河南省郑州市2025届高三第一次质量预测数学答案_2025年1月_250119河南省郑州市2025届高三第一次质量预测试卷（全科）_河南省郑州市2025届高三第一次质量预测数学

郑州市 2025 年高中毕业年级第一次质量预测 数学 评分参考 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C B A C C D 二、多选题 题号 9 10 11 答案 AD ACD BCD 三、填空题 12.12; 13. 128 2; 14.216. 四、解答题: 15.（1）在△ABC中，ABC， b2 c2 a2 2bc 2 ∵b2 c2 a2  2bc，所以cosA   ， 2bc 2bc 2  ∴A . .......................2分 4   3  ∵2sin(C A)sinB，∴2sinC  sin C ，  4  4  2 展开并整理得 2(sinCcosC) (cosCsinC)， 2 得sinC 3cosC， .......................4分 又sin2Ccos2C 1，且sinC 0， 3 10 ∴sinC  . .......................6分 10 BC AB （2）由正弦定理得  ， sinA sinC BC 10 3 10 得AB  sinC    6 5， .......................8分 sinA 2 10 2 {#{QQABLYYEogCgAAAAARhCAQXCCEMQkAEAAQgGAEAQsAAAyAFABAA=}#}3 10 10 由（1）得，sinC 3cosC 0，sinC  cosC  10 ， 10 2 5 sinB sin(AC)sinAcosCcosAsinC  ........................10分 5 2 5 设BC边上的高为h，则h  ABsinB 6 5 12 ............................12分 5 ∴AB边上的高为12. ...........................13分 16.(1)依题意知|FF |2，|PF ||PF |  2|FF |2 22|FF | ， 1 2 1 2 1 2 1 2 ∴点P的轨迹是以 F 、 F 为焦点的椭圆，且焦点在x轴上， ......................2分 1 2 x2 y2 设椭圆方程为  1(a b0)由2a2 2 ，2c2，得a  2,c 1,b 1， a2 b2 x2 故所求点P的轨迹方程为  y2 1. ......................4分 2 (2)依题意，设直线l 的斜率为k(k 0)，则直线l 的方程为 yk(x1) ， x2 2y2 2 设 A(x ,y )，B(x ,y )，联立  ，消y 得(12k2)x24k2x(2k22)0， 1 1 2 2 ykxk 4k2 2k2 2  8k2 8 , 可得：x 1 x 2  12k2 ①，x 1 x 2  12k2 ② .......................6分   由S :S 3:1  AC ：BC 3:1， AC 3BC， OAC OBC , ∴2x 3(2x ) ，整理得 3x x 4 ③ .......................8分 1 2 2 1 k2 1 3k2 1 由①③得 x  ，x  ， .......................10分 1 2k2 1 2 2k2 1 代入②，解得k 1， .......................13分 ∴直线l的方程为 yx1或 y  x1. ...15分 17.（1）如图，取BC的中点O，连接AO. ∵△ABC为等腰三角形，B=AC,∴AO⊥BC， ..........2分 又∵A 在底面ABC内的射影为点B， 1 {#{QQABLYYEogCgAAAAARhCAQXCCEMQkAEAAQgGAEAQsAAAyAFABAA=}#}∴AB 面ABC，∴AB  AO， 1 1 又∵ABBC B，∴AO 面ABC ， .......................4分 1 1 ∴AO即为点A到平面ABC的距离. 1 又∵△ABC为等腰直角三角形，且AB=AC=2∴AO  2 . ∴点A到平面ABC的距离为 2 . .......................6分 1 (2)如图，取BC的中点O，连接AO，AO 1 , ∵A 在底面ABC内的射影为BC的中点，∴AO 面ABC 1 1 . ∵△ABC 为等腰三角形，AB=AC， ∴AO⊥BC.∴建立如图所示的空间直角坐标系,易知 AO  14∴M(0, 2, 14),B( 2,0,0),A(0,0, 14)，B ( 2, 2, 14) 1 1 1 ,       MB   2, 2, 14 ,BA  2,0, 14，BB  0, 2, 14 . .......................8分 1 1   设平面MBA 的一个法向量为n  x,y,z ， 1 1   2x 2y 14z 0   由 ，得n   7,0,1 ， .......................10分 1  2x 14z 0 设平面BCCB 的一个法向量为n   x,y,z ， 1 1 2   2x 2y 14z 0   由 ，得n  0, 7,1 ， .......................12分 2  2y 14z 0 n n 1 则 cosn ,n   1 2  ， .......................14分 1 2 n n 8 1 2 1 平面AMB与平面BCCB 夹角的余弦值为 . ..............15分 1 1 1 8 18.