. 当 经过 时， 与面 的交线长为
D. 当逆时针旋转 时，水面的面积为
【答案】ABCD
【详解】A选项，水的体积 ，
，
所以当水面经过 时，水面与棱 相交，如图3，
当水面经过点 时，水面与面 相交，如图4，
则在此之前水面形状均为三角形，
继续旋转直至 之前，水面形状为等腰梯形，如图5，
转至 时，水面形状为矩形，如图6，故A选项正确；
B选项，初始位置，如图1， ，当水面经过 时，如图3，此时 ，
所以 ， ，
所以在转动过程中，存在 ，使得水面是正三角形，故B选项正确；
C选项，如图4， ，且由于 与 相似，
则 ， ，故C选项正确；
D选项，当逆时针旋转 时，如图6， ，
且由于 与 相似，则 ，则 ，
则水面的面积为 ，故D选项正确.三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置
上）
12. 已知 ， ，则 的最小值为______．
【答案】
【详解】 ，且 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，又 ，
故 时，等号成立，所以 的最小值为8.
故答案为：
13. 已知 是坐标原点，抛物线 的焦点是 ，过 的直线与 交于 两点，现将抛物线
沿 轴翻折，则三棱锥 体积的最大值为_____.
【答案】
【详解】抛物线 的焦点为 .
易知直线 的斜率必不为0，故设直线 ： .
联立方程组 ，消去 并整理得 .
设 ， ，则 ， .
设抛物线沿 轴翻折后点 到平面 的距离为 ，则 ，∴ .
故答案为： .
14. 小明同学有一个质地均匀的正四面体玩具，四个面分别标有数字 1，2，3，4，现随机抛掷，记录每次
朝下的面上的数字，如果是数字4就停止，否则继续抛掷，至多抛3次．设这几次记录的最大数字为 ，
则 _____； _____．
【答案】 ①. ②.
【详解】 的可能取值为1，2，3，4，
，即抛掷3次，朝下的面上的数字均为1，
抛掷3次，朝下的面上的数字共有 种情况，
故 ，
，即抛掷3次，朝下的面上的数字中，最大数字为2，
分有1个2，2个2和3个2三种情况，
故 ；
，即抛掷3次，朝下的面上的数字中，最大数字为3，
分有1个3，2个3和3个3三种情况，
故 ；
，抛掷1次，朝下的面上的数字为4，此时概率为 ，
或抛掷2次，第二次朝下的面上的数字为4，此时概率为 ，抛掷3次，第三次朝下的面上的数字为4，此时概率为 ，
故 ；
故
故答案为： ， .
四、解答题（本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤）
15. 为促进消费，扩大内需，江苏省体育局主办了 年城市足球联赛，简称“苏超”．随着赛事的进
行，引发全省乃至全国人民的关注，城市旅游人数显著提升．下表是比赛五个月来的某城市旅游人数
（百万）与第 个月的数据：
（月份）
（人数）
（1）已知可用线性回归模型拟合 与 的关系，请建立 关于 的线性回归方程；
（2）该市随机抽取了部分市民及游客，调查他们对赛事的关注情况，得到如下列联表：
性别 不关注赛事 关注赛事
男性
女性
请依据小概率值 的独立性检验，能否认为关注“苏超”赛事与性别有关．
参考公式： ， ， 其中．
【答案】（1）
（2）能，理由见解析
【小问1详解】
由表格中的数据可得 ， ，
所以 ，
，
故 关于 的线性回归方程为 .
【小问2详解】
零假设 关注“苏超”赛事与性别无关，
由表格中的数据可得 ，
依据小概率值 的独立性检验，能认为关注“苏超”赛事与性别有关.
16 已知函数 ．
（1）求 的极值；
（2）若 ，都有 ，求 的取值范围．
【答案】（1）极小值为 ，极大值为（2）
【小问1详解】
由题意可知 ，且 ，
所以 ，
当 时， ，列表如下：
减 极小值 增 极大值 减
此时，函数 的极小值为 ，极大值为 ；
当 时， ，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
此时，函数 的极小值为 ，极大值为 .
