河南省郑州市2025届高三第一次质量预测数学答案_2025年1月_250119河南省郑州市2025届高三第一次质量预测试卷（全科）_河南省郑州市2025届高三第一次质量预测数学

郑州市 2025 年高中毕业年级第一次质量预测
数学 评分参考
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C C B A C C D
二、多选题
题号 9 10 11
答案 AD ACD BCD
三、填空题
12.12; 13. 128 2; 14.216.
四、解答题:
15.（1）在△ABC中，ABC，
b2 c2 a2 2bc 2
∵b2 c2 a2  2bc，所以cosA   ，
2bc 2bc 2

∴A . .......................2分
4
  3 
∵2sin(C A)sinB，∴2sinC

sin C ，
 4  4 
2
展开并整理得 2(sinCcosC) (cosCsinC)，
2
得sinC 3cosC， .......................4分
又sin2Ccos2C 1，且sinC 0，
3 10
∴sinC  . .......................6分
10
BC AB
（2）由正弦定理得  ，
sinA sinC
BC 10 3 10
得AB  sinC    6 5， .......................8分
sinA 2 10
2
{#{QQABLYYEogCgAAAAARhCAQXCCEMQkAEAAQgGAEAQsAAAyAFABAA=}#}3 10 10
由（1）得，sinC 3cosC 0，sinC  cosC 
10 ， 10
2 5
sinB sin(AC)sinAcosCcosAsinC  ........................10分
5
2 5
设BC边上的高为h，则h  ABsinB 6 5 12 ............................12分
5
∴AB边上的高为12. ...........................13分
16.(1)依题意知|FF |2，|PF ||PF |  2|FF |2 22|FF | ，
1 2 1 2 1 2 1 2
∴点P的轨迹是以
F
、
F
为焦点的椭圆，且焦点在x轴上， ......................2分
1 2
x2 y2
设椭圆方程为  1(a b0)由2a2 2 ，2c2，得a  2,c 1,b 1，
a2 b2
x2
故所求点P的轨迹方程为  y2 1. ......................4分
2
(2)依题意，设直线l 的斜率为k(k 0)，则直线l 的方程为 yk(x1) ，
x2 2y2 2
设 A(x ,y )，B(x ,y )，联立  ，消y 得(12k2)x24k2x(2k22)0，
1 1 2 2 ykxk
4k2 2k2 2
 8k2 8
,
可得：x
1
x
2

12k2
①，x
1
x
2

12k2
② .......................6分
 
由S :S 3:1  AC ：BC 3:1， AC 3BC，
OAC OBC ,
∴2x 3(2x ) ，整理得 3x x 4 ③ .......................8分
1 2 2 1
k2 1 3k2 1
由①③得 x  ，x  ， .......................10分
1 2k2 1 2 2k2 1
代入②，解得k 1， .......................13分
∴直线l的方程为 yx1或 y  x1. ...15分
17.（1）如图，取BC的中点O，连接AO.
∵△ABC为等腰三角形，B=AC,∴AO⊥BC， ..........2分
又∵A 在底面ABC内的射影为点B，
1
{#{QQABLYYEogCgAAAAARhCAQXCCEMQkAEAAQgGAEAQsAAAyAFABAA=}#}∴AB 面ABC，∴AB  AO，
1 1
又∵ABBC B，∴AO 面ABC ， .......................4分
1 1
∴AO即为点A到平面ABC的距离.
1
又∵△ABC为等腰直角三角形，且AB=AC=2∴AO  2
.
∴点A到平面ABC的距离为 2 . .......................6分
1
(2)如图，取BC的中点O，连接AO，AO
1 ,
∵A 在底面ABC内的射影为BC的中点，∴AO 面ABC
1 1 .
∵△ABC 为等腰三角形，AB=AC， ∴AO⊥BC.∴建立如图所示的空间直角坐标系,易知
AO  14∴M(0, 2, 14),B( 2,0,0),A(0,0, 14)，B ( 2, 2, 14)
1 1 1 ,
     