(1)∵ f(x)log x关于yx对称的函数为yax，∴g(x)ax..............2分 a 设yf(x)与yg(x)有公共点(x ,y )，由对称性可知，(x ,y )在yx上， 0 0 0 0 1 ∵ f '(x) ，g'(x)axlna， xlna {#{QQABLYYEogCgAAAAARhCAQXCCEMQkAEAAQgGAEAQsAAAyAFABAA=}#} 1 ∴  x lna ax0lna1 解得x  1 ，得 1 ，  0 0 lna aee y ax0 log x 0 a 0 ∴a的值为 1 . ..................5分 ee （2）由(1)知，g(x)ax，由ax xa(a0,a1)，x(0,) ..................7分 lnx lna 两边同取对数，xlnaalnx，即  x a lnx 1lnx 1nx 令 y ， y' ，∴函数 y 在(0,e)上单调递增，在(e,)上单调递减. x x2 x 当0a1，方程g(x)xa 0在(0,)上实数解的个数为1个. 当a1,ae，方程g(x)xa 0在(0,)上实数解的个数为2个. ..................10分 当ae，方程g(x)xa 0在(0,)上实数解的个数为1个 1 1 （3）∵F(x)2 x lnx，定义域为（0，+∞），求导得，F'(x)  x x 1 1 1 1 又∵F'(x )F'(x )，∴    ， 1 2 x x x x 1 1 2 2 整理得 x  x  x x ， ..................13分 1 2 1 2 由基本不等式得，x x 16， ..................14分 1 2 ∴F(x )F(x )2 xx lnxx ，设 xx t(t 4)，则h(t)2t2lnt ， 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2t2 易知h'(t)2  0，∴h(t)2t2lnt 在（4，+∞）单调递增，∴h(t)h(4)84ln2， t t ∴F(x )F(x )的取值范围为(84ln2,). ..................17分 1 2 19.(1)依题意可知有如下三种情况： 若a :0,1,0,1，此时T 2, n n 若a :0,1,2,1，此时T 4. n n 若a :0,1,0,1，此时T 0 .......................3分 n n (2)证明：必要性：因为a a n1,2,,100，所以a a 5 n1,2,,100， n n1 n1 n 故数列a n1,2,3,101为等差数列，公差为5， n {#{QQABLYYEogCgAAAAARhCAQXCCEMQkAEAAQgGAEAQsAAAyAFABAA=}#}所以a 10115500，必要性成立； .......................6分 101 充分性：由于a a 5，a a 5，…，a a 5， 101 100 100 99 2 1 累加可得，a a 500，即a a 500500， 101 1 101 1 因为a 500，故上述不等式的每个等号都取到， 101 所以a a 5 n1,2,,100，即a a n1,2,,100，充分性成立 ............9分 n1 n n1 n 综上所述，“a 500”是“数列{a }为递增数列”的充要条件； .......................10分 101 n (3)证明：令c a a k 1,2,,n1，依题意，c 5， n n1 n n 因为a a c ，a a c c ，…，a a c c c ， .......................12分 2 1 1 3 1 1 2 n 1 1 2 n1 所以T na n1c n2c n3c c n 1 1 2 3 n1 n1n211c n11c n21c  1 2 n1 nn1  2   1c 1 n1 1c 2 n2 1c n1   ， .......................14分 因为c 5，所以1c 为偶数 n n 所以1c n11c n21c 为偶数； 1 2 n1 nn1 所以要使T 0，必须使 为偶数，即4整除n  n1  ， n 2 亦即n4k 或n4k 1  kN*， .......................16分 当n4k  kN* 时， 比如，a a 0，a 5，a 5m1,2,,k， 4m1 4m3 4m2 4m 或a a 0，a 5，a 5m1,2,,k时，有a 0，T 0； 4m1 4m3 4m2 4m 1 n 当n4k1  kN* 时， 比如a a 0，a 5，a 5，a 0m1,2,,k， 4m1 4m3 4m2 4m 4m1 或a a 0，a 5，a 5，a 0m1,2,,k，有a 0，T 0； 4m1 4m3 4m2 4m 4m1 1 n 当n 4k 2或n4k3kN时，n  n1  不能被4整除，T 0. ....................17分 n {#{QQABLYYEogCgAAAAARhCAQXCCEMQkAEAAQgGAEAQsAAAyAFABAA=}#}