综上所述，函数 的极小值为 ，极大值为 .
【小问2详解】
当 时，由（1）可知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
若 ，都有 ，只需 ，即 ，解得 ，此时 ；
当 时，由（1）可知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ，
与题设条件矛盾.
综上所述，实数 的取值范围是 .
17. 如图，在斜三棱柱 中， ，侧面 为矩形， 在底面 内的射影为
．
（1）求证： 且 ；
（2）若 ， ， 与底面所成角的正切值为 ，求直线 到平面
的距离．
【答案】（1）见解析 （2）
【小问1详解】
连接 并延长交 于点 ，连接 ，的
因为 在底面 内 射影为 ，
所以 平面 ，则 ，
又因为侧面 为矩形，
所以 ，而 ，所以 ，
由于 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，即 ，
因为 ， ，所以D为 中点，
则 为 的垂直平分线，
所以 ，
因此， 且 得证；
【小问2详解】
由（1）知 平面 ，已知 ， ，
则 就是 与底面所成角，其正切值为 ，余弦值为 ，
，解得 ，
则 ，
，
，
设点 到平面 的距离为 ，，
解得 ，
又易得 平面 ，
所以 到平面 的距离为 ．
18. 某班准备在周六和周日两天分别进行一次环保志愿活动，分别由李老师和王老师负责通知，已知该班
共60名学生，每次活动需40人参加，假设李老师和王老师通过“家校通”平台分别将通知独立、随机地
发给60位学生家长中的40人，且保证所发通知都能收到．
（1）求该班甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率；
（2）设该班乙同学家长收到通知的次数为 ，求 的分布列及数学期望；
（3）设两次都收到通知的人数为变量 ，则 的可能取值有哪些？并求出 取到其中哪一个值的可能性
最大？请说明理由．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3） 取到27的可能性最大
【小问1详解】
李老师通知40人，甲同学家长未收到李老师通知的概率为 ，
王老师通知40人，甲同学家长未收到王老师通知的概率也为 ，
因为李老师和王老师发通知是独立事件，
所以甲同学家长未收到李老师和王老师通知的概率为 ，
所以甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率为 ；【小问2详解】
表示乙同学家长收到通知的次数， 的可能取值为0，1，2，
，
，
，
所以分布列为：
0 1 2
期望 ；
【小问3详解】
表示两次都收到通知的人数， 的可能取值为20，21，22，…，40，
设 ，则 ，
所以 ，
令 ，解得 ，
所以 时， 单调递增，
时， 单调递减，又 ，
则 ，
所以 时概率最大，
则 取到27的可能性最大．
19. 已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为2，椭圆 上有两点 关于原点对
称，动点 与 两点的连线分别交椭圆 于点 ，满足 ， .
（1）求椭圆 的方程；
（2）求动点 的轨迹方程；
（3）过 点作椭圆 的两条切线（与坐标轴不垂直），试探究两切线斜率乘积是否为定值？
【答案】（1）
（2）
（3）为定值，证明见解析
【小问1详解】
因为椭圆的短轴长为2，离心率为 ，所以 ， ，
由椭圆的性质得 ，且 ，解得 ， ，
则椭圆 的方程为 .
【小问2详解】
设 ，
而 关于原点对称，则 ，可得 ， ，因为 ，所以 ，解得 ，
可得 ，因为 在椭圆上，所以其坐标满足 ，
则 ，化简得 ，
而 ， ，
因为 ，所以 ，
解得 ，则 ，
因为 在椭圆上，所以其坐标满足 ，
则 ，化简得 ，
两式相加可得 ，即 .
【小问3详解】
如图，作出符合题意的图形，
由题设，切线的斜率必定存在，设斜率为 ，得到切线方程为 ，联立方程组 ，
得到 ，
因为直线与椭圆相切，所以 ，
可得 ，
化简得 ，
设过 的两条切线的斜率分别为 ，
因为 的轨迹方程为 ，所以解得 ，
由韦达定理得 .