MB   2, 2, 14 ,BA  2,0, 14，BB  0, 2, 14 . .......................8分
1 1
 
设平面MBA 的一个法向量为n  x,y,z ，
1 1
  2x 2y 14z 0  
由 ，得n   7,0,1 ， .......................10分
1
 2x 14z 0
设平面BCCB 的一个法向量为n   x,y,z ，
1 1 2
  2x 2y 14z 0  
由 ，得n  0, 7,1 ， .......................12分
2
 2y 14z 0
n n 1
则 cosn ,n   1 2  ， .......................14分
1 2 n n 8
1 2
1
平面AMB与平面BCCB 夹角的余弦值为 . ..............15分
1 1 1 8
18.(1)∵ f(x)log x关于yx对称的函数为yax，∴g(x)ax..............2分
a
设yf(x)与yg(x)有公共点(x ,y )，由对称性可知，(x ,y )在yx上，
0 0 0 0
1
∵ f '(x) ，g'(x)axlna，
xlna
{#{QQABLYYEogCgAAAAARhCAQXCCEMQkAEAAQgGAEAQsAAAyAFABAA=}#} 1
∴  x lna
ax0lna1
解得x  1 ，得 1 ，
 0 0 lna aee
y ax0 log x
0 a 0
∴a的值为 1 . ..................5分
ee
（2）由(1)知，g(x)ax，由ax xa(a0,a1)，x(0,)
..................7分
lnx lna
两边同取对数，xlnaalnx，即 
x a
lnx 1lnx 1nx
令 y ， y' ，∴函数 y 在(0,e)上单调递增，在(e,)上单调递减.
x x2 x
当0a1，方程g(x)xa 0在(0,)上实数解的个数为1个.
当a1,ae，方程g(x)xa 0在(0,)上实数解的个数为2个.
..................10分
当ae，方程g(x)xa 0在(0,)上实数解的个数为1个
1 1
（3）∵F(x)2 x lnx，定义域为（0，+∞），求导得，F'(x) 
x x
1 1 1 1
又∵F'(x )F'(x )，∴    ，
1 2 x x x x
1 1 2 2
整理得 x  x  x x ， ..................13分
1 2 1 2
由基本不等式得，x x 16， ..................14分
1 2
∴F(x )F(x )2 xx lnxx ，设 xx t(t 4)，则h(t)2t2lnt ，
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2t2
易知h'(t)2  0，∴h(t)2t2lnt 在（4，+∞）单调递增，∴h(t)h(4)84ln2，
t t
∴F(x )F(x )的取值范围为(84ln2,). ..................17分
1 2
19.(1)依题意可知有如下三种情况：
若a :0,1,0,1，此时T 2,
n n
若a :0,1,2,1，此时T 4.
n n
若a :0,1,0,1，此时T 0 .......................3分
n n
(2)证明：必要性：因为a a n1,2,,100，所以a a 5 n1,2,,100，
n n1 n1 n
故数列a n1,2,3,101为等差数列，公差为5，
n
{#{QQABLYYEogCgAAAAARhCAQXCCEMQkAEAAQgGAEAQsAAAyAFABAA=}#}所以a 10115500，必要性成立； .......................6分
101
充分性：由于a a 5，a a 5，…，a a 5，
101 100 100 99 2 1
累加可得，a a 500，即a a 500500，
101 1 101 1
因为a 500，故上述不等式的每个等号都取到，
101
所以a a 5 n1,2,,100，即a a n1,2,,100，充分性成立 ............9分
n1 n n1 n
综上所述，“a 500”是“数列{a }为递增数列”的充要条件； .......................10分
101 n
(3)证明：令c a a k 1,2,,n1，依题意，c 5，
n n1 n n
因为a a c ，a a c c ，…，a a c c c ， .......................12分
2 1 1 3 1 1 2 n 1 1 2 n1
所以T na n1c n2c n3c c
n 1 1 2 3 n1
n1n211c n11c n21c 
1 2 n1
nn1

2


1c
1
n1 1c
2
n2 1c
n1

 ， .......................14分
因为c 5，所以1c 为偶数
n n
所以1c n11c n21c 为偶数；
1 2 n1
nn1
所以要使T 0，必须使 为偶数，即4整除n  n1  ，
n
2
亦即n4k 或n4k 1  kN*， .......................16分
当n4k
 kN*
时，
比如，a a 0，a 5，a 5m1,2,,k，
4m1 4m3 4m2 4m
或a a 0，a 5，a 5m1,2,,k时，有a 0，T 0；
4m1 4m3 4m2 4m 1 n
当n4k1
 kN*
时，
比如a a 0，a 5，a 5，a 0m1,2,,k，
4m1 4m3 4m2 4m 4m1
或a a 0，a 5，a 5，a 0m1,2,,k，有a 0，T 0；
4m1 4m3 4m2 4m 4m1 1 n
当n 4k 2或n4k3kN时，n  n1  不能被4整除，T 0. ....................17分
n
{#{QQABLYYEogCgAAAAARhCAQXCCEMQkAEAAQgGAEAQsAAAyAFABAA=}#